机器人学第三章习题.pdf

3 1 写出齐次变换矩阵 它表示相对固定坐标系 A 作以下变换 1 绕Z 轴旋转 90 2 再绕X 轴转 90 3 最后做移动 3 7 9 3 2 写出齐次变换矩阵 它表示相对坐标系 B 做以下变换 1 移动 3 7 9 2 绕X 轴旋转 90 3 绕Z 轴转 90 3 3 求下面齐次变换的逆变换 1 T 010 1 00 12 1000 0001 3 4 已知 0 250 430 865 0 0 87 0 500 4 0 0 430 75 0 503 0 0001 求 的第 2 4 元素 3 5 已知矩阵 0 10 001 102 00 1 代表齐次坐标变换 求其中的未知元素值 第一列元素 3 6 设工件相对于参考系 U 的描述为 机器人基座相对于参考系 的描述为 已知 010 1 00 12 1000 0001 1001 0105 0019 0001 要求机器人手爪坐标系 H 与工件坐标系 P 重合 试求变换 3 7 已知坐标变换矩阵 0 866 0 500011 0 5000 8660 1 0018 0001 1000 00 866 0 50010 00 5000 866 20 0001 0 866 0 5000 3 0 4330 750 0 5 3 0 2500 4330 8663 0001 画出空间尺寸链图 并求 3 8 如图 3 17 所示的多面体顶点坐标系 试求 4x4 的齐次变换矩 阵 1 和 0 i 1 2 3 4 5 3 9 如图 3 18 所示的多面体各顶点坐标系 试求 4x4 的齐次变换 矩阵 1 和 0 i 1 2 3 4 3 10 如图 3 19 所正方体的顶点和中心坐标系 试求 4x4 的齐次变换 矩阵 1 和 0 i 1 2 3 注 正方形边长为 l 1是空间对角线的中 点 2为棱边的中点 3 11 如图3 16a所示的锲块要求变换到图 所示的位置 求运动算子 列 算 子 序 列 每 次 运 动 仅 沿 某 轴 平 移 或 绕 某 轴 旋 转 3 12 图 3 20a 中所示的两个相同的锲块 要求将其重新变换为图 3 20b 所示位置 1 列出变换序列 每次变换表示沿某轴平移或绕某轴旋转 变换过 程中两锲块不许碰撞 2 作图说明从右到左的各个变换 3 作图说明从左到右的各个变换 3 13 用一个描述旋转 或平移 的变换左乘与右乘同一表示坐标系的 变换 所得结果是否相同 为什么 试举例作图说明 3 14 一个物体绕它的 X 轴转 角 再绕他的新 Y 轴转 角 按照欧拉 角方法 我们知道其方位可表示为 Rot X Rot Y 假若两次转动是绕固定参考系的坐标轴 结果是 Rot Y Rot X 可见 变换的顺序决定于转动是相对于固定框还是相对运动框描述的 由此可以得到 相对固定框转动变换与相对运动框描述之间的关系 Rot X Rot Y 1 X 这是 相似变换 推导这一相似变换的矩阵 它相当于欧拉角表示 见式 3 55 并利用所得结果导出旋转变换通式 3 68 3 16 已知位置矢量 P B 和坐标系 B P B 3 2 1 0 1010 10020 0011 0001 试求 1 同一点 P 在参考系 U 中的描述 P U 2 其中 C 是 B 绕基坐标系 U 的 y 轴旋转 90 再沿基坐标系 U x 轴方向平移 20 所得到的的新坐标系 3 点 P 在坐标系 C 的描述 P 4 作图表示坐标系 U B 和 C 以及 P U P P 3 17 已知旋转矩阵 R K 010 00 1 100 试求其等效转轴 K 和等效转角 3 18 已知齐次变换矩阵 H 01010 00 120 1001 0001 把它看成绕某一轴线 不过原点 的旋转变换 求轴线 K 的方向余弦 等效转角 和轴线上的任一点 3 19 编写求旋转矩阵的等效转轴和等效转角的算法 并能处理 0 和 180 两种特殊情况 提示 可从 3 75 开始 3 20 编写一个子程序 把旋转矩阵方位表示变为等效转轴一转角表 示 当用 PASCAL 语言时 子程序说明开始如下 Procedure RMTOAA VAR R mat33 VAR K vec3 VAR theta real 再编写另一个子程序把等效转轴转角表示变为旋转矩阵表示 Procedure AATORM VAR K vec3 VAR theta real VAR R mat33 输入具体数据对所编程序进行考核 包括一些较难的情况 验证所 编程序的正确性 3 21 仿照上题 编写旋转矩阵与 RPY 角 欧拉角法相互转变的子程 序 3 22 设想使矢量 K 旋转 角 得新矢量 Q 即 Q R K Q 应用式 3 68 导出 Rodriques 公式 Q Q cos sin KxQ 1 cos K Q K 3 23 证明旋转矩阵 R 的特征值为 1 和 其中i 1 说明与 特征值 1 对应的特征向量的物理意义 3 24 坐标系 B 最初与 A 重合 然后绕过原点的单位矢量 K 旋转 角 即 R K 试证 式中 K 0 0 0 3 25 证明 Proper 正交矩阵的 Cayley 公式 3 26 设想刚体上固结有两个单位矢量 1和 2 因为不论刚体怎样旋 转 此两矢量间的夹角不变 即刚体旋转是保角运算 由此证明 旋 转矩阵的逆等于它的转置 旋转矩阵是正交的 3 27 编写构造坐标系 的算法 坐标系 A 由三点 1 2和 3决 定 其中 1 1是 A 的坐标原点 2 2位于 A 的 X 正半轴上 3 3 位于 A 的 XY 坐标面上 并靠近 Y 的正半轴 3 28 写出位置矢量 的圆柱坐标 和 z 的表达式 3 29 写出位置矢量 的球 级 坐标 和 的表达式 是经度 是纬度 3 30 对于微分转动 sin cos 1 2 0 利式 3 68 推导 微分转动 绕 K 轴旋转 的公式 3 31 利用 3 29 题所得结果证明两个微分转动 无限小转角 是可交 换的 与转动顺序无关 3 32 用欧拉参数 四元数 也可表示刚体的方位 它与等效转轴一转 角的关系为 1 sin 2 2 sin 2 3 sin 2 4 cos 2 这四个数满足 因此称单位四元数 欧拉参数与旋转矩阵的关系为 1 2 2 2 2 32 2 1 2 3 4 2 1 3 2 4 2 1 2 3 4 1 2 1 2 2 32 2 2 3 1 4 2 1 3 2 4 2 2 3 1 4 1 2 1 2 2 32 1 32 23 4 4 1 13 31 4 4 1 21 12 4 4 1 2 1 11 22 33 注意 180 时 4 0 证明 180 是 4的极限存在 位于 1 1 3 33 编写一种