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开设小、初、高全课程辅导 学习成就梦想第十八章 函数及其图像知识点一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时，我们也称因变量是自变量的函数常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。练习：在函数中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做 的函数。二、函数的三种表示方法：解析法：就是用一个函数关系式来表示函数变化规律。例如，表示圆的面积和半径的函数关系式是列表法：就是用一个数据表来表示函数变化规律。例如：小强每分钟走100米，下表是小强走的路程同时间关系的列表：t（分钟）123456S（米）100200300400500600图像法：就是用线性图像来表示函数变化规律。例如：三、函数的定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围。函数的值域是指因变量的取值范围函数自变量取值范围的确定如下表：函数解析式类型自变量取值满足的条件应用举例整式全体实数（x为任意实数）分式分母不为零二次（偶次）根式被开方数非负练习：求下列函数中自变量x的取值范围： 四、平面直角坐标系：在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O叫做坐标原点。x轴和y轴将坐标平面分成四个象限（如图）:五、平面内点的坐标：（横坐标，纵坐标）如图：过点P作x轴的垂线段，垂足在x轴上表示的数是2，因此点P的横坐标为 2 过点P作y轴的垂线段，垂足在y轴上表示的数是3，因此点P的纵坐标为 3 所以点P的坐标为（2 , 3）练习：请你在图中写出点B、C、D、E、F的坐标。六、平面内特殊位置的点的坐标情况：（连线）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴上 y轴上（- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a） (b , 0)七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意：不要丢了括号和中间的逗号；表示的意思：当时，如点A（2，1） 表示：当时，同时要注意轴上点的特征：即纵坐标等于0;轴上点的特征：即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。八、对称点的坐标关系：关于x轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。关于y轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。关于原点对称的点：横坐标 ，纵坐标 。关于轴对称_；关于轴对称_；关于原点对称_思考：如何解决点关于y=x，y=-x对称，以及点旋转90之后的坐标。九、数轴上的点和 是一一对应的；在平面直角坐标系中的点和 也是一一对应的。十、点到轴的距离为_；到轴的距离为_1、点（-3，2）到X轴的距离是 ，到Y轴的距离是 2、点P在第3象限，P到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，那么点P的坐标是 3、点P（3，5）到y轴的距离为 ，到x轴的距离为 ；十一、点的平移：向上平移2格_；向下平移3格_；向右平移1格_；向右平移5格_（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）十二、两点之间的距离：在同一条水平上线上的时候：求A、B两点之间的距离概括：A、B两点之间的距离为：或当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的，这就需要用到勾股定理的相关知识，同时也要用到中两点在同一水平线上的时候，两点之间的距离求法。A、B两点之间的距离：A、 B两点的中点坐标为：1、点A（0，2）与点B（0，-3）,则AB= 2、点A（2，0）与点B（-5，0）,则AB= 3、点A（2，3）与点B（3，2）,则AB= 十三、画函数图像通常用描点法，步骤是：列表、描点、连线三步。十四、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面确定的取值范围，特别要小心有些情况下并不能取到所有的值，图像也会受到一定的限制。初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。判断函数图像是直线、还是双曲线（可以通过的指数来判断，也可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断）最后从函数与轴（未必一定会有）、轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（如原点对称）；分段性；从而画出比较准确的草图。十五、点是否在函数图像上（其本质就是判断这个点所代表的的值是不是解析方程的解如：判断点是否在函数图像上，即相当于是不是方程的解。或者说：当，是否会等于6。1、点（-3，2），（,）在函数的图像上，则2、直线y2.5x3过点（_，0）、（0，_）3、直线y=-3x+5经过点（3, ），（ ，-5）。4、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（1，2），则k= .5、.经过点（3，2）的一次函数是（）Ay=3x-5 B y=2x+1 C y=x-1 D y=x+1十六、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标：如：的图像上 已知点A的横坐标为2，点B的纵坐标为-4；求点A、B的坐标。解析：A点相当于问你，当 时，；B点相当于问你：时，。十七、寻找与题意相符的函数图像：1、某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路回，若横轴表示时间t，纵轴表示与山脚的距离h，则下面四个图中反映全程h与t的关系图是（ ）ABCDth0th0th0th02、一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是( )204h（厘米）t（小时）204h（厘米）t（小时）204h（厘米）204h（厘米）t（小时）A、 B C DQPRMN（图1）（图2）49yxO3、在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（ ）A处 B处 C处 D处4、乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为，瓶中水位的高度为，下列图象中最符合故事情景的是：（ ）十八、看函数图像获取信息：下图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所有时间t（分）之间的函数关系。请你根据图像提供的信息完成下列填空：小明从家到公园阅报栏用了 分钟，这段路程的速度是 ；小明在阅报栏看了 分钟的报；小明散步走得最远时，离家 米。小明回家用了 分钟，回家时的速度是 ；十九、一次函数的定义：函数解析式是用自变量的一次整式表示的函数叫做一次函数。形如：特别的，当b=0时，一次函数也叫做正比例函数。二十、一次函数的图像是一条 ，因此画一次函数的图像只需要取 个点。二十一、函数图像上的点：（注：点的横坐标就是x的值，点的纵坐标就是y的值）已知点A（2，a）在一次函数上，则a= 。直线过点（ ，0）、（0， ）请你写出直线上任意两个点的坐标 。二十二、一次函数的性质：由k值的正负来决定。K的取值代数性质几何性质k0y随x的增大而增大函数的图像从左到右是上升的Kx2，那么y1 y2已知点（x1，y1）和点（x2，y2）在函数的图像上，且y1y2,那x1 x2 二十三、一次函数的图像特征：由k、b的取值决定k的取值b的取值经过象限图像k0b0一、二、三b=0一、三b0一、三、四k0一、二、四b=0二、四b0,b0 B、k0,b0C、k0 D、k0,b0时，y随x的增大而_；当k0时，反比例函数和一次函数y=kx-k的图象大致为（ ）2、函数y=-x-2的图像大致是（ ）DBCAO x AyyO x CyO x Dy3、函数y1=kx和y2=的图象如图，自变量x的取值范围相同的是（ ）4、函数y=-x-2的图像大致是（ ）BO x AyyO x CyO x Dy5、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）。三十四、直线之间的位置关系已知直线：平行的充要条件：且重合的充要条件：且垂直的充要条件：三十五、直线位置关系与方程组的解之间的关系、两直线相交说明方程组有唯一解；平行说明方程组无解；重合说明方程组有无穷多个解。方程组的解为。而交点坐标为。方程组无解，如图所示：图像没有交点。、通过方程无解来说明直线平行的方法：方程组无解，则，当且时方程无解，所以我们可以得到当且时直线平行。三十六、解析式的求解、解析式的求解步骤：首先要先判断它是一次函数（直线或线段）还是正比较函数（直线或给段，但经过原点），或者反比较函数（双曲线，也可能只有其中一支）；其次，设函数解析式，如下：、一次函数：需要两个条件（或者两个点坐标）来列方程组，求的值。 而正比例函数： 反比例函数：都只需要一个条件（或者一个点坐标）去求解的值。、写出满足下列条件的一个函数关系式：(1) 图像过点(1，1)、(3，2)的一次函数；(2) 图像过点的正比例函数；(3) 图像过点的反比例函数；三十七、反比例有关的面积问题（图7三角形AOB的面积有多种方法）三十八、函数与方程、不等式之间的关系：指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思，之后再过交点作x轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。例1：画出函数的图像，根据图像，指出：（1）取什么值时，函数值等于0（2）取什么值时，函数值大于0例2、如图14，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4) 求不等式的解集（请直接写出答案）；例3、如图，直线与反比例函数（x0）的图像交点A、点B，与x轴相交于点C，其中点A的坐标为（2，4