2016年广西“创新杯”高一决赛试题答案及评分标准.pdf

第 1 页 共 7 页 2016 年广西年广西 创新杯创新杯 数学竞赛高一数学竞赛高一决决赛试卷赛试卷 考试时间考试时间 2016 年年 10 月月 23 日日 星期日星期日 8 30 11 00 答案及评分标准答案及评分标准 一一 选择题选择题 每小题每小题 6 6 分分 共共 3636 分分 请将答案的序号填写在第二页答题区选择请将答案的序号填写在第二页答题区选择 题相应题号后面的括号内题相应题号后面的括号内 1 设函数 321f xxxx 则 f x的最小值是 A 5 B 4 C 3 D 2 解析 选 A 由绝对值的几何意义知当1x 时 f x取到最小值 故选 A 陈敦元老师供题 2 设方程022 2 xx的一个较小根为 1 x 下面对 1 x的估计正确的是 A 12 1 x B 01 1 x C 10 1 x D 21 1 03 2 73 因此 2kn 315kn 结合314nn 得 54 2 kk 但当k为大于 1 的整数时 54 2 kk 两者矛 盾 因此 2f n 3 8n 时 2 31201nn 8 3f 所以 由 1 2 3 可得 f n的最小值为 3 命题组供题 第 5 页 共 7 页 一一 选择题选择题 每小题每小题 6 6 分分 共共 3636 分分 1 A 2 B 3 B 4 A 5 C 6 D 二二 填空题填空题 每小题每小题 9 9 分分 共共 5454 分分 7 1 8 1 4 9 10 10 6 11 2 2 12 3 三三 解答题解答题 每小题每小题 2020 分分 共共 6060 分分 13 二次函数qpxxy 2 的图象经过点 1 2 且与x轴交于不同的两点 0 0 bBaA 设图象顶点为M 求使AMB 面积最小时的二次函数的解析式 解 由题意知qabpbaqpqp 1 24 04 2 则pq2 5 且 qpabbaba4 4 2 2 5 分 又 4 4 2 2 pqp M 所以 2 3 22 2 4 8 1 4 8 1 4 4 2 1 qpqpba pq ABS AMB 10 分 要使AMB 的面积最小 只须qp4 2 最小 而 ppqp2 5 4 4 22 44208 2 2 ppp 15 分 所以AMB 的面积最小值为 4 此时3 4 qp 1 AMB S 故满足要求的二次函数解析式为34 2 xxy 20 分 赵英明老师供题 14 如图 O 为锐角ABC 的外接圆 直线BO和CO分别与边AC AB交于 点D E 直线DE交ABC 的外接圆于点M N 且AMAN 1 求证 2 AMAE AB 2 求证 AOBC 第 6 页 共 7 页 证明 1 如图 连接MB NC 则ABMMNA AMAN AMNMNA AMEABM 又 MAEBAM AMEABM AMAE ABAM 2 AMAE AB 5 分 2 仿 1 可知 2 ANAD AC AE ABAD AC E B C D四点共圆 10 分 EBODCO 又O为ABC 的外心 OAOBOC AOBAOC 15 分 ABAC BAOCAO AOBC 20 分 命题组供题 15 设集合 1 2 32016S 求最大的正整数k 使得存在集合S的k元 子集A 满足集合A中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积 解 设A为集合S的一个k元子集 考虑集合S的下列 43 个子集 每个子集中恰有 3 个数 2 2 87 2 87S 3 3 86 3 86S 4 4 85 4 85S 43 43 46 43 46S 44 44 45 44 45S 5 分 若1973k 则由201643k 知 集合A一定包含上述 43 个子集中的某一 个 由此可知 集合A中存在互不相同的三个数a b c abc 时 集合A不满足题意要求 第 7 页 共 7 页 所以 1973k 10 分 另一方面 令 1 45 462016A 从集合S删去 2 3 4 44 这 43 个数 设a b ab 则45a 45 462070ab 显然它不在集合A中 因此 集合A满足 集合A中任何一个数都不等于其余