意料之外情理之中——对安徽2011年高考数学试卷的特点及教学启示.pdf

2 0 1 1年 第 5 0卷 第 1 1期 数学通报 4 9 意料之外情理之中 对安徽 2 0 1 1 年高考数学试卷的特点及教学启示 王 峰 安徽临泉一 中2 3 6 4 0 0 2 0 1 1 年安徽 高考数学试卷结构基 本上保 持 了前两年新课标高考 的风格 但试题较前两 年更 能充分体现新课标 注重发展人的数学思维 的理 念 正因为如此 不少考生感到今年的高考试卷难 度较大 这说明我省高考数学试题从 2 0 0 9 年到今 年历经新课标三年的过渡期 第一年平稳过渡 第 二年锐意创新 到今年 已走 向成熟 试题不仅清新 自然 而且构思巧妙 富有思考性 笔者认 为今年 的数学试卷是一份令大家值得研读的试卷 对今 后中学数学教学具有很好的导向作用 1 试 题 特点 综观今年文 理科试卷 在试卷 结构 题 目数 量 分值 分 布 主 干 知 识 考 查 等 方 面基 本 上 与 2 0 0 9年 2 0 1 1 年是一致 的 但今年 的数学试题有 不少变化之处 出乎了师生的意料 具体体现在 以 下几 个 方 面 1 1 文理 科试卷 中相 同的试 题骤 增 2 0 0 9年文理数学试卷 中 1 5道客观题 中 只 有 2道题相 同 解答题 中只有一个关于导数 问题 的姊妹题 其余 5题 皆不 同 2 0 1 0年文理数学试 卷 中 1 5道客观题 中 只有 3道题相 同 解答题 中 只有一道立体几何问题 的姊妹题 其余 5 题 皆不 同 而今年文理数学试卷计 2 1道题 中 就有 1 o 题完全相同 将近占了半壁江 山 为近三年我省高 考数学卷相同数量之最 其中 1 5道客观题 中 有 7道相同 6道解答题 就有 3道相同 显然文理科 试卷相同题数量的大幅度增加 这不同于前 两年 的试卷 对于相同知识点的考查 文科试题与理科 试题差别甚远 难度有别的情形 这一变化着实让 大家感到意外 笔者认为这样做的意 图有二 1 通过增加文理科试卷 中相 同客观题的数量 目的 是提醒理科生也要立足基础 不能搞偏怪题 2 通过增加文理科试卷 中相 同解答题的数量 目的 是提醒文科生不能靠死记硬背学数学 也要注重 理 性思 维能 力 的培养 1 2 历 年 常考 的热 点 问题 未 涉及 经过多年高考 有些知识板块 的命题似乎 出 现 了程序化 如解析几何 中 近年来的高考试卷 中 常有这样的解题模式 一条直线与一个 圆锥曲线 相交 给出直线及圆锥曲线满足的其它几何条件 如弦长 弦中点等有关条件 求圆锥 曲线方程或其 它相关条件 此类 问题 的解法 为 首先联立方程 组 消元后用韦达定理 再消元求解 或用 点 差法 求解 由于这类试题在高三模拟试卷 中频 繁出现 故学生没少训练这类题 这样一来历届高 三学生考前几乎都能背出这样 的套路 如果考到 此类题 考生解题思路必然成竹在胸 然而今年的 文理科高考题均未涉及到这一套路 真有点让考 生失望 又如立体几何 中的二面角大小的求解也 是历年来高考 的热点问题 在平时的训练 中 几乎 每套试卷 中均涉及此类问题 学生对 此类 问题 的 解决也是准备充足 可是今年试卷中也无它 的踪 影 另外 理科数学解答题的第 1 6题多少年来设 置得都是三角题 故不少教师得出经验 在备考 中 就告诉学生第 1 6 题 的三角题是送分题 一定要 拿 到手 学生 就形 成 了思维 定势 然 而今 年第 1 6 题并不是三角题 而是换成了函数与导数题 并且 三角题并没有单独设计一个解答题 令考生纳 闷 一 言以蔽之 考生 由于在教师的指导下对以上几 个问题都作 了精心准备 结果高考试卷却未考查 到它们 的确让人意外 1 3 多年未考冷点问题粉墨登场 通过上述的分析知 昔 日的热点开始冷却 不 再风光 相反 原来被大家所忽视 往年考不到的 知识点即所谓 的冷点在今 年的试卷 中出现 如立 体几何 中的线线平行证 明问题就是个冷点 平时 5 O 数 学通报 2 0 1 1年 第 5 0卷 第 期 涉及 的几 乎都 是线 面平行 面 面平 行 的证 明问题 而线线平行证 明问题都是 为线面平行 面面平行 的证明作嫁衣 而今年试卷文理科试卷 中的立体 几何 中的第 1 问要求考生证明直线与直线平行 不少考生 由于平时未见过结论是要求直接证 明线 线平行 的问题 一遇到此题 就联想到初中时在平 面 内证 明线 线平 行 的方 法 结果 无 功而返 但 却 又 想不到用面面平行的性质定理证 明此题 实在令 人心痛 又如 我们知道不等式是 中学数学的重 点内容 每年都考 但都不是独立命题 一般是在 函数题 中用求导数来解决 在数列 中用放缩法和 数学归纳法来证 明 在解析几何 中用重要不等式 来求最值等 今年理科试卷 中却独立成题 专考 不等式的证明 虽然题 目不难 但出乎老师和考生 的意料 实在是高明 1 4 着意 了对 数学本 质 的考 查 纵观今年的数学试卷 题 干简 明 表述严谨 设 问精巧 清新 自然 试题大都注重了对数学本质 的考查 敢于舍弃往年高考那种刻意 的华丽与细 枝 末 节上 的雕 琢 如 文 理 科第 1 题 是 对 纯 虚 数 概念的考查 而往年都是 对一个复数 的化简 文 1 1 及理 3 考查了奇函数的概念 理 1 2 就是考 查二项式定理的展开式 理 1 5 看似单纯 实质上 是考查直线的本质 理 9 文 1 5 均是一道三角 函数题 着重考查考生从函数的图像上认识和把 握 函数 f z 一 s i n 2 x 舻 f x 一a s i n 2 x b c o s 2 x的本 质 不需要 作 什么 三角 变换 就可 获 解 再如今年文科 1 7 理 2 1 均 为解析几何题 突出考查 了解析几何 的 解析 本质 其 中文科试 卷中要求考生证明两直线相交及理科试卷中只有 一 问的轨迹方程求解问题 实感让人意外 笔者认 为这些令人意外的深层次原因是运用代数的思维 方法去处理相关 的几何问题 这与前些年高考在 解析几何上侧重 于考查综合的方法相 比 要恰 当 的多 这样考的才是真正的 解析几何 1 5 加大了对思维品质的考查力度 研读今年文理科 的数学试卷 发现充满着思 辨性 的试题比往年多 突出了对考生思维 品质 的 考查 这也可能就是考生感到题 目难 的一个重要 原因吧 如理科 8 是一道集合题 如采用直接枚 举的方法 则难度较大 但若采用补集思想进行枚 举即 2 一2 一5 6 则很快得到解决 文 1 5 理 9 都是三角题 这两道题 若采用代数运算的方法解 决 则可能陷入泥潭 但若运用数形结合的思想 则通过图像直观观察就能方便求解 理 1 5 题是 一 道多元填空题 它涉及到只是直线问题 放在这 里作为考题 不少人感到费解 笔者认为设计此 题 的 目的不 是考 查 对 数 学 知识 掌握 的多 少 而 是 考查 考生 的思 维 品质 的 处理 这样 的试题 要求 考 生必须因题而异 选择灵活多变的方法 如判断命 题 可通过举一个例子加 以肯定 如直线 Y 0 1 判断命题 可举反例 y 一 2 z 2 加以否 定 判断命题 的正确性 可根据斜率公式并结合 分式的基本性质给予解释 判断命题 可举反例 0 1 加 以否定 由直线 y一 2 z 2 知命题 正确 从以上所举的几例 可以看 出考生如果 有了良好的数学思维 品质 则能灵活地运用合理 的数学思维方法将问题 由大化小 由小化了 巧妙 而简捷的得到解决 让人顿觉 思路 自然 条理清 晰 显示 出数 学 特 有 的不 容 辩 驳 的 逻辑 力 量 和 数 学 美感 2教 学启 示 笔者经过深思细悟试卷 却 又觉得是 以上介 绍的几点意外也在情 理之 中 因为新 的 考试说 明 明确指出 数学科的命题 按 照 考查基础知 识 的 同时 注重 考 查 能 力 的原 则 确 立 以 能力 立 意的指导思想 将知识 能力与素质融为一体 全 面检测考生的数学素质 要在考查基础知识 的基 础上 注重对数学思想方法的考查 注重对数学能 力的考查 展现数学的科学价值与人文价值 努力 实现全面考查综合数学素养的要求 由于高考必 须 支持 课改 否 则课 程改 革难 以进行 下 去 这 样 一 来 高考试题无疑就成了教学的 指挥棒 对教学 有 明显 的导 向性 为 了做 到平 稳过 渡 因 2 0 0 9 年 2 0 1 0年的高考是旧大纲高考 向新课标高考三 年过渡期的头两年 所 以这两年只能逐渐渗透新 课改精神 不能一步到位 否则师生怎能适应 而 2 0 1 1 年是实施新课改高考过渡的最后一年 有了 两年的铺垫 故今年我省的新课 改精神完全可 以 渗透到高考试卷 中 以上介绍的几点意外就是具 体体现 这样一来 试卷命制得更能反映新课改理 念 所 以考生就觉得今年试题与平 时的模考试题 风格不同 也就不足为怪了 2 0 1 1年 第 5 O卷 第 1 1期 数 学通报 5 1 虽然 2 0 1 1 年高考已尘埃落定 但是从试卷 中 透视 出的一些信息及理念却是我省高中数学教师 特别是高三一线教师共同关 注的话题 分析研读 今年高考试卷的特点用以指导今后新课标课程 的 高三复习教学无疑是下一届每一位高三数学教师 无法回避的课题 为了扎实有效地搞好复习 笔者 认 为必 须 注意 以下 几个 问题 2 I 高考注重考基础 回归教材是法宝 2 0 1 1 年我省的高考数学试卷 中就有不少试 题 在教 材 中可 找到 原 型 如 文 8 理 6 的三 视 图 问题 很 多考生 不 能正 确迅 速地 画 出原几 何题 这 说 明对教材不熟 因为此题 的原型就是 由北师大 必修 2教材复习题一 B组第 1题 第 5 5页 的第 2 个图 文 1 4 理 1 3 的平 面向量题与北师大 必修 4教材习题 2 5 B组第 1题 第 9 5页 几乎 完全一样 文 1 7 题第 2 小题的原型就是由 匕 师 大必修 2 教材习题 2 一I A组第 7题 第 7 7页 理 科第 1 8 题 文科第 2 1 题 的数列题 由于考生 平时只知道倒序求和 的方法 而很少用过倒序求 积的方法做题 一拿 到此题就觉得此题 比较新颖 而懵 了 其实本题就是 由北师大必修 5教材 习题 1 2 A组 第 2 0页 第 1 1 题 在 1 0与 1 0 0之 间插 入 5 0个数 使之成等差数列 求插入 的数之和 改 编得到的 如果考生在复习备考时将教材中这个 习题 的解答方法弄明白了 利用类 比的方法解决 此考题的第 1 小题有何难度 由此可知 立足基 础的试题特点要求我们 在复 习备考 中 应切实做 到 回归教材 狠抓基础落实 笔者认为 回归教材 可从 以下 四个方面着手 一 精心构建知识 网络 教师在复习每章或每节时 一定要 把知识要点复 习一下 但不应 只是把所学过的数 学知识简单地 重复一下 要帮助学生不断地建构知识 网络 以完 善学生的认知结构 只有这样 才能使得 当首轮 复习后 学生的大脑 中呈现的不是一大堆公式 一 大堆定义 一大堆定理等 而是清清楚楚的几张知 识网络图 那 么学生在高考 中就能快速地确定解 题思路 迅速调集头脑中储存 的信息进行选择 组 织 使知识在解决问题的活动 中达到 该出手时就 出手 的境界 例如在复习立体几何时 教师若抓 住线面平行 面面平行的判定定理 性质定理的条 件与结论的元素平行特点 将线线平行 线面平行 与面面平行三者之间的逻辑关系联 系起来 形成 网络状 那么 2 0 1 1年安徽文理卷 中的立体几何题 第 1 问就容易联想到用 面面平行的性质定理证 明 由于线线平行在平时的训练 中常常都是 为他 人作嫁衣 而今 自己当主角 了 故不少考生对此 时此景一筹莫展 想不 到用 面面平行的性质定理 去证 明 值得大家好好地反思 二 再现重要知识 的产生过程 高三复 习教 学仍要加强 过程 的复 习 即基础知识 的复习应将 重点放在其发生的过 程上 即该知识 是如何推导 出来的 与 谁 有关 学习它又是为了 准 只有这样才能明确知识的 适用情境及其来龙去脉 才能真正让数学书逐 渐 变 薄 方能达到灵活运用数学知识解题 的 目的 三 强调对知识的记忆 俗话说 没有记忆就没 有思维 由于数学基础知识是数学解题的依据 对于解题 目标的建立和解题计划的设计起着至关 重 要 的作用 所 以对 于基 础知识 教 师不 仅要 求 学 生理解好 而且还要求学生记牢靠 达到能长久地 储存在大脑中 以便今后运用时能及 时快速地提 取出来 四 挖掘典型例习题 的潜在价值 由于 课本例 习题一 般都是具有 典型性 代 表性 示范 性 迁移性 它们或是渗透某些数学方法 或体现 某种数学思想 或提供某些重要结论 所 以我们要 充分认识例题本身蕴含的潜在价值 善 于用联系 的观点研究教材中题 目的变式 通过纵向挖掘 横 向延伸 既可摆脱题海的困扰 又能起到事半功倍 的效果 五 站在整体的高度审视教材 由于在 高一 高二学习新课 的时候 受知识能力的限制 不少 内容的获得往往是零散的 缺乏必 要的深度 和高度 而高三复习是 回归教材 但又不能拘泥 于教材 应该站在整体的高度重新审视教材 孔 子日 温故而知新 所以在回归教材时 因学生 的视野相 比高一 高二较为开阔 对于原来 的知识 点可 能会 有新 的理 解 新 的发 现 新 的感悟 如对 数函数 指数函数及三角 函数 的单调性 在刚学 习 的时候 只是先通过描点法得到的图像 进而 由图 像的走势得出的 简单复合型可 由基本型经过变 换得到 此时学生对于对数函数 指数 函数及三角 函数 的单调性 的认识只能算是停 留在合情推理的 层面上 而在 回归教材的时候 教师可引导学生利 用导数工具对对数函数 指数 函数及三角函数 的 单调性作一证 明 使学生 的认识上升到理性思维 的层面上 由此可知 在回归教材的时候 还应该 5 2 数学通报 2 0 1 1 年 第 5 O卷 第 1 1期 拓宽视野 要站在数学整体的高度与教材对话 让 不同领域的知识交汇成为系统 以使学生对新课 标下 在知 识 的交 汇 点 处 的命 题 脉 搏作 一 有 效 把握 2 2 热 点冷 点辩 证看备 考复 习要 全面 中学数学教材经过这么多年 的修改 整合与 完善 每块内容都成了有效培养学生思维能力 的 载体 只是各 自所 占的比重多少不同 不存在所谓 的热点 冷点 问题 对此教 师要辩证地看 这一 问 题 往 日的热点可能会立即冷却 昔 日的冷点可能 会热起来 所以在复习备考中教师就必须全面而 又系统地引导学生认真构建知识网络 按照 考试 说 明 将每个知识点理解好 掌握好 不能顾此失 彼 切勿存在侥幸心理 引导学生一味地去追赶热 点问题而置冷点 内容于不顾 否则 会人为地造成 学生的数学知识残缺的教学事故 给考生可能会 带来无法弥补的损失 2 3 发展思维放首位题海战术该休矣 在如今资料和试卷满天飞的环境 下 人们总 有一种感觉 数学就是做题 目 题海战术就是教 师和学生应付高考的有力武器 于是 在数学教学 中 大量的时间花在解题和讲题上 忽视了知识和 方法 的形成过程 企图用操练代替创新 以经验积 累代替理性思考 至于解决 问题的思路如何形成 的 解决问题的方法是如何构想的 对学生来说有 一 种说不出的神秘感 因而学生善于模仿 而不善 于思考 从而造成学生的数学思维能力得不到实 质性的提高 一旦遇到陌生情境 的问题就一筹 莫 展 了 由于今年的不少高考题与平时学生模拟训 练时的题 目类型相差甚远 从而导致许多套路无 用武之地 这无形 中给题海战术者当头一棒 弄得 不知所云 相反 那些平时题 目做得不是很多 但 数学功底好 善思维 肯钻研的学生在今年的高考 中能取得高分 这是因为今年的高考题 目新颖 注重思维 可以套用 的成题少 考查 的不是考生会 不会套用常见的题型 而是考生会不会思维 有没 有 良好的思维 习惯 考查 的是 考生的数学 能力 一 言以蔽之 以知识 为依托 真正考查思维能力 使被动学习者 题海战术者在高考中力不从心 难 有大的作为 这是安徽高考命题追求的 目标 笔者 认为今年的试卷 已达到了这个 目标 基于此 笔 者认为在今后 的数学教 学中 教师应在学生的思 维能力培养上下功夫 不能只注重学生对知识 的 掌握 技能的训练及方法的传授 不能仅仅关注学 生解题这一层面 而是应该看学生是否通过解题 明 白了一些 原理 而 这些原 理 不光 是 明 白了怎 样 解题 而是学会了一种数学思维 一种对数学精神 的领悟 只有这样做 才能让学生从数学的精神 思想 中提高学生 的数学素养 从 而才能使备考复 习 的效果 有一 个 质 的飞跃 适应 当今 的高考 1 2 4教 学不 能凭 感觉 研 究高 考不 可少 人们常说 要把工作做到点子上 把功夫花在 刀刃上 作为高三教师 我们的中心任务就是想 方设法使备考复习工作更有效 为此笔者认 为对 于考点的把握 教师必须做到心 中有数 由于新 的 考试说 明 对考试性质 考试要求 考试形式及 试题结构等都作 了明确 的阐述 它是我们 高三一 线教师和学生实施有效复习备考的依据 也 是高 考命题的依据 然而相 当多的教师在带领学生进 行高三复习备考 时 却置 考试说明 这个指南针 于高阁 凭感觉盲 目指导高考备考复习 整天围绕 资料和试卷转 结果到头来 只能是 广种 薄收 得 不偿失 为了引领学生进行科学有 效地 复习 作 为教师对高考 的考情要 有一个清醒的认识 不仅 要常翻 考试说明 而且还要认真研究 吃透其精 神 以明确复习的方向 目标和要求 如果我们在 研读 考试说明 的同时 对历年来的相应考点 的 高考题能作一归纳分析 则可加深对 考点要求 的 理解 以更好地指导考生进行有效复习 分析和 研究近几年的新课改高考试卷的特点用以指导下 一 届高三学生的复习备考工作无疑具有重要的参 考意义 这样做不仅可把握复习的重心 而且可减 少复习的盲 目性 提高复习的有效性 2 5 数学素养欲提升数学本质必弄清 普通高 中数学课程标准 实验 指出 教学 要强调本质 注意适度形式化 要强调对数学本 质的认识 不能将生动活泼的数学思维活动淹没 在形式化的海洋里 要求高中数学课程应该返璞 归真 努力揭示概念 法则的发展过程和本质 由 于今年我省 的数学试卷 突出了对数学本 质的考 查 从而有效地测试考生 的数学素养 因此这一 信息提醒我们教师在教学中不能只注重解题训练 和类型归纳 忽视对 数学概念 的理 解和分 析 否 则 学生在考试 中就会按 图索骥 机械地靠题型 2 0 1 1年 第 5 0卷 第 1 i 期 数 学通报 5 3 靠套路去思考 一旦出现新情况 就会出现无所适 从 的现象 为此笔者认为教师在数学知识的教学 中 要善于从不 同的视角用 三种不 同数学语言加 以表述 刻划 引导学生加 以理解 只有这样 学生 才能抓住数学知识的本质 例如复 习偶 函数 的概 念时 教师应要求学生会用三种语言给予解释 其 中文字语言的表述是 偶 函数的对应法则 加工 两个相反意义的 自变量 所 得的函数值相 等 这 就是偶函数的本质 教师如果在教学 中不把它揭 示出来 很多学生却认识不到这一层次 导致了概 念性的错误 如 函数 f x 8 是偶 函数 这句 话 不少学生往往将它错误转化为恒等式 厂 一z 一 8 一 厂 z 8 还不知道错在何处 笔者认为之所 以出现这样的错误 根本原 因就是只注重 了偶 函 数的形式化的定 义 厂 一z 一f x 而不知道偶 函数的本质所致 但是教师在复习时若引导学生 弄清偶 函数 z 的本质是对应关系 厂 加工 定 义域中两个互为相反的