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题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列an的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)0.(1)求an的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列an的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=.(1)求数列bn的通项公式;(2)设数列bn前n项和为Tn,求Tn.3.已知数列an的前n项和Sn满足:Sn=(an-1),a为常数,且a0,a1.(1)求数列an的通项公式;(2)若a=13,设bn=,且数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=53,证明:e1+e2+en.参考答案题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n2时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减,得an=qan-1.又q(q-1)0,所以an是以1为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1.(2)证明由(1)可知Sn=,又S3+S6=2S9,所以,化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2.解(1)在等差数列an中,a1=1,公差d=1,Sn=na1+d=,bn=(2)bn=2,Tn=b1+b2+b3+bn=2+=2+=2故Tn=3.(1)解因为a1=S1=(a1-1),所以a1=a.当n2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,得=a,所以数列an是首项为a,公比也为a的等比数列.所以an=aan-1=an.(2)证明当a=13时,an=,所以bn=因为,所以bn=所以Tn=b1+b2+bn+因为-0,所以,即Tn0.由00,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-=1的离心率en=由e2=,解得q=43.因为1+q2(k-1)q2(
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