一阶导数在函数中的应用.doc

内蒙古民族大学毕业生论文 一阶导数在函数中的应用 王宝玉（数学学院数学与应用数学2006级蒙班）指导教师 李春龙摘 要： 利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值，导数是分析和解决问题的有效工具.关键词： 导数；函数的切线；单调性；极值和最值导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，新课程中导数内容不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强.是研究导数的一个重要载体，函数问题涉及较多的知识点和数学思想方法.本文对导数在函数中的应用作个初步探究.有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，利用导数解决应用问题.一 用导数的几何意义处理曲线的切线函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率.即就是说，曲线在点处的切线的斜率是，相应的切线方程为.例1 求函数在点处的导数，并求曲线在点（1，1，）处的切线方程.分析：根据导数的几何意义求解解： 即所求切线的斜率为2，故所求切线的方程为 即.二 用导数处理函数的单调性问题利用导数判断函数的单调性的步骤是（1）确定的定义域； （2） 求导数 ，（3）在函数的定义域内解不等式 和 ； （4）确定的单调区间，若函数式中含字母系数，往往要分类讨论.例1、 确定函数 在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数解：第一步 确定函数定义域，函数的定义域是第二步 求函数的导数 第三步 令及 ，确定的单调区间.令 ，即 解得 时 ，是增函数再令 ，即 ，解得或时，是减函数时，也是减函数.例2 研究函数 的单调性解： (1)当 时，由 ，得+-+从上表中的符号随取值的变化规律发现，此时的单调增区间是和，单调减区间是和(2)当时， ，此时的定义域为因此在内单调递增.（3）当时， ，定义域为,此时的单调增区间是和,没有单调减区间.三 用导数处理函数的极值问题求可导函数极值的步骤是（1）确定函数定义域，求导函数；（2）求的所有实数根；（3）对每个实极数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数的符号如何变化，如果的符号由正变负，则的值是极大值；如果的符号由负变正，则是极小值.注意：如果的根的左右侧符号不变，则不是极值.例3 求函数的极值解： 由，解得 或 当变化时， 的变化情况如下：极大值极小值+0-0+-2(-2,2)2时，有极大值，当时，有极小值.四 用导数处理函数的最值问题求在内的最大值和最小值的步骤（1）求在内的极值（2）将的各极值与比较即可.例4 函数 在-2，2的最大值和最小值解： ，解得当变化时， 的变化情况如下：1345413-0+0-0+-2（-2，-1）-1（-1，0）0（0，1）1（1，2）2由上表可知，最大值为13，最小值为4.五 用导数处理不等式问题例5 已知函数 ，证明解： 令 得x=0当 时， ，当时， 在区间（-1，0）上时增函数，在区间上是减函数当时， ，即，故令 ,令 ，得x=0当 时， ，当时， 在区间（-1，0）上时减函数，在区间上是增函数当时， 即 ，故综上知： .六 用导数解决方程参数问题例6 若函数满足条件 ，且在上单调递增，求实数b的取值范围.解： ，又在上单调递增 即又故实数b的取值范围是.七 用导数处理与方程根有关的问题例7 已知平面向量（1）若存在不同时为零的实数k和t，使 ，且，试求函数关系式(2)根据（1）的结论，讨论关于t的方程的解的情况.解：（1）由得x.y=0,又a.b=0，则 即而不同时为0，则(2) 关于t的方程 的解的情况等价于与 的交点个数的情况令 ，则t=1或 -1-1(-1,1)极小值+000+1/2(-2,2)-1/2又为奇函数，且时， 舍去）至此，可以画出的图像大致如图的解的情况是（1） 或 时，与的图象只有一个交点，即方程只有一个解（2） 或 时， 与的图象有二个交点，即方程有二个解（3）k=0时， 与y=0的图象有二个交点，即方程有二个解（4） 或 时，与 的图象有三个交点，即方程有三个解.八 用导数处理相关的应用性问题例8 某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：（1）y与（a-x）和的乘积成正比； （2）当时， ，并且技术改造投入比率： 其中t为常数，且（1）求 的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y的最大值及相应的x值.解：（1）由已知，设当时， ，即 则 解得函数的定义域为(2) 令 则 （舍去） ， 当 时，此时在 上单调递增；当时， ，此时是单调递减的当时，即 时， 综上所述，当时，投入万元，最大增加值是当 时，投入万元，最大增加值是总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便、尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，切线以及应用中的相关问题.参考文献1河南省高考试题（数学版）. J.2010年2期.2高中数学教学参考书.M.2005年2月教育部中学数学实验教材研究组.3程其襄.数学分析第三版.M.高等教育出版社1999年9月.A derivative in function of applicationWang Baoyu(Class (Mongolian) 2006 Mathematics and Applied Mathematics，College of Mathematics )Directed by Li ChunlongAbstract: using the derivative of the tangent, judgment for curve monotonicity of function or demonstration, function and value, the most extreme derivative is to an