第一章 等腰三角形的证明.doc

教案 课题 等腰三角形年级八年级下册授课时间 2014.8.4备课人 授课人从属章节三角形的证明重点难点重点：全等三角形的判定定理2.等腰三角形的概念及性质 3.等腰三角形的判定定理难点:等腰三角形的判定定理、三线合一教学步骤及教学内容1、 等腰三角形1. 全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质定理 全等三角形的判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS) 推论：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 【知识拓展】结合以前学过的知识，我们总结判定全等三角形的方法： (1)三条边对应相等的两个三角形全等（SSS) (2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS) (3)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS) （4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA) 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等（简述为等边对等角） 用符号语言表述：在ABC中 AB=AC B=C 【知识拓展】等腰三角形还有哪些性质： （1）等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45 . (2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是直角或钝角，但顶角可以是锐角、直角或者钝角。 （3）等腰三角形三个角之间的关系：设顶角为A,底角为B和C,则A=180-2B或C2. 等腰三角形的性质定理的推论及等边三角形的性质推论：等腰三角形的角平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）用符号语言表述：在ABC中 AB=AC ，1=2 ADBC,BD=DC; 在ABC中 AB=AC , ADBC 1=2,BD=DC; 在ABC中 AB=AC, BD=DC 1=2，ADBC 推论的作用：证明角相等、线段相等或垂直。等边三角形的性质定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.3.等腰三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称等角对等边） 用符号语言表述：在ABC中 B=C AB=AC 【知识拓展】在ABC中: (1)如果ADBC,BD=DC，那么AB=AC;(2)如果1=2,BD=DC，那么AB=AC; （3）如果1=2，ADBC，那么AB=AC.4. 等边三角形的判定定理及直角三角形的性质等边三角形的判定定理1：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的判定定理2：三个角都相等的三角形是等边三角形。直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对应的直角边等于斜边 的一半（另外：底角为15的等腰三角形，腰上的高是腰长的一半）5. 反正法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。 【知识拓展】反证法解题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；（2）从假设出发，推导出矛盾； （3）否定假设，从而肯定命题的结论。 例1: 如下图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合）MDBC，交ABC的平分线于点D，求证：MD=MA. 例2:如右图，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 例3:如图：已知AB=AE，BCED，BE，AFCD，F为垂足, 求证: ACAD； CFDF。 例5 如图，在ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。例6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.教案 课题 直角三角形年级八年级下册授课时间 2014.8.4备课人 授课人从属章节三角形的证明重点难点重点：勾股定理及其逆定理2.直角三角形全等的判定定理 难点:直角三角形的判定定理教学步骤及教学内容1、 直角三角形1. 直角三角形的性质和判定定理直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。2. 勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即(其中c为斜边） 勾股定理的作用：已知直角三角形的两边求第三边； 已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系； 用于证明包含平方的关系问题； 求作长为的线段。 勾股定理的表达形式：在RtABC中，C=90,A,B,C的对应边分别为a,b,c,则 ，. 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理的作用：判定一个三角形是直角三角形。2. 互逆命题与互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为 互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一 个定理称为另一个定理的逆定理. 例如：（1）“全等三角形的对应角相等”的逆命题，并判定命题的真假。3. 直角三角形全等的判定定理直角三角形的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”）【知识拓展】直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(只能用于直角三角形）例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0,那么a=0,b=0； （4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等例2：如图，中，求的长。例3 ：如图所示的一块地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。例4：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？ 例5 ：如图2-5所示在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQAD于Q求证：BP=2PQ 教案 课题 垂直平分线年级八年级下册授课时间 2014.8.4备课人 授课人从属章节三角形的证明重点难点重点：1.线段垂直平分线的性质定理及其逆定理2.三角形三边垂直平分线的性质定理难点:垂直平分线的性质定理及逆定理教学步骤及教学内容1、 线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 用符号语言表示：如图，MNAB与点O,P是直线MN上任意一点，若AO=BO,则PA=PB【知识拓展】对垂直平分线的理解，应注意几点： （1）线段的垂直平分线简称为中垂线，它可以看成是到线段两个端点距离相 等的所点的集合。 （2）线段的垂直平分线是一条直线，不是线段。 （3)线段是轴对称图形，中垂线是它的一条对称轴。 2.垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 用符号语言表示：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，PA=PB 点P在直线MN上3. 三角形三边垂直平分线的性质定理ABCP 性质定理：三角形三条边的垂直平分线相较于一点，并且这一点倒三个顶点的距离相等。 用符号语言表示：如图，直线MN，EF,PQ分别垂直平分BC,AB,AC 直线MN，EF,PQ相较于点O，且OA=OB=OC4. 作已知线段的垂直平分线（用尺规作图）AB已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线。作法：分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C,D两点。 作直线CD，则直线CD就是所求作的线段AB的垂直平分.例1：在ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求BCF的周长。 例2：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。例3：如图所示，在ABC中，AB=AC，BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。例4：如图所示，RtABC中，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。 例5：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?课题 角平分线年级八年级下册授课时间 2014.8.4备课人 授课人从属章节三角形的证明重点难点重点：1.角平分线的性质定理及其逆定理2.三角形角平分线的性质定理难点:角平分线的性质定理及逆定理教学步骤及教学内容一、角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。用符号语言表示：如图，点P在AOB的平分线上，PD0A,PEOB,D,E为垂足 PD=PE 2.角平分线性质定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的的 点在这个角的角平分线上。 用符号语言表示：如图，PD0A,PEOB,D,E为垂足，PD=PE 点P在AOB的平分线上 定理与逆定理的作用：证明线段相等和角相等。 3.三角形角平分线的性质定理 性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到 三条边的距离相等。用符号表示：如图， 点p是ACB，ABC的平分线交点PDBC于E，PFAB于F点P在BAC的平分线上，且PD=PE=PF 【知识拓展】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三角形的内心在三角形的内部，它到三条边的距离相等。 4.已知：作已知角AOB的角平分线 求作：射线OC，使AOC=BOC 作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE2 分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两3 弧在么AoB内交于点C3作射线OC OC就是AOB的平分线例1：如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E(1)已知CD=4 cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CDAOFECBMN例2：在ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MNBC，与ACB的角平分线交于点E，与ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF 21 例3：如图所示，ABAC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，求证：BE=CF。:例4：已知：如图，ABCD，BAC的角平分线与DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E求证：点M为EF的中点ECMADFB 三角形的证明单元训练题1、 选择题（每小题3分，共30分）1如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配. A. B. C. D. 和2下列说法中，正确的是（ ）.A两腰对应相等的两个等腰三角形全等B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C两锐角对应相等的两个直角三角形全等D面积相等的两个三角形全等3如图2，ABCD，ABD、BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（ ）.A4cm B5cm C8cm Dcm4如图3，在等边中，分别是上的点，且，AD与BE相交于点P，则的度数是（ ）.A B C D5如图4，在中，AB=AC，BD和CE分别是和的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）.A9个 B8个 C7个 D6个6如图5，表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.A1处 B2处 C3处 D4处7如图6，A、C、E三点在同一条直线上，DAC和EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论： ACEDCB； CMCN； ACDN. 其中，正确结论的个数是（ ）.A3个 B2个 C 1个 D0个 8要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上（如图7），可以证明，得ED=AB. 因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定的条件是( ).AASA BSAS CSSS DHL9如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的图8位置，BE交AD于点F.求证：重叠部分（即）是等腰三角形.证明：四边形ABCD是长方形，ADBC又与关于BD对称， . 是等腰三角形.请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）.；A B C D10.如图9，已知线段a，h作等腰ABC，使ABAC，且BCa，BC边上的高ADh. 张红的作法是：（1）作线段 BCa；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，则ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）二、填空题（每小题3分，共30分）1如图10，已知，在ABC和DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使ABCDCB，则还需增加一个条件是_.2如图11，在中，分别过点作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_.3如图12，P，Q是ABC的边BC上的两点，且BPPQQCAPAQ，则ABC等于_度. 4如图13，在等腰中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若 的周长为50，则底边BC的长为_.5在中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为，则底角B的大小为_.6在证明二一章中，我们学习了很多定理，例如：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；全等三角形的对应角相等；等腰三角形的两个底角相等；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是_.(填序号)7如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为_.8 如图15，在中，AB=AC，D是BC上任意一点，分别做DEAB于E DFAC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF= _cm.9如图16，在RtABC中，C=90,B=15，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点，若，则_ .10如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材， 由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌“少走_步，踏之何忍？”但小颖不知在“_”处应填什么数字，