导数综合应用.doc

导数综合应用一、导数的应用导数的应用包括以下几个方面：1判定函数单调性结论：对于定义在区间（a，b）上且处处可导的函数，（1）为增函数；（2）为减函数.注意：不是充分必要条件.例如，是单调递增函数，但.2求函数在给定区间上的极值结论：对于定义在区间（a，b）上且处处可导的函数，（1）若x=x0是的极值点，则；（2）结合函数图象来具体判定x=x0是的极大值点或极小值点.注意：“”只是“x=x0是的极值点”的必要不充分条件，例如，对于函数，但x=0不是函数的极值点.3求函数在给定区间上的最值结论：对于定义在区间a，b上且在（a，b）上处处可导的函数，的最值可能在极值点或区间端点取到.注意：列表表示解答过程.二、导数应用的例题1已知a0，函数.（1）当x为何值时，取得最小值？证明你的结论；（2）设在1，1上是单调函数，求a的取值范围.分析：（1）的定义域为（，+）.由导数应用可知，结合的单调性，的最值可能在极值 点或区间端点取到.所以应考虑x时的取值.（2）由（1）确定了的单调性，就可以确定在1，1上的单调性了.解析：（1） 令，解得，且 当x变化时，列表如下：x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)+00+ 又当x0时， 当x=x2时， ，即当x=x2时，取最小值.（2）由（1）知若在1，1上单调递减 则x21 即 解不等式得反思：（1）结合图形来判断函数最值的情况.事实上，函数图象草图如图所示.（2）准确分析的极值点的范围有助于确定在给定区间的单调性.2已知在x=1与x=2时都取得极值.（1）求a，b的值；（2）若x3，2都有恒成立，求c的取值范围.分析：（1）已知的极值点，即已知的零点（2），问题即转化为求解在3，2上的最小值.解析：（1） 由已知，解得（2）， 令，解得x1=2，x2=1 当x变化时，列表如下：x3(3,2)2(2,1)1(1,2)2+00+ ， 解得反思：利用函数最值比较不等式.3已知定义在正实数集上的函数，其中a0.设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同.（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求证：（）分析：（1）与在公共点处切线相同，则函数在该点导数相等.（2）构造辅助函数，则只需.解析：（1）， 令，解得x=a或x=3a 由已知x0，x=a 又， 设 令， 当a变化时，列表如下：a+0 （2）令 令，解得x=a或x=3a（舍） 当x变化时列表如下x(0,a)a(a,+）0+ 当x0时， 即4已知，.（1）求的值域；（2）设a1，函数，x0，1，若对于任意x10，1，总存在x00，1， 使得成立，求a的取值范围.分析：（1）常规问题；（2）由题可知，只需满足即且解析：（1） 令，解得x1=1，（舍） 在0，1单调递减 ， 的值域为4，3（2） 令，解得x1=0，x2=2a（舍） 在0，1单调递减 ， 由已知，解得反思：（1）对于第（2）问，对两个量词（“任意”“存在”）的理解.（2）若将第（2）问改为：若对于任意x10，1，任意x00，1，使得，则需要满足 的条件即为.一方面要注意与例3的联系与差别，另一方面例3的第（2）问并不 等价于.如图所示，任意，但.5已知函数有三个极值点.（1）证明：27c5；（2）若存在实数c，使函数在区间a，a+2上单调递减，求a的取值范围.分析：（1）有三个极值点，则有三个零点.（2）在a，a+2单调递减，则.解析：（1），令 令，x3或x1 即在（，3），（1，+）单调递增 若在3个极值点 则，即 27c5（2）由题意可知，任意xa，a+2有恒成立 对任意xa，a+2成立 由已知，存在c(27，5)使上述不等式成立 则只需对任意xa，a+2成立 令，xa，a+2 ， 令，x1=3，x2=1 当x变化时，列表如下x(,3)3(3,1)1(1,+)+00+032 由题意可知 a+23 或 解得a(,5)(3,1)反思：结合函数图象确定函数的值的符号.三、课后练习1已知函数（为常数）.（1）若t=1，讨论的单调性；（2）若