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矩阵的合同变换样本 矩阵的合同变换本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 矩阵的合同变换摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。 在高等代数里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词:矩阵秩合同对角化义定义1:如果矩阵A能够经过一系列初等变换变成B，则积A与与B等价，记为A B?义定义2:设设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可阵逆矩阵P使得1B PAp?称，则称A和和B相似A B义定义3:设设A，B都是数域F上的n阶矩阵，域如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得TP AP B?域那么就说，在数域F上上B与与A合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。 理定理1:合同变换与相似变换都是等价变换证明:仅证合同变换，相似变换完全相似为因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即12mP QQ Q?。 此时711T T Tm n Q Q?边为一系列初等矩阵的乘积若111T T T Tmn mB P AP QQQ AQQ?则则B由由A经过一系列初等变换得到。 所以A B?，从而知合同变换是等价变换。 理定理2:合同变换与相似变换，不改变矩阵的本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 秩秩证明:由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩理定理3:相似矩阵有相同特征多项式证明:共共1A B B P AP?1|det|del IB I P AP?又因为I?为对称矩阵所以11det|IP AP P I A P?1|PI A P?|I A?注合同不一定有相同特征多项式理定理4:如果A与与B都是n阶实对称矩阵，则且有相同特征根，则A与与B相似且合同论论:设设A，B为特征根均为12,n?为，因为A与与B实对称矩阵，所以则在n阶正矩阵，,Q P使得112Q AQ?11nP BP?从而有11Q AQP BP?11 AQPB?由11QQE PPE?从而有1111 QP PEP PPE?从而111() QP?本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 又由于1111()()()QP QPT QPP TQT?1()T TQPP TQ?TQQ?1QQ?E?1QP?为正交矩阵所以A B且A B?时定时5:两合同矩阵，若即PTAP B?若，若A为对则称矩阵，则B为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明:A B?即TP APB?，若对称阵，则TA A?()T T TB P AP?T TP A P?TPA P?B?以所以B边为对称阵注:相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢?理引理6:对称矩阵相似于对角阵?A的每一个特征根?有秩|I An s?，S为为?的重数.证明:任给对称的n阶矩阵A一个特征根?，以其重数以秩|I Ar?，则本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 |r ns n r sIA?12000nxxx?，线性无关的解向量个数为nr?即个，即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关?n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量?n阶对称阵可对角化理从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，如对二次型应用例例求一非线性替换，把二次型123122313(,)262f x x x x x x x x x?二次型23(,)f x x x矩阵为011103130A?对对A相同列与行初等变换，对矩阵E，施行列初等变换212103230A?200020006?100111110111001101E?112233113111001x yx yx y?本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 可把二次型化为标准型222123123(,)226f x x xy yy?解法 （2）212103230A?210102022?xx022022?xx00xx?此时2221231231(,)262f x x xz zz?此时非线性退化替换为1122331132111xxx zx zxz?发现在注1:任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的性特性1:在合同变换中具有变换和结果的多样性注:在对角阵上元素相等及其它元素元素本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 边相等情况下又有哪些性质呢?例例3用可逆性变换化二次型222123123123123(,) (2) (2) (2)f x x x xxxxxxxxx?解解:222112132233:666666f xxxxxxxxx?对二次型矩阵为633363336A?100600600010999633000000222363990001133601221611810011112210101022118010010102xx0100118AE?EB?标准形2212f yy?，则112233111618xx8001x yxyxy?PTA B?注当当P改变两行的位置交换后，发现1200016186331002111036310101818618336000001111?理定理2:在在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有TP APB?整，则调整P的任意两行，本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 对角阵形式不变。 证明:设初等变换的对调变换矩阵为J，显然T T TJ JE J AJ JAJA?于是有()()()()()()t T T TTTT TB P AP P EAEPP J JAJ J P JPJA JPJP AJP?而而P与与JP相比仅是行的排列顺序不同，整因此任意调整P的行，所得对角阵相同。 注以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢?例例4求实对称矩阵220212020A?阵求可逆阵P使得TP AP为对角阵3221213222220xx0021xx0100xx000410011011xx01001xx001001c c c cr rrrAE?111240011xx001002TP P APBB?1211211000P?我们得到11TP APB?理定理7:设设,TP APB A?对称矩阵，B为对角矩阵，换若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到1B控，则只要调控B中对左的两列，可得到P，使得11TP APB?即，即P的列与B中元素的对应性。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 证明:初等调换矩阵为J，显然TJ J?1111()()TTT TB J BJ J P APJ PJA PJP AP?P?与1P相比，只是列的排列顺序发生了改变P?与的列与B的对角线上元素具有对应性自己写例理定理8:如果对角线上的元素分别扩大22212,nC CC?得2B将，则不要将P中对应的对应角线元素扩大11C，即可得到2P使得222TP APB?证明:设初等变换的倍乘变换矩阵为2J（2J对第角线上第J个元素1C）形1221CJ C?，则有22222()T TB J BJ JJ?2222211()TTT TBJP PJ PJJ APJPAP?2B?第中第J个元素为B的的21C倍而22P PJ?，且其2P线中对角线J个元素是P中对角线元素CJ倍。 例例:已知对称矩阵1211211311311310A?求可逆矩阵P，使TP AP且对角形式解10111001031103111131012211101120A?本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 1000100010000301030003117770001220003330121700030113?阵对单位阵E进行相应列初等变换得112231010300110001E P?则有1313733TP AP?141111B E?则此时有1112231100333001710003P?得111TP APB?综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。 主要参考文献1北大数学系，高等代数第二版2上海交大线性代数编写。 线性代数（第三版）M本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 3张禾瑞高等代数M4付立志对称矩阵对角化相似变换模型5王晓玲矩阵三种关系问联系6Brickell EFA FewResults inmessage Autheuticationcongress Numerantium1984431411154矩阵的合同变换及性质定义:设设A A，BB是数域F F上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵PP使得TBPAP?成立，那么B与与A合同特性:合同变换具有模型化，程序化的简便性。 理引理1:在矩阵中，任意对角矩阵与合同J对角阵证明:数学归纳法当1n?时，定理显然成立设1n?时，定理对1n?阶对称阵成立，A上阶对称囝若0A?则则A本身已为对角阵本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 不妨设0A?（ （1）讨论A的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行或列初等变换，使得111211210000s saE E E AE E EA?这里1A是1n?阶对称阵，由归纳假设，存在则有1n?阶可逆阵1a，使211100TcQ AQ?现取1211000,0sQ PE EE QQ?则111121122111000000TTTTTS STnaaPAEEEAEEEQ cQAQc?（ （2）若0,1,2,iia in?，由0A?，可通过对应的行到列初等变换，使问题归结到i的情怀合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上，而二次型主要对积矩阵，而二次型12(,)Tnf xxxx AX?阵化简，一般都归结为对称实矩阵A的合同变换在性特性1:合同变换具有模型化，程序化的简便性性定理理1:若在对称矩阵A的下六并上一个单位矩阵，作列变换，则对的行与列分别六色以档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 系列的对称，初等变换使其式为对角阵时，单单为位阵成为A的合同变换矩阵。 性特性2:合同变换具有变换和结果的多样性，采取不同的合同变换，不仅能够得到不同的对角矩阵而且还能够得到相同的对角陈例例:已知实对称矩阵0100100000210012A?求可逆矩阵P，使()()TAP AP为对角矩阵解由于tA A?且2()()T TAP AP PA P?，可见为使()()TAPAP为对角矩阵，实质上是使0000010000540045A?合同于对角矩阵4334254455100010000100010000500054900000455100010000100010000104001500010001Ar rLcAE?故可逆矩阵21000100001000100400500015900000015TP PAP?本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 （ （2）10000100110022110022P?当2()()T TAPAPPAP?1000010000100009?理定理3:设设,TP APB A?为对称矩阵，B为对角矩换阵，若要调换B的对角线上任意两个元素的位置得到1B换，则只要调换P中对应两列，可得到1P，使得7111PAPB?即，即P的列与的列与B具有对应性。 说明:没妆等变换的对调多换矩阵为J，显然1TJ J?，1111111111()TBJBJ JP APJPJ APJPAP?P?与11PPJ?相比，列的排列顺序不同，因此，P的列与B。 的对角线上元素具有对应性。 性特性3:合同变换具有变换矩阵列但是与对角线元素的对应性。 理定理4:若要将B的对角线上第j个元素扩大2C得到2B得，则只要得P中对应第j列扩大c倍，即得到2P，使得222TP APB?证明:设初等变换的倍乘变换矩阵为2J（2J的第对角线上第j个元素为c，其余为1）显然122JJ?本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。 文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 111222222222()BJBJJPAPJPJ APJPAP?2B?第中的第j个元素B的现我们发现j合同变换在对角化中有简易行，凸现其方法（变换矩阵）和结果（对角阵）的 二、合同变换的本质在在n阶实对称阵A和和B的正负惯性指标都一样，则(,)aS A B为有表示为A到到B的合同变换矩车构成的集合。 理引理1:假设实对称矩阵A和和B的正负惯性指标都一样，则1()cS AB为群证明:对于任意的12(,),(,)c cP S A BPS A B?，则存在1020(,),(,)C S A BC S A B?，使得111122,P c c P