高中导数应用.doc

函数 导数及其应用函数 导数及其应用 导导 数数 考纲知识梳理考纲知识梳理 一 变化率与导数 导数的计算一 变化率与导数 导数的计算 1 函数 y f x 从 x1到 x2的平均变化率 函数 y f x 从 x1到 x2的平均变化率为 若 则平均变化率可表示为 21 21 f xf x xx 21 xxx 21 yf xf x y x 2 函数 函数 y f x 在在 x x0处导数 处导数 1 定义称函数 y f x 在 x x0处的瞬时变化率 为 y f x 在 x x0处导数 记作 00 00 limlim xx f xxf xy xx 0 00 00 00 limlim x x xx f xxf xy fxyfx xx 或即 2 几何意义 函数 f x 在点 x 处的导数的几何意义是在曲线 y f x 上点 0 fx 处的切线的斜率 相应地 切线方程为 y y0 x x0 0 x 0 fx 0 fx 3 函数 f x 的导数 称函数为函数 f x 的导函数 导函 0 lim x f xxf x fx x 数有时也记作 注 求函数 f x 在 x x0处的导数的方法 y 方法一 直接使用定义 0 00 0 lim x f xxf x fx x 方法二 先求导函数 再令 x x0求 0 lim x f xxf x fx x 0 fx 4 基本初等函数的导数公式 函数导数 yc 0y n yf xxnQ 1 n ynx sinyx cosyx cosyx sinyx x yf xa ln 0 x yaa a x yf xe x ye 5 导数运算法 导数运算法则导数运算法则 1 f xg xfxg x 2 f xg xfx g xf x g x 3 2 0 f xfx g xf x g x g x g x g x 6 复合函数的导数 复合函数的导数和函数 的 yf g x yf u ug x 导数间的关系为 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 xux yyu yxyuux 二 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题二 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1 函数的单调性与导数 函数的单调性与导数 在某个区间 a b 内 如果 那么函数 0fx 在这个区间内单调递增 如果 那么函数在这个区间内单调 yf x 0fx yf x 递减 如果 那么函数在这个区间上是常数函数 注 函数 0fx yf x 在 a b 内单调递增 则 是在 a b 内单调递 yf x 0fx 0fx yf x 增的充分不必要条件 2 函数的极值与导数 函数的极值与导数 1 曲线在极值点处切线的斜率为 0 并且 曲线在极大值 点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 一 般地 当函数 f x 在点 x0 处连续时 判断 f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果 在 x0附近的左侧 f x 0 右侧 f x 0 那么 f x0 是极大值 2 如果在 x0附近的 左侧 f x 0 那么 f x0 是极小值 注 导数为 0 的点不一定是极值 点 3 函数的最值与导数 函数的最值与导数 函数 f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上函数 logaf xx 1 01 ln fxaa xa 且 lnf xx 1 fx x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 yf x 4 生活中的优化问题 生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是 优化问题用函数表示的数学 问题 用导数解决函数问题 优化问题答案 热点 难点精析热点 难点精析 一 变化率与导数 导数的运算一 变化率与导数 导数的运算 一 利用导数的定义求函数的导数 一 利用导数的定义求函数的导数 1 相关链接 相关链接 1 根据导数的定义求函数在点处导数的方法 yf x 0 x 求函数的增量 00 yf xxf x 求平均变化率 00 f xxf xy xx 得导数 简记作 一差 二比 三极限 0 0 lim x y fx x 2 函数的导数与导数值的区间与联系 导数是原来函数的导函数 而导数值是导函 数在某一点的函数值 导数值是常数 2 例题解析 例题解析 例例 1 求函数 y 2 4 x 的导数 解析 22 2 4 xxx xx x y 00 limlim xx x y 22 2 4 xxx xx 3 8 x 例例 2 一质点运动的方程为 2 83st 1 求质点在 1 1 t 这段时间内的平均速度 2 求质点在 t 1 时的瞬时速度 用定义及求求导两种方法 分析 1 平均速度为 s t 2 t 1 时的瞬时速度即在 t 1 处的导数值 2 83st 解答 1 2 83st s 8 3 1 t 2 8 3 12 6 t 3 t 2 63 s vt t 2 定义法 质点在 t 1 时的瞬时速度 00 limlim 63 6 tt s vt t 求导法 质点在 t 时刻的瞬时速度 当 t 1 时 v 6 1 6 2 83 6vs ttt 注 注 导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系 对位移 s 与时间 t 的关系式求导可得瞬时速度与时间 t 的关系 根据导数的定义求导数是求导数的基本方法 诮按照 一差 二比 三极限 的求导步骤来求 二 导数的运算 二 导数的运算 1 相关链接 相关链接 1 运用可导函数求导法则和导数公式 求函数在开区间 a b 内的导数 yf x 的基本步骤 分析函数的结构和特征 yf x 选择恰当的求导法则和导数公式求导 整理得结果 2 对较复杂的函数求导数时 诮先化简再求导 特别是对数函数真数是根式或分式 时 可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便 3 复合函数的求导方法 求复合函数的导数 一般是运用复合函数的求导法则 将问题转化为求基本函数的导 数解决 分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的 适当选定中间变量 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导 而其中特别要注意的是中间变量 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则 求出各函数的导数 并把中间变量转 换成自变量的函数 复合函数的求导熟练以后 中间步骤可以省略 不必再写出函数的复合过程 2 例题解析 例题解析 例例 1 求 11 3 2 xx xxy 的导数 2 求 1 1 1 x xy 的导数 3 求 2 cos 2 sin xx xy 的导数 4 求 y x x sin 2 的导数 5 求 y x xxxx953 2 的导数 分析 分析 先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成 求导时 可设 出中间变量 注意要逐层求导不能遗漏 每一步对谁求导 不能混淆 解 1 2 3 1 1 x xy 2 3 3 2 x xy 2 先化简 2 1 2 1 1 11 xx x x x xy 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 xx xxy 3 先使用三角公式进行化简 xx xx xysin 2 1 2 cos 2 sin cos 2 1 1 sin 2 1 sin 2 1 xxxxxy 4 y x xxxx 2 22 sin sin sin x xxxx 2 2 sin cossin2 5 y 2 3 3x x 2 1 9 x y x 2 3 x 2 1 x 2 3 2 1 x 2 1 2 3 x 1 1 1 2 9 2 x x 三 导数的几何意义 三 导数的几何意义 例 已知曲线 3 14 33 yx 1 求曲线在点 P 2 4 处的切线方程 2 求曲线过点 P 2 4 的切线方程 3 求斜率为 4 的曲线的切线方程 分析 切点坐标切线斜率点斜式求切线方程 解答 1 上 且 2 4 P 在曲线 3 14 33 yx 2 yx 在点 P 2 4 处的切线的斜率 k 4 2 xy 曲线在点 P 2 4 处的切线方程为 y 4 4 x 2 即 4x y 4 0 2 设曲线与过点 P 2 4 的切线相切于点 A x0 则切线 3 14 33 yx 3 0 14 33 x 的斜率 切线方程为 即 0 2 0 x xkyx y 3 0 14 33 x 2 0 xx 0 x 23 00 24 33 yxxx A 点 P 2 4 在切线上 4 2 即 2 0 x 3 0 24 33 x 32 00 340 xx 322 000 440 xxx x0 1 x0 2 2 0 解得 x0 1 或 x0 2 故所求的切线方程为 4x y 4 0 或 x y 2 0 3 设切点为 x0 y0 则切线的斜率为 k x02 4 x0 2 切点为 2 4 2 4 3 切线方程为 y 4 4 x 2 和 y 4 3 4 x 2 即 4x y 4 0 和 12x 3y 20 0 注 1 解决此类问题一定要分清 在某点处的切线 还是 过某点的切线 2 解决 过某点的切线 问题 一般是设出切点坐标解决 二 导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例二 导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例 一 函数的单调性与导数 一 函数的单调性与导数 1 相关链接相关链接 1 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 确定函数 f x 的定义域 求 f x 令 f x 0 求出它们在定义域内的一切实根 把函数 f x 的间断点 即 f x 无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的 顺序排列起来 然后用这些点把函数 f x 的定义区间分成若干个小区间 确定 f x 在各个开区间内的符号 根据 f x 的符号判定函数 f x 在每个相应小开区 间内的增减性 注 当 f x 不含参数时 也可通过解不等式 f x 0 或 f x 0 时为增函数 f x 0 时为减函数 3 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应注意函数 f x 在 a b 上递增 或 递减 的充要条件应是 f x 0 或 f x 0 x a b 恒成立 且 f x 在 a b 的任 意子区间内都不恒等于 0 这就是说 函数 f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点 处有 f x 0 甚至可以在无穷多个点处 f x0 0 只要这样的点不能充满所给区间的任何 一个子区间 2 例题解析 例题解析 例例 安徽 合肥 168 中高三段考 理 本小题满分 13 分 已知函数 2 47 2 x f x x 01x 求 f x 的单调区间和值域 设 1a 函数 22 3201g xxa xax 若对于任意 1 01x 总 存在 0 01x 使得 01 g xf x 成立 求a的取值范围 解 对函数 f x 求导 得 2 2 4167 2 xx fx x 2 2127 2 xx x 令 0fx 解得 1 1 2 x 或 2 7 2 x 当x变化时 fx f x 的变化情况如下表 x0 1 0 2 1 2 1 1 2 1 fx 0 f x 7 2 4 3 所以 当 1 0 2 x 时 f x 是减函数 当 1 1 2 x 时 f x 是增函数 当 01x 时 f x 的值域为 43 对函数 g x 求导 得 22 3gxxa 因此 1a 当 01x 时 2 3 10gxa 因此当 01x 时 g x 为减函数 从而当 01x 时有 10g xgg 又 2 11 23gaa 02ga 即当 1x 0 时有 2 1 232g xaaa 任给 1 1x 0 1 43f x 存在 0 01x 使得 01 g xf x 则 2 123243aaa 即 2 1 2341 232 aa a 解 1 式得 1a 或 5 3 a 解 2 式得 3 2 a 又 1a 故 a的取值范围为 3 1 2 a 二 函数的极值与导数 二 函数的极值与导数 1 相关链接 相关链接 1 求函数 f x 极值的步骤 确定函数 f x 的定义域 求导数 f x 求方程 f x 0 的根 检查在方程的根的左右两侧的符号 确定极值点 最好通过列表法 如果左正右 负 那么 f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么 f x 在这个根处取得极小值 如 果 f x 在点 x0的左右两侧符号不变 则 f x0 不是函数极值 2 可导函数极值存在的条件 可导函数的极值点 x0一定满足 f x0 0 但当 f x0 0 时 x0不一定是极值点 如 f x x3 f 0 0 但 x 0 不是极值点 可导函数 y f x 在点 x0处取得极值的充要条件是 f x 0 且在 x0左侧与右侧 f x0 的符号不同 2 例题解析 例题解析 例例 设 x 1 与 x 2 是函数的两个极值点 lnf xaxbxx 1 试确定常数 a 和 b 的值 2 试判断 x 1 x 2 是函数 f x 的极大值点还是极小值点 并求相应极值 解析 1 21 a fxbx x 由已知得 210 10 1 20410 2 ab f fab 2 3 1 6 a b 2 x变化时 fx f x 的变化情况如表 x 0 1 1 1 2 2 fx 0 0 f x 极小值极大值 故在 x 1 处 函数 f x 取极小值 5 6 在 x 2 处 函数 f x 取得极大值 42 ln2 33 三 函数的最值与导数 三 函数的最值与导数 1 相关链接 相关链接 1 设函数 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求 f x 在 a b 上的最大值和最小值 的步骤 求函数 y f x 在 a b 内的极值 将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值 f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 根据最值的定义 求在闭区间 a b 上连续 开区间 a b 内可导的函数的最 值时 可将过程简化 即不用判断使 f x 0 成立的点是极大值点还是极小值点 直接将极 值点与端点的函数值进行比较 就可判定最大 小 值 定义在开区间 a b 上的可导函数 如果只有一个极值点 该极值点必为最值点 2 例题解析 例题解析 例例 黑龙江省双鸭山一中 2010 届高三期中考试 理 本题 12 分 已知函数 2 f xx xa aR 1 当 0a 时 求证函数 f x 在 上是增函数 2 当 a 3 时 求函数 f x 在区间 0 b 上的最大值 解 1 a 0 时 232 30f xx xaxax fxxa 因 故 f x 在 R 上是增函数 4 分 2 3a 时 3 2 3 33 3 303 xx x f xx x xxx 若0 3b 时 32 3330f xxx fxx 由 得 1x 若0 1b 时 0fx f x 在 0 b 上单增 故 3 3 max f xf bbb 若1 3b 时 因 010 10 x fx xb fx 故 12 max f xf 若 3b 时 由 知 f x 在 03 上的最大值为 2 下求 f x 在 3 b 上的最大 值 因 2 330fxx 故 3 3 max f xf bbb 又 3 2 3 32 3212 202 bb b bbbb b 综合 知 3 3 32 212 301 max bb b f xb bbb 12 分 四 生活中的优化问题 四 生活中的优化问题 例例 安徽 合肥 168 中高三段考 理 本小题满分 12 分 如图 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 AB 20km BC 10km 为了处理这三家工厂的污水 现要在该矩形区域上 含边界 且与 A B 等距的一点 O 处 建造一个污水处理厂 并铺设三条排污管