函数与导数应用—教师版.doc

2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义-函数专题五：函数与导数应用（2）教师版函数的单调性与最（极）值一、基本练习：1、函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数（C）A.（,） B.（,2） C.（, ） D.（2,3）解析：y=（xsinx+cosx）=sinx+xcosxsinx=xcosx,当x（,）时,恒有xcosx0. 2、函数f（x）=xx在（，）上的单调性是_增函数_.解析:f（x）=exex=ex（e2x1）,当x（0,+）时，f（x）0.f（x）在（0，+）上是增函数. 3、函数y=x2（x3）的减区间是_（0，2）_解析：y=3x26x，由y0，得0x2. 4、函数f（x）=ax2b在（，0）内是减函数，则a、b应满足A.a0且bRC.a0且b0 D.a0且bR解析： （x）=2ax，x0且（x）0且bR. 答案：B5、已知f（x）=（x1）2+2，g（x）=x21，则fg（x）（C）A.在（2，0）上递增 B.在（0，2）上递增C.在（，0）上递增 D.在（0，）上递增解析：F（x）=fg（x）=x44x2+6，（x）=4x38x， 令（x）0，得x，F（x）在（，0）上递增. 6、下列各式正确的是A.xsinx （x0） B.sinxx （x0）C.xsinx （0x） D.以上各式都不对解析：令F（x）=xsinx,则F（x）=1cosx0（当x0,x2n,n=1,2,）.故F（x）在x0时单调递增.因此当x0时,有F（x）F（0）=0. 答案：B7、（2005年北京东城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:函数y=f（x）在区间（3,）内单调递增;函数y=f（x）在区间（,3）内单调递减;函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;当x=2时,函数y=f（x）有极小值;当x=时,函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_ 8、函数f（x）=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则_0b0，00，若f（x）在x（0，1上是增函数，求a的取值范围.解：（x）=2a3x2在（0，1上恒为正，2a3x2，即ax2. x（0，1， x2（0，. a.当a=时也成立.a.例题3：（2004年全国，文21）若函数f（x）=x3ax2+（a1）x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，）上为增函数，试求实数a的取值范围.解:函数f（x）的导数f（x）=x2ax+a1.令f（x）=0,解得x=1或x=a1.当a11，即a2时，函数f（x）在（1,+）上为增函数，不合题意.当a11,即a2时，函数f（x）在（,1）上为增函数，在（1,a1）内为减函数，在（a1,+）上为增函数.依题意应有当x（1,4）时，f（x）0,当x（6,+）时，f（x）0.所以4a16,解得5a7. 所以a的取值范围是5,7例题4：已知f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=1时取得极值，且f（1）=1,（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断x=1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.（1）解法一:f（x）=3ax2+2bx+c,x=1是函数的极值点,x=1是方程3ax2+2bx+c=0的两根. 由根与系数的关系知又f（1）=1,a+b+c=1. 由解得a=,b=0,c=.解法二:由f（1）=f（1）=0,得3a+2b+c=0, 3a2b+c=0. 又f（1）=1,a+b+c=1. 由解得a=,b=0,c=.（2）解:f（x）=x3x,f（x）= x2= （x1）（x+1）.当x1或x1时,f（x）0;当1x1时，f（x）0.x=1时，f（x）有极大值；x=1时,f（x）有极小值.例题5：已知f（x）=2ax+lnx在x=1,x=处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若对x,4时，f（x）c恒成立，求c的取值范围.解:（1）f（x）=2ax+lnx, f（x）=2a+.f（x）在x=1与x=处取得极值， f（1）=0,f（）=0,即解得 所求a、b的值分别为1、1.（2）由（1）得f（x）=2+= （2x2+x1）=（2x1）（x+1）.当x,时，f（x）0;当x,4时，f（x）0.f（）是f（x）在,4上的极小值.又只有一个极小值，f（x）min=f（）=3ln2.f（x）c恒成立，cf（x）min=3ln2. c的取值范围为c3ln2.三、课后练习：1、已知a0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是_3_2、已知函数f（x）=x44x3+10x2，则方程f（x）=0在区间1，2上的根有_0个_解析：（x）=4x（x23x+5）在1，2上，（x）0，f（x）在1，2上单调递增.f（x）f（1）=7. f（x）=0在1，2上无根. 3、函数f（x）的导函数y=（x）的图象如下图，则函数f（x）的单调递增区间为_.解析：在1，0和2，+)上，（x）0. 答案：1，0和2，+)4、若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_.解析：y=4x2+b，若y值有正、有负，则b0. 答案：b05、设f（x）=x32x+5.（1）求f（x）的单调区间；（2）当x1，2时，f（x）0，f（x）为增函数；在，1上（x）0，f（x）为增函数，f（x）f（2）=7. m7.6、设函数f（x）=x3ax2+3x+5（a0），求f（x）的单调区间.解：（1）（x）=3x2ax+3，判别式=a236=（a6）（a+6）.10a6时，0对xR恒成立. 当0a6时，0，由（x）0x或x.（x）0x0时，x1或x，当（x）0时，x1.函数f（x）的单调增区间为（，）和（1，+），减区间为（，1）.8、设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（，0上是增函数，在0，2上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.（1）求n的值；（2）求证：f（1）2.剖析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?解：（1）（x）=3x2+2mx+n.f（x）在（，0上是增函数，在0，2上是减函数，当x=0时，f（x）取到极大值. （0）=0.n=0.（2）f（2）=0，p=4（m+2），（x）=3x2