模糊数学应用题.docx

给定一个含有目标原象x的关系结构S，如果能找到一个可定映映射，将S映入或映满S*，则可从S*通过一定的数学方法把目标映象 确定出来，进而，通过反演 又可以把 确定出来，这样，原来的问题就得到了解决。这种方法就叫做关系映射反演方法。又叫RMI原则。 本质上看，这就是一种把要解决的问题转化成比较简单的或已解决了的问题，通过后者的解来解决原问题的方法。这是数学的一种基本的具有方法论意义的方法。人们很早就在数学中使用这种方法。例如欧几里得几何原本（公元前300年）中把对图形的若干证明转化为“作图”问题来解，从而解决了由于公理不足所产生的证明困难（关于线、圆之间的相交问题等）。中国古代的刘徽在九章算术注（263年）和海岛算经（263年）中一再把各种数学问题求面积及体积、证明公式、测量原理归结为图形的拼补（出入相补原理）来解决，取得了重要的数学成果。17世纪初，纳皮尔引入对数，用对数进行乘法计算是关系映射反演方法的一大成就。但直到这时，这一方法还没有成为一种明确的方法论原则，人们还没有自觉地运用它来解决问题。笛卡儿在其方法论（1637年）一书中给出了一个“万能方法”：把任何问题转化为数学问题；把任何数学问题转化为代数问题；把任何代数问题转化为方程式的求解。“万能”的说法有些言过其实，但把一个数学问题转化为一个较简单的或已解决了的问题来求解，从此成为数学中的一个重要的方法论原则。笛卡儿身体力行，创立了解析几何学，把许多几何问题转化为代数问题求解，是这一方法论原则的重要示范，而且对数学的发展起了重大的作用：引入变量，促进微积分学的创立。此后的数学证明的历史可以说就是关系映射反演方法的应用和发展的历史。人们逐渐自觉地应用这个方法论原则。1983年，徐利治在数学方法论选讲一书中提出前述定义，把这一方法论原则数学化，并正式提出关系映射反演方法的名称，强调了这一方法论原则的关键所在，把这一方法的发展和人们应用的自觉性推到了新的阶段。比如，为求幂运算y=ab，先求对数logy=bloga，把幂运算化为乘法运算，查对数表再相乘求出结果，然后通过反对数运算得到所需的y值，这就是科学研究上常用的关系映射反演原则。数值分析就是针对数学问题R，为了求出其解X，绕了一个弯子，应用数学理论，设计相应的数值方法，编写程序，上机求出方法之解X*，通过处理，得到X或者一定精度的X。所谓RMI原则，即关系(relationship)、映射(mapping)、反演(inversion)原则。其定义可阐述如下：给定一个含有目标原像X的关系结构系统S。若找到一个可定映映射，将S映入S*，则可从S*通过一定的数学方法把目标映像X*=X确定出来，从而通过反演即逆映射-1可将X=-1X*确定出来。全过程包括：关系映射定映反演得解。RMI原则是一个在数学中普遍运用的方法原则，所以在很多数学领域都可找到它的应用实例。这里我们将介绍一些典型例子。 数学分析中某些级数求和问题，往往可以根据RMI原则来解决。例1 求级数n=1-1n-12n-12n+1的和。解 令fx=n=1-1n-12n-12n+1x2n+1，易求出此幂级数的收敛半径R=1，且，f(0)=0。根据我们所熟知的逐项积分定理，就目前问题而言，采用微商算子D所给出的以下映射：fxDfx=ddxfx,可将fx变换成一个较简单的熟知对象： f(x)=n=1-1n-12n-1x2n (|x|1), (1)定义gx=fxxx0,g0=0 (再次作映射!)，把(1)式代入有： gx=n=1-1n-1x2n-2=11+x2 (Ix I1) 利用反演公式gx=0xgtdt，有：gx=0x11+t2dt=arctanx (|x|1),从而有fx=xgx=xarctanx.再利用反应关系fx=0xfxdt,有：fx=0xttantdt=x22arctanx-x2+12arctanx (|x|1)易证 n=1-1n-12n-12n+1xn在x=1收敛，再根据Abel定理得：n=1-1n-14n2-1=limx1fx=12arctan1-12+12arctan1=-24.上述解题过程显然符合RMI原则的框架，稍稍复杂的是它先后运用了两次RMI过程。对数求导法中也应用了RMI原则。应用RMI原则去处理数学问题时，重要关键是如何选取合适的映射。事实上，只有当映射选得好，才能使问题迎刃而解。RMI原则在数学建模中有着极为深刻的运用。数学模型方法，也是运用形式化的数学模型去反映 (表征)现实系统中的关系结构，然后通过对模型的逻辑分析演绎得出的结论，把它反演回去解答现实模型中的某些问题。例 茶几上有7个杯子，全部口向上放置，现在改变它们的放置方向，每次可任意翻动其中4个杯子。试证明：无论如何翻动，不可能出现7个杯子同时向下的情况。 分析 这是组合数学中一个有趣的应用型问题。题设非常简单，但如何恰当地将其抽象化、数学化，从而解答证明，则需要一定的技巧。我们还是利用RMI原则。 证明 我们对杯子的方向定义值，向上记作+1，向下记作-1，(相当于RMI原则中的映射!)设7 个杯子的值为变量a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7则在最初，有：a1=+1,a2=+1,a3=+1,a4=+1,a5=+1,a6=+1,a7=+1。s=a1a2a3a4a5a6a7=+1我们注意，如翻动第i个杯子，则ai将变为-ai。每次翻动都将改变其中4个杯子的值，则相当于s乘以(-1)4 ，那么s的值仍然不变。即s=+1。而在7个杯子同时向下的情况下，s=-1，矛盾。 所以最终无论如何翻动，不可能出现7个杯子同时向下的情况。我们通过一些典型例子，初步阐明了RMI原则的种种应用。但须注意的是，RMI并非一个万能原则。它的作用，只是帮助启发解决问题的思路而已。对于一个特定的数学问题，为了有效地参照RMI原则所规划的框架去解决问题，必须应用好可定映映射去完