2017_18学年高中数学第二章12.2.1对数与对数运算第二课时对数的运算学案含解析.docx

第二课时对数的运算对数的运算性质提出问题问题1：我们知道amnaman，那么loga(MN)logaMlogaN正确吗？举例说明提示：不正确例如log24log2(22)log22log22111，而log242.问题2：你能推出loga(MN)(M0，N0)的表达式吗？提示：能令amM，anN，MNamn.由对数的定义知logaMm，logaNn，loga(MN)mn，loga(MN)logaMlogaN.导入新知对数的运算性质若a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN，(2)logalogaMlogaN，(3)logaMnnlogaM(nR)化解疑难巧记对数的运算性质(1)两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和(2)两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差(3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.换底公式提出问题问题1：(1)log28；(2)log232；(3)log832各为何值？提示：(1)log283；(2)log2325；(3)log832log88.问题2：log832成立吗？提示：成立导入新知换底公式若c0且c1，则logab(a0，且a1，b0)化解疑难1换底公式的推导设xlogab，化为指数式为axb，两边取以c为底的对数，得logcaxlogcb，即xlogcalogcb，所以x，即logab.2换底公式常用推论loganbnlogab(a0，a1，b0，n0)；logambnlogab(a0，a1，b0，m0，nR)；logablogba1(a0，b0，a1，b1)；logablogbclogcdlogad(a0，a1，b0，b1，c0，c1，d0)对数运算性质的应用例1(1)若a0，且a1，xy0，nN*，则下列各式：logaxlogayloga(xy)；logaxlogayloga(xy)；loga(xy)logaxlogay；loga；(logax)nlogaxn；logaxloga；loga；logaloga.其中式子成立的个数为()A3B4C5 D6(2)计算下列各式的值：4lg 23lg 5lg；2log32log3log385；log2log2.解(1)选A对于，取x4，y2，a2，则log24log22212，而log2(42)log262，logaxlogayloga(xy)不成立；对于，取x8，y4，a2，则log28log241log2(84)2，logaxlogayloga(xy)不成立；对于，取x4，y2，a2，则log2(42)log283，而log24log222123，loga(xy)logaxlogay不成立；对于，取x4，y2，a2，则2log21，loga不成立；对于，取x4，a2，n3，则(log24)38log2436，(logax)nlogaxn不成立；成立，由于logalogax1loga(x1)1logax；成立，由于logalogaxlogax；成立，由于logaloga1loga.(2)原式lglg 1044.原式3log32log233.原式2log32(log332log39)3log3235log32(5log322log33)31.原式log2()log242.类题通法解决对数运算的常用方法解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质常用方法有：(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开；(2)将同底数的对数的和、差、倍合并；(3)利用常用对数中的lg 2lg 51.活学活用求下列各式的值：(1)lg 52lg 2lg 50(lg 2)2；(2)log2log212log242；(3)；(4)lg( )解：(1)原式2lg 5lg 2lg(510)(lg 2)22lg 5lg 2lg 5lg 2(lg 2)22lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 22lg 5lg 2lg 22(lg 5lg 2)2.(2)法一：原式(log27log248)log232log22(log22log23log27)log27log23log216log232log27.法二：原式log2.(3)分子lg 5(33lg 2)3(lg 2)23lg 53lg 2(lg 5lg 2)3lg 53lg 23(lg 5lg 2)3；分母(lg 62)lglg 62lg 4.原式.(4)原式lg()2lg(332)lg 10.换底公式的应用例2(1)计算：(log2125log425log85)(log52log254log1258)(2)已知log189a,18b5，求log3645.解(1)法一：原式log52log52log25(3log52)13log2513.法二：原式13.(2)因为log189a,18b5，所以log185b，于是法一：log3645.法二：因为log189a，所以lg 9alg 18，同理得lg 5blg 18，所以log3645.类题通法换底公式的应用技巧(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式活学活用已知log147a，log145b，用a，b表示log3528.解：log3528.对数方程的求解例3解下列关于x的方程：(1)log2(2x1)log2(3x)；(2)log5(2x1)log5(x22)；(3)(lg x)2lg x3100.解(1)由log2(2x1)log2(3x)，得2x13x，解得x1.检验：当x1时，2x10,3x0.故x1.(2)由log5(2x1)log5(x22)，得2x1x22，即x22x30，解得x1或x3.检验：当x1时，2x10，x220，x220.故x3.(3)原方程整理得(lg x)23lg x100，即(lg x5)(lg x2)0，所以lg x5或lg x2，解得x105或x102.经检验知：x105，x102都是原方程的解类题通法解对数方程的方法根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程：(1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；(2)化简后得到关于简单对数式(形如lg x)的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化解得x.注意在解方程时，需检验得到的x是否满足所有真数都大于零活学活用解下列关于x的方程：(1)lglg(x1)；(2)log4(3x)log0.25(3x)log4(1x)log0.25(2x1)解：(1)原方程整理得lg(x1)lg(x1)，则(x1)x1，解得x1或x2.检验：当x1时，(x1)x10，不满足真数大于0，舍去；当x2时，满足所有真数都大于0.故方程的解是x2.(2)因为0.2541，所以原方程整理得log4(3x)log4(3x)log4(1x)log4(2x1)，即log4log4，则，解得x7或x0.检验：当x7时，3x0,1x0，b0，a2b0，原式可化为ab(a2b)2，即a25ab4b20，则2540，4或1.a2b0，2，4，log41.答案1易错防范1在将对数式lg alg b2lg(a2b)化为代数式ab(a2b)2时，易忽视隐含条件从而误认为4或1，得出log41或0的错误答案2在将对数转化成其他形式时，一定要先考虑定义域的限制，将字母的范围先确定出来活学活用已知2lg(xy)lg 2xlg 2y，则_.解析：2lg(xy)lg 2xlg 2y，lg(xy)2lg 4xy，(xy)24xy，即(xy)20.xy，1.答案：1随堂即时演练1求值：2log510log50.25()A0B1C2 D4解析：选C2log510log50.25log5100log50.25log5252.2求值：(log29)(log34)()A. B.C2 D4解析：选D原式(2log23)(2log32)4log23log324.3已知2a5b10，则_.解析：因为2a5b10，所以alog210，blog510.根据换底公式得a，b，所以lg 2lg 51.答案：14方程lg xlg(x3)1的解是x_.解析：原方程可化为lg(x23x)1，解得x2.答案：25计算下列各式的值：(1)lg25lg 2lg 2lg 5；(2)2(lg)2lglg 5；(3)log5352log5log57log51.8.解：(1)原式lg 2lg 5(lg 5lg 2)lg 2lg 51.(2)原式lg(2lglg 5)lg(lg 2lg 5)1lglg1lg1.(3)原式log5(57)2(log57log53)log57log5log55log572log572log53log572log53log552log552.课时达标检测一、选择题1已知ln 2a，ln 3b，那么log32用含a，b的代数式表示为()AabB.Cab Dab解析：选Blog32.22等于()A7 B10C6 D.解析：选B2222510.3若2.5x1 000,0.25y1 000，则()A. B3C D3解析：选Axlog2.51 000，ylog0.251 000，log1 0002.5，同理log1 0000.25，log1 0002.5log1 0000.25log1 00010.4若lg a，lg b是方程2x24x10的两个根，则2的值等于()A2 B.C4 D.解析：选A由一元二次方程的根与系数的关系得lg alg b2，lg alg b，2(lg alg b)2(lg alg b)24lg alg b2242.5已知2lg(x2y)lg xlg y，则的值为()A1 B4C1或4 D4或1解析：选B2lg(x2y)lg xlg y，(x2y)2xy，即x25xy4y20，(xy)(x4y)0，xy(舍去)或x4y，4.二、填空题6求值：_.解析：1.答案：17设xlog23，则_.解析：法一：由xlog23得2x3,2x，3232.法二：22x122x321.答案：8已知log23a，log37b，则log1456_(用含a，b的式子表示)解析：由log23a，log37b，得log27ab，则log1456.答案：三、解答题9已知2x3y6z1，求证：.证明：设2x3y6zk(k1)，xlog2k，ylog3k，zlog6k，logk2，logk3，logk6logk2logk3，.10计算下列各式的值：(1)；(2)lg 2lg 503；(3)2lg 20lg 2(log32)(log23)(1)lg 1.解：(1)原式.(2)原式lg 2lg33lg2(2lg2)332332322.(3)原式()2lg 1()1lg 10112.11已知loga(x24)loga(y21)loga5loga(2xy1)(a0，且a1)，求log8的值解：由对数的运算法则，可将等式化为loga(x24)(y21)loga5(2xy1)，(x24)(y21)5(2xy1)整理，