方程组解应用题.doc

十字相乘x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) kx2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d) 图示如下： ac bd 例如：因为 1 2 -3 7 -37=-21，12=2，且2-21=-19， 所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)例精析例1. 手牵着手，心连着心2008年5月12日发生在四川汶川的特大地震灾害，牵动着全中国人民的心某校团支部发出为灾区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全校师生共捐款 4万5千元，其中学生捐款数比老师捐款数的2倍少9千元，该校老师和学生各捐款多少元?解：设老师捐款x元，学生捐款y元则有，解得答：该校老师捐款18000元，学生捐款27000元例2. 某厂去年的利润为50万元，今年的总产值比去年增加10，总支出比去年减少了20，计划今年的利润为130万元去年的总产值和总支出各是多少？分析：增长率问题是中考的热点之一，关键是搞清原量是多少，列出正确的式子利用表格对去年和今年的总利润、总产值、总支出进行对比设去年的总产值为万元，总支出为万元列出下表：总产值总支出总利润去年50今年（10）（120）130解：设去年的总产值为万元，总支出为万元根据题意，列出方程组，解，得答：去年的总产值为300万元，总支出为250万元例3. 甲、乙两车相距150公里，若两车同时相向而行，则1.5小时相遇；若同时同向而行，则5小时后，甲车追上乙车求甲、乙两车的速度分析：相遇问题中的等量关系：两者的路程之和等于总长追及问题：两人同时不同地（两人所用时间相同），同向而行，直到后者追上前者，其等量关系是：两人所走的路程之差等于已知两地距离设甲车的速度为km/h，乙车的速度为km/h根据题意画出下列图形：解：设甲车的速度为km/h，乙车的速度为km/h根据题意，列出方程组，解，得答：甲车的速度为65km/h，乙车的速度为35km/h说明：解答应用题的过程就是把实际问题抽象成数学问题并进行求解的过程，解方程往往并不困难，难的是如何列出方程，即如何挖掘问题中的相等关系解行程问题的应用题时，通常采用线段图或列表进行分析，从而正确地找出等量关系，列出方程（组）解决问题例4. 一个两位数字，个位数字与十位数字之和为9如果将这个两位数加上27，则刚好得到个位与十位数字对调后组成的两位数求原来的两位数分析：题中的两个未知数是个位数字与十位数字题中的两个等量关系是：个位数字十位数字9；原两位数27个位与十位数字对调后组成的新的两位数解：设个位数字是，十位数字是根据题意，列出方程组，解，得答：这个两位数是36例5. 佳佳问王老师的年龄，王老师说：“我像你这么大时，你才1岁；你到我这么大时，我就40岁了”问佳佳和王老师今年各是多大？分析：题目看上去已知条件极少，无从下手但仔细分析后，发现常识性的道理，随着年龄的增长，不变的是两人的年龄差未知数是两人的年龄等量关系：王老师的年龄佳佳的年龄（“我像你这么大时”）王老师的年龄佳佳的年龄（现在）王老师的年龄佳佳的年龄（“你到我这么大时”）；解：设佳佳今年岁，王老师今年岁根据题意，列出方程组解，得答：佳佳今年14岁，王老师今年27岁例6. 某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套（一个螺钉配一个螺母）时就可以运进库房若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房？分析：这里有两个未知数生产螺钉的人数和生产螺母的人数有两个相等关系：生产螺钉的人数生产螺母的人数=总人数（81名）每天生产的螺钉数=每天生产的螺母数解：设生产螺钉的工人有名，生产螺母的工人有y名，根据题意，列出方程组得 解方程组，得答：生产螺钉的工人有36名，有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房说明：对于这种分配问题，要善于从题中找到数量关系，理清搭配关系，灵活应用所学知识来解决实际问题例7. 有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱解析：本题考查三元一次方程组的建模及其特殊解法设购甲、乙、丙三种商品各一件分别需x元、y元、z元，根据题意有： ，把这两个方程相加得：4x+4y+4z=600，所以x+y+z=150例8. 某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒（图1）， 利用边角料裁成正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽和正方形边长相等（图2），现将150张正方形纸片和300张长方形纸片全部用于制作这种小盒，求可做成甲、乙两种小盒各多少个?分析：甲种小盒每个需要一个正方形纸片和4个长方形纸片，而乙种小盒每个需要2个正方形纸片和3个长方形纸片解：设可以制成甲种小盒x个，乙种小盒y个，依题意，列方程组得：解得：答：可以制成甲种小盒30个，乙种小盒60个例9. 已知某电脑公司有 A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由解析：运用分类讨论的数学思想，借助方程组的数学模型求解设购买A型、B型、C型三种型号的电脑分别为x台，y台，z台如果只购买A型和B型电脑，根据题意，得解，得不合题意，舍去 如果只购买B型和C型电脑，根据题意，得解，得符合题意； 如果只买A型和C型电脑，根据题意，得解，得符合题意。 综上所述，有两种方案可选择； 即购买B型电脑7台，C型电脑29台，或购买A型电脑3台，C型电脑33台说明：本题是属于情景性应用题，从构造方程组的角度出发，逐步深入，寻求解决问题的途径，再结合题目的其他条件一起分析，达到解题的目的五、本讲数学思想方法的学习列方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的步骤很类似，关键是把已知量和未知量联系起来，找到题目中的等量关系在认真审题、分析题意的过程中，经常采取列表或图解的方法帮助理解和揭示各数量间的等量关系，挖掘隐含条件正确地设出未知数（注意写单位），列出方程组，解出答案，并检验解的正确性最后将答案书写完整【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 若一个两位数的十位数字与个位数字的和是6，则符合这个条件的两位数的个数是（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 72. 一船顺水航行43. 5千米需3小时，逆水航行47. 5千米需5小时，则该船在静水中的速度为_，水流的速度为_3. 某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？*4. 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度。求只将温度调高1后两种空调每天各节电多少度？5. 若甲、乙两库共存粮95吨，现从甲库运出存粮的，从乙库运出存粮的40%，那么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原各存多少吨粮食？6. 汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误小时到达；若每小时行驶50千米，就可以提前小时到达求甲、乙两地间的距离及原计划行驶的时间*7. 某单位外出参观若每辆汽车坐45人，那么15人没有座位；若每辆汽车坐 60人，则恰好空出一辆汽车，问共需几辆汽车，该单位有多少人？ 8. 李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了10桶和6桶，共花费51元；陈刚家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了8桶和12桶。且在乙供水点比在甲供水点多花18元钱。若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些？*9. 某工程队计划在695米线路上分别装8.25 米和6.25 米长两种规格的水管共100根，问这两种水管各需多少根？10. 2008年5月12日，四川省发生强烈地震，给当地人民造成巨大的经济损失某学校积极组织捐款支援灾区，初三（1）班55名同学共捐款274元，捐款情况如下表表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据并说明理由捐款12510人数67【试题答案】1. 选C提示：有15、51、24、42、33、602. 12千米小时，2.5千米小时提示：顺水的速度为43.5314.5千米小时，逆水的速度为47.559.5千米小时设静水中的速度为千米小时，水流的速度为千米小时根据题意，得，解得 3. 解：设中型汽车有辆，小型汽车有辆根据题意，得，解得答：中型汽车有15辆，小型汽车有35辆4. 解：设只将温度调高1后，甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度依题意，得：， 解，得答：只将温度调高1后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度。5. 解：设甲仓库原存粮食吨，乙仓库原存粮食吨根据题意，得，解这个方程组，得答：甲仓库原存粮食45吨，乙仓库原存粮食50吨6. 解：设甲、乙两地的距离为x千米，原计划行驶时间为y小时根据题意，得 解这个方程组，得答：甲、乙两地间的距离是450千米，原计划行使时间为小时7. 解：设该单位共有x辆车，y个人依题意，得，解这个方程组，得答：该单位共有5辆车，240人8. 解：设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x、y元， 根据题意，得解，得 因为3.53，所以到甲供水点购买便宜一些。答：到甲供水点购买便宜一些。9. 解：设8.25 米长规格的水管需