《导数应用》测评.doc

或导数应用测评(时间90分钟，满分100分)一、选择题(每小题3分，共36分)1.若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则A.极大值一定是最大值，极小值一定是最小值B.极大值必大于极小值C.极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值D.极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值答案：D解析：根据极值和最值的概念、区别与联系判断.2.函数f(x)=ax2+x+1有极大值的充要条件是A.a0 B.a0 C.a0 D.a0答案：C解析：当a=0时，f(x)=x+1没有极值，排除B、D，数形结合知a0，解得0x1.故选C.4.函数f(x)=x3-3x(|x|1)A.有极大值和极小值 B.有极大值，无极小值C.无极大值，有极小值 D.无极大值和极小值答案：D解析：|x|1,-1x1.根据求极值的方法直接求解.5.已知函数f(x)=x3-3x2-9x(-2x2)，则f(x)有A.极大值为5，极小值为-27 B.极大值为5，极小值为-11C.极大值为5，无极小值 D.极小值为-27，无极大值答案：C解析：根据求极值的方法直接求解.6.对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题：f(x)是增函数；f(x)是减函数；f(x)是增函数的区间为（-,0）,(2,+);是减函数的区间为（0，2）；f(0)=0是极大值，f(2)=-4是极小值.其中正确的命题有A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：B解析：正确.7.在区间，2上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在，2上的最大值是A.3 B.3 C.4 D.7答案：C解析：g(x)=2-2x-3，令g(x)=0，解得x=1,可求得当x=1时，g(x)的最小值为3.进而求得f(x)=x2-2x+4.由二次函数性质可求得在,2上f(x)的最大值为4.8.若f(x)=-x3+ax在（0，1）上是增函数，则实数a的取值范围是A.a3 B.a3 C.0a3 D.0a0在（0，1）上恒成立，即a3x2在（0，1）上恒成立.3x23,a3.9.若函数f(x)=-x4+2x2+3,则f(x)有A.最大值为4，最小值为-4 B.最大值为4，无最小值C.最小值为-4,无最大值 D.既无最大值，也无最小值答案：B解析：根据求最值的方法求函数的最值.10.设f(x)、g(x)分别是定义在x0上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是A.（-3，0）(3,+) B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+) D.(-,-3)(0,3)答案：D解析：设F（x）=f(x)g(x)，则当x0即在（-,0）上F（x）是增函数，又g(x)是偶函数， g(-3)=g(3)=0.在x(-,-3)上F（x）0,即f(x)g(x)0.又可证得F（x）是奇函数，在x(0,3)上，f(x)g(x)0.故选D.11.f(x)是定义在区间-c,c上的奇函数，其图像如图所示，令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(x)的叙述正确的是A.若a0，则函数g(x)的图像关于原点对称B.若a=-1,-2b0,则方程g(x)=0有大于2的实根C.若a0,b=2，则方程g(x)=0有两个实根D.若a1,b1时，方程有三个实根，C错；D不对，因为虽然b2但不一定大于0，故取a=1,b=-5时，方程只有两个实根.12.已知函数f(x)的导数为f(x)=4x3-4x,且图像过点（0，-5），当函数f(x)取得极小值时，x的值应为A.-1 B.0 C.1 D.1答案：D解析：设f(x)=x4-2x2+c(c是常数)，把(0,-5)代入得c=-5.f(x)=x4-2x2-5,进而求出极小值和对应的x值.二、填空题（每小题3分，共12分）13.函数f(x)=x+2cosx在区间0，上的最大值为_；在区间0,2上的最大值为_.答案：+ 2（+1）解析：y=1-2sinx,得f(x)的驻点为+2k、+2k,当在区间0，内考虑时，仅有一个驻点,f()=+,f(0)=2,f()=，比较后得知，f(x)在0,上的最大值为+，而当考虑区间0,2上的最大值时，需比较f(0),f(2),f(),f()四个值的大小.14.函数f(x)=cosx(1+sinx)的单调减区间为_.答案：（2k+,2k+）,kZ解析：f(x)=cosx+cosxsinx,f(x)=-sinx-sin2x+cos2x=-2sin2x-sinx+1.令f(x)0，解得sinx，2k+x0,b0)的递增区间是_.答案：(,+),(-,)解析：f(x)=a,令f(x)0,得a-0,解得x.16.已知xR，奇函数f(x)=x3-ax2-bx+c在1,+)上单调，则字母a、b、c应满足的条件是_.答案：a=c=0,b3解析：f(0)=0c=0,f(x)+f(-x)=0a=0,f(x)=3x2-b,若f(x)在x1，+）上是增函数，则f(x)0恒成立，即b(3x2)min=3;若f(x)在x1,+)上是减函数，则f(x)0恒成立，这样的b不存在.综上,可得a=c=0,b3.三、解答题（1720题每小题8分，21、22题每小题10分，共52分）17.已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x.(1)求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)在-3，1上的最值.解析：（1）把x=1代入切线方程可得切点坐标，进而可代入f(x)得到a、b的关系式；利用在x=1处的导数f(1)=k=-12可以再建立a、b的方程，进而求出a、b的值；（2）根据求最值的方法直接求解.解：（1）f(x)=12x2+2ax+b,而y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-12x,a=-3,b=-18.故f(x)=4x3-3x2-18x+5.(2)f(x)=12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3),令f(x)=0,解得驻点为x1=-1,x2=.那么f(x)的增减性及极值如下：x(-,-1)-1(-1,)(,+)f(x)的符号+0-0+f(x)增减性递增极大值16递减极小值递增驻点x1=-1属于-3，1，且f(-1)=16,又f(-3)=-76,f(1)=-12.f(x) max=16,f(x)min=-76.18.是否存在这样的k值，使函数f(x)=k2x4x3-kx2+2x+在（1，2）上递减，在（2，+）上递增.解析：可以利用导数处理单调性问题，虽然讨论的区间是开区间，但是f(x)是连续的，所以递增与递减区间的交界处的导数为0，由此求出k的值，注意本题求出k值后还需讨论验证.解：f(x)=4k2x3-2x2-2kx+2,由题意，当x(1,2)时，f(x)0.由函数f(x)的连续性可知f(2)=0,即32k2-4k-6=0,得k=或k=.验证：当k=时，f(x)=x3-2x2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2).若1x2,f(x)2,f(x)0,符合题意.当k=时，f(x)=x3-2x2+x+2=(x-7)(x-2)(x).显然不合题意.综上所述，存在k=，满足题意.19.设函数f(x)=x(x-1)(x-a)(a1)，(1)求导数f(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1、x2;(2)若不等式f(x1)+f(x2)0成立，求a的取值范围.解析：(1)先求导数f(x),然后证明f(x)=0有两个不相等的实数根.（2）根据（1）的过程，往往转化应用韦达定理解决问题.解：（1）f(x)=3x2-2(1+a)x+a.令f(x)=0得方程3x2-2(1+a)x+a=0.因=4(a2-a+1)4a0,故方程有两个不同实根x1、x2,不妨设x1x2,由f(x)=3(x-x1)(x-x2)可判断f(x)的符号如下：当x0;当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0.因此x1是极大值点，x2是极小值点.(2)因f(x1)+f(x2)0，故得不等式x13+x23-(1+a)(x12+x22)+a(x1+x2)0,即(x1+x2)(x1+x2)2-3x1x2-(1+a)(x1+x2)2-2x1x2+a(x1+x2)0.又由（1）知代入前面不等式，两边除以（1+a）,并化简,得2a2-5a+20.解不等式,得a2或a(舍去).因此，当a2时，不等式f(x1)+f(x2)0成立.20.如图，把边长为a的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h，所做成的盒子体积为V（不计接缝）.（1）写出体积V与高h的函数关系式；（2）当为多少时，体积V最大，最大值是多少？解析：（1）根据体积公式V=Sh列出函数关系式，并写出定义域;(2)根据导数法在定义域内求最大值.解：（1）六棱柱的底边长为（ah）cm,底面积为6（ah）2 cm2.体积V=(ah)2h=2(h3ah2+a2h)(0ha).(2)V=2(3h2-2ah+a2)=0得h=a或h=a(舍去).当h=a cm时,V有最大值cm3.21.已知过函数f(x)=x3+ax2+1的图像上一点B（1,b）的切线的斜率为-3.(1)求a、b的值；（2）求A的取值范围，使不等式f(x)A-1 987对于x-1,4恒成立.（3）令g(x)=-f(x)-3x2+tx+1，是否存在一个实数t,使得当x(0,1时，g(x)有最大值1?解析：(1)根据导数的几何意义和点B与函数图像的关系建立方程组求a、b;(2)利用导数判断单调性，进而根据最值与恒成立的关系求解问题.解：(1)f(x)=3x2+2ax,依题意,得k=f(1)=3+2a=-3,a=-3.f(x)=x3-3x2+1.把B(1,b)代入得b=f(1)=-1,a=-3,b=-1.(2)令f(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2.f(0)=1,f(2)=23-322+1=-3,f(-1)=-3,f(4)=17,x-1,4,-3f(x)17,要使f(x)A-1 987对于x-1,4恒成立，则f(x)的最大值17A-1 987，A2 004.（3）已知g(x)=-(x3-3x2+1)-3x2+tx+1=-x3+tx,g(x)=-3x2+t.0x1,-3-3x23时，t-3x20,即g(x)0,g(x)在（0，1上为增函数，g(x)的最大值g(1)=t-1=1,得t=2(不合题意，舍去).当0t3时，g(x)=-3x2+t,令g(x)=0，得x=.列表如下：x(0,)(,1g(x)+0-g(x)极大值g(x)在x=处取最大值-()3+t=1,t=3.x=1.当t0时，g(x)=-3x2+t0,f(x)=+是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）证明f(x)在（0，+）上是增函数；（3）当x-ln2,ln2时,f(x)0证明函数是增函数；（3）由单调性和偶函数的性质可求出f(x)的最值，进而解决恒成立问题.（1）解：由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x)