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全国优秀教育硕士专业学位论文推荐表 单位名称： 填表日期：2008年 12 月 7日论文题目数学史在数学概念教学中的应用研究作者姓名论文答辩日期学科专业方向2007.5.31攻硕期间及获得硕士学位后一年内获得与硕士学位论文有关的成果发表学术论文(题目，刊名,时间，社会影响)数学史在中学数学的价值体现,山东师范大学学报(自然科学版)2006年9月第21卷第3期(教学与科研) 数学史如何融入概念概念教学,山东师范大学学报(自然科学版)2006年12月第21卷第4期(教学与科研)中学数学概念导入初探, 山东师范大学学报(自然科学版)2007年6月第22卷第2期(教学与科研) 论文所产生的实际影响(对作者工作及所在单位工作)2005年12月30日,成为山东省职业教育与成人教育科学规划课题,现已中期结题.学校将数学史与数学课程整合定为校本课程出版专著(名称、出版社、出版时间)获奖项目(名称、等级及时间）中文论文摘要(论文选题的意义,论文运用的主要研究方法,主要研究成果,主要参考文献)随着数学史与数学教育关系国际研究小组成果的不断涌现，数学史对数学教育的价值被人们所认识和应用。在新一轮中学数学课程改革中，数学史被看成理解数学的一种途径。本研究目的是探讨数学史如何应用于概念教学，主要采用文献研究、实验研究和调查研究的研究方法。通过理论研究探索数学史应用于概念教学的切入点、原则和策略。根据理论研究结果，教师有目的的将数学史融入概念教学，通过教学实验验证理论的有效性。本文通过理论研究得出数学史在概念教学中的切入点、遵循的原则和采用的主要教学策略：数学史在概念教学中的切入点主要有概念产生的背景及价值、产生过程与内涵、概念表示方法的发展变化、从历史角度分析概念蕴含的数学思想等。中学阶段，数学史在概念教学中的应用遵循的原则主要有：应用形式为“融入式”为主；根据教学内容和学生的认知选择合适的数学史内容；在应用时应注重认知纬度的教学；遵循再创造的原则获得概念；遵循直观性原则呈现数学概念的演变过程；采用灵活多样的教学方式，提高学生的参与程度。数学史应用于概念教学的主要策略是 “问题策略”和“有指导的再创造策略”，即教师要引导学生由一系列“问题”的解决 “再创造”的获得概念。 教学实验结束，学生的问卷及访谈结果显示：学生不仅能够适应数学史融入概念教学，而且提高学习兴趣。实验班与对比班测试成绩显示：实验班与对比班存在显著性差异，由此可知数学史融入概念教学的策略有助于学生的概念理解与运用。专家推荐理由本文选题具有新意。将数学史应用于数学概念教学的相关研究具有重要的理论价值和实践意义。作者应用文献研究、理论分析和调查实践相结合的方法，对该问题进行较深入的全面的探讨与教学分析，提出了诸多启发性的结论观点。作者提出的数学史应用于概念数学的教学策略。通过实践证明是富有成效的，对推动数学教学的改革是有重要的现实意义。特此推荐。 专家签字：傅海伦单位推荐意见 学位评定委员会分会主席（签章）： 单位公章 年 月 日说明：学科专业方向包括教育管理、教育技术、小学教育和学科教学，其中学科教学要说明具体方向，如学科教学（数学）。本表可复印、附页。单位代码10445学号分类号G633.6教育硕士学位论文论文题目数学史在数学概念教学中的应用研究学科专业名称学科教学数学申请人姓名导师姓名论文提交时间 2007年 4月 10 日独 创 声 明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 （注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空）或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名： 导师签字：学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解 学校 有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 学校 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后适用本授权书）学位论文作者签名： 导师签字：签字日期：2007年4月10日 签字日期：2007年4月10日80山东师范大学硕士学位论文目 录摘要.ABSTRACT .第一章 问题提出.1一.问题提出的背景.1二.问题研究综述.4三.主要研究问题和研究方法.5第二章 对中学数学概念的理解与认识.6一中学数学概念的特点和学习.6二中学数学概念的教学设计和原则.8第三章 数学史在概念教学中的应用现状调查与分析.13一调查设计.13二调查及分析.13第四章 数学史在概念教学中应用的理论研究.18一数学史在概念教学中的作用.18二数学史在概念教学中应用的切入点.20三数学史在概念教学中应用的层面.22四数学史在概念教学中应用的步骤.25五数学史在概念教学中应用的原则.26六数学史在概念教学中应用的策略.30第五章 数学史在概念教学中应用的实验研究.33一教学实验.33二试验结果调查及分析.49第六章 结论与展望.53一结论.53二展望.53附录.551教师应用数学史于概念教学的调查问卷552学生对数学史的认识及态度的调查问卷573学生对数学史应用于概念教学的反馈问卷594函数概念与对数概念测试卷605学生测试成绩t-检验报告单62注释.63参考文献.64致谢.66在读期间发表的论文.67摘 要数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想起源与发展、及其与社会、经济和一般文化联系的一门学科，它反映了数学发展的脉络与本质。数学史的价值表现为三个方面:数学史的历史价值，数学史的数学价值，数学史的教育价值。随着数学史与数学教育关系国际研究小组成果的不断涌现，数学史对数学教育的价值被人们所认识和应用。在新一轮中学数学课程改革中，数学史被看成理解数学的一种途径。HPM研究成果的日益丰富以及数学课程改革的理念和要求，促使我们关注数学史在数学教育的实际应用，数学史应用研究应重视从概念教学着手，因为数学概念是数学的基础，思维的细胞，是数学教学的出发点。本研究目的是探讨数学史如何应用于概念教学，主要采用文献研究、实验研究和调查研究的研究方法。通过理论研究探索数学史应用于概念教学的切入点、原则和策略。根据理论研究结果，教师有目的的将数学史融入概念教学，通过教学实验验证理论的有效性。本文通过理论研究得出数学史在概念教学中的切入点、遵循的原则和采用的主要教学策略：数学史在概念教学中的切入点主要有概念产生的背景及价值、产生过程与内涵、概念表示方法的发展变化、从历史角度分析概念蕴含的数学思想等。中学阶段，数学史在概念教学中的应用遵循的原则主要有：应用形式为“融入式”为主；根据教学内容和学生的认知选择合适的数学史内容；在应用时应注重认知纬度的教学；遵循再创造的原则获得概念；遵循直观性原则呈现数学概念的演变过程；采用灵活多样的教学方式，提高学生的参与程度。数学史应用于概念教学的主要策略是 “问题策略”和“有指导的再创造策略”，即教师要引导学生由一系列“问题”的解决 “再创造”的获得概念。教学实验结束，学生的问卷及访谈结果显示：学生不仅能够适应数学史融入概念教学，而且提高学习兴趣。实验班与对比班测试成绩显示：实验班与对比班存在显著性差异，由此可知数学史融入概念教学的策略有助于学生的概念理解与运用。但是在实验中，也出现了很多的困难，如因为小部分学生由于没有做好课前准备导致上课时不能积极参与；数学教材与数学史的发展不吻合，这些都对试验造成了一定的难度，另外，由于课时较紧，作者水平的局限，所采用的课时较少，对试验的结果大面积推广有所保留。关键词：数学史；概念教学；切入点；原则；策略 分类号: G633.6ABSTRACTMathematical history is a subject to research into the contact between mathematical concept, mathematical method, the origin of mathematical thought and society, economy and common culture. It reflects the skeleton and essence of mathematical development. The value of mathematical history represents the three aspects as following: the history value, the mathematical value and educational value. With all the results of mathematical history and International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, the educational value of mathematical history is being understood and accepted by people. In present mathematical course reform, mathematical history is considered as a new way to understand mathematical.The research results of HPM are becoming more and more colorful and they urge us to pay more attention to the practical application of mathematical history in mathematical education. Application research on mathematical history should attach importance to the concept because mathematical concept is the basis of mathematical, cell of thinking and jumping-off place of mathematical teaching.The aim of this research is to discuss how the mathematical history can be used in concept teaching; seek after the cut-in points, principles and strategies about the application to the concept teaching of mathematical history through academic research. Teachers combine mathematical history with the design of concept teaching on purpose and validate the academic validity through teaching experiments.This essay concludes the cut-in points, principles and strategies about the application to the concept teaching of mathematical history through academic research:I think, via research, during the period of middle school, the application form of mathematical history in concept teaching should be “the form of being in harmony”; and we should choose the suitable mathematical history content according to the teaching content and the students perceive; we should obtain concept through paying more attention to the latitudinous teaching and recreating principles; presenting the outcoming process of mathematical history through sight principles; improving the degree of the students attaching themselves to the process .The main strategies of the mathematical historys application in concept teaching are: “problem strategy” and “the instructed recreated strategy”, thats to say, teachers instruct students to recreate concept happily with problems.After the experiment, the students questionnaire and talk results indicate: they can not only adapt to the concept teaching of mathematical history, but also improve their interest in study. The achievement test between the academic class and contrast class indicate: there is obvious difference between them. Therefore, concept teaching of mathematical history is helpful in understanding and seizing the concept.Difficulties also appear in the experiments: some students cant take part in the activities well because of being not flexible in using the mathematical ways; or not seizing the mathematical history well and not being prepared well enough before class. The development between mathematical teaching material and mathematical history doesnt cooperate. All the above affect the experiments. And because of the lack of lesson hours; the limit of the writers level; they all lead to remain of the wide spread of the experiments.Key words: Mathematical History；Concept Teaching；Cut-in Points； Principle； StrategyGate number: G633.6数学史在数学概念教学中的应用研究第一章 问题提出一、问题提出的背景1.数学史具有重要的教育价值数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想起源与发展、及其与社会、经济和一般文化联系的一门学科，它反映了数学发展的脉络与本质。数学史的价值表现为三个方面:数学史的历史价值，数学史的数学价值，数学史的教育价值。随着数学史与数学教育关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics）成果的不断涌现，数学史的教育价值被人们所认识和应用。对于在数学教育中使用数学史的问题至少可以追溯到1890年代以前。如美国著名数学史家卡约黎（Florian.Cajori，18591930）, 美国著名数学史家和数学教育家史密斯 (David Eugene Smith，18601944), 意大利著名数学史家洛利亚, 丹麦著名数学史家邹腾（Hieronymus Georg Zeuthen，18391920）, 英国著名数学家德摩根（A.De Morgan，18061871）, 荷兰著名数学史家迪克斯特休斯（E.Jan Dijksterhuis）等欧美数学家、数学史家都大力提倡数学史的教育价值。他们关于在数学教学中如何使用数学史都有不同的论述。意大利数学史家洛利亚（Gino Loria，18621954）是提倡在数学教学中使用数学史的前辈，特别是在教师培训方面。他赞同一个在当时广泛传播的观点数学教师需要用高观点来重新审视初等数学的问题。德国数学家F.克莱因（Felix Klein，18491925），指出数学史是实现这种重现的有效手段。在当时，关于如何在课堂教学中使用数学史有一个非常热烈的争论。在“重现法则”的影响下，即德国生物学家赫克尔（Ernst Haeckel，18341919）提出的“个体的发展重现种系的发展”，在这个重现法则的影响下，提倡数学知识的教学顺序应该跟随人类历史上数学发展的顺序。美国数学家和数学史家M.克莱因（Morris Kline,19081992）十分强调数学史对数学教育的重要价值，认为“每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史，有许多理由，但最重要的一条理由或许是：数学史是教学的指南”。在克莱因眼里，数学史的重要程度可谓无以复加。克莱因坚信，历史上数学家曾经遇到过的困难，课堂上，学生同样会遇到，因而历史对于课堂教学具有重要的借鉴作用。M.克莱因指出：“数学绝对不是课程中或教科书里所指的那种肤浅观察和寻常诠释。换言之，它并不仅仅是从显明叙述的公理推演出无庸置疑的结论来”。 数学史对数学教育的重要价值，我国的学者也有许多认识，最具代表性的是李文林先生的总结：有利于帮助学生加深对数学概念、方法和思想的理解；有利于帮助学生体会活的数学创造过程，培养学生的创造性思维能力；有利于帮助学生了解数学的应用价值和文化价值，明确学习数学的目的，增强学习数学的动力；有利于帮助学生树立科学品质，培养良好的精神。 在新编大纲解读中，数学史对数学教育的意义阐述为：数学发展的历史是一部内容丰富、思想深刻的历史。从理论上说，数学史拥有生动丰富的事例，可以使学生了解数学发展过程中若干重要问题、重要人物和重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，这样有助于学生对数学的全面认识与了解，有助于学生对数学在人类社会的发展中所发挥的作用的了解，有助于学生对科学技术、社会、政治、经济等方面对数学发展所起的作用的了解，也有助于学生学习兴趣的培养，通过了解数学家的工作历程，学生还可以感受数学家的严谨和锲而不舍。更重要的意义是数学发展过程中从人类认识数学角度所展示的数学思维的连续性、完整性、思想性和本质性对于数学教育的启发作用。1从这些数学家和数学史家的著述中以及新编大纲解读我们可以得出，数学史对数学教育价值已被认同和接受，并且研究重心正由理论向实践应用转移。2.当前数学课程改革的理念与要求，促使我们关注数学史在数学教育中的实际应用在新一轮中学数学课程改革中，数学史被看成理解数学的一种途径。标准理念中指出：“数学课程应当适当的反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学的推动作用，数学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。”法国数学家庞加莱认为：数学课程内容应按照数学史内容的发展顺序展现给读者。华东师范大学张奠宙先生提出“让数学史成为数学教育的有机组成部分”。在“第一届全国数学史与数学教育会议”上，中国科学院李文林先生提出，“数学史除了为历史、为数学而历史外，还应该为教育而历史，也就是要发挥数学史的教育功能，使之成为一门可以应用的学问”。西南师范大学宋乃庆先生提出“数学教育尚未真正发掘数学史的教育功能，也没有充分发挥数学史家的重要作用。”所以数学史内容进入课堂教学应该还有许多“中间环节”需要研究，它要进入课堂教学还需要“教学法的再发现和再创造”。而且，标准对具体的应用并未提及，这标志着虽然数学史对数学教育的意义已被认可和接受，但缺乏具体的细化工作和实践经验的总结。3.数学史应用研究应重视从概念教学着手提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一，学生对数学概念、思想方法的正确理解，提出、分析和解决问题能力的提高以及表达交流和探索精神的培养，最终都取决于数学思维能力的发展。培养学生的数学思维能力宜从剖析和领悟概念入手，因为数学概念是数学的逻辑起点，是表达数学思想方法的中介和载体，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心。在概念上下功夫，应体现在概念的形成和发展，特征和形式，方法和价值等方面，利用数学史进行探究式概念学习应该是一条可行且有效的途径。前苏联教育家斯托利亚尔认为，数学史能够向人们提供“关于数学概念、方法、语言发展的历史道路的重要信息”，以及“学校教学中形成和发展这些概念的方法、语言的途径”。数学发展史告诉我们，每一个重要的概念的形成和发展，都有着丰富的经历，如无理数的发现，函数概念的逐步完善，集合概念的建立等等，都充满着人类探索的情意成分和对真理不懈追求的精神，也就是说，“在形式化的数学概念这一冰冷的美丽里面蕴含着人类探索的火热的思考，数学概念形成过程中蕴含着丰富的生活含义”。数学概念绝不是生来就枯燥乏味的，相反，它是生动的。因此，在概念教学中，教师可以从数学概念发展史的过程中，借鉴对教学有价值的内容，充分调动学生头脑中相关的知识经验和生活经验，“再创造”的生成概念 。二、 问题研究综述当前关于数学史应用于数学教育的研究较多，人们比较多的研究了以下两个问题：1.数学史与数学教育实质关系的研究汪晓勤等在“从一次测试看关于学生认知的历史发生原理”及“高中生对实无穷概念的理解”验证了学生的认知过程确实往往会重蹈历史发展过程，历史发生原理是成立的。韩祥临在“自然数幂和公式与三角公式的几何证明数学史与数学教学关系个案研究”中认为数学史上有许多思想方法十分精彩，富有启发性，若能将他们渗透到数学教学中，对数学教育改革将有极其重要的定义。李伯春在“有关数学史与数学教育实质联系的调查”指出：数学史与数学教育有着重要的关系，它们之间的相关性依学校类别不同，各自不同，并指出应深入挖掘数学史的教育价值，让学生掌握数学的精神、思想和方法。2.数学史与中学数学内容整合李红婷在“课改新视域：数学史走进新课程”中论述了数学史走进数学教材要遵循目的性和适应性的原则、教育性和真实性的原则、针对性和时效性的原则以及灵活性与多样性的原则，并且进一步提出数学史在教学中应用的基本要求：做好史料的筛选和积累；确定明确的教学目标；有机融入课堂教学过程；注重适应性和真实性相结合 ；重视课外活动。根据李明振“数学史融入中学数学教材原则方式与问题”研究结果，中学数学教材中数学史内容的选取原则有：科学定论原则、匹配协同原则、功能复合原则、时空多元原则、可读激趣原则。数学史内容在中学数学教材中呈现方式有：渗入教材各环节、插入数学史阅读材料、设置“数学史选讲“专题、推荐数学史阅读书目。王振辉等在“数学史如何融入中学数学教材”提出数学史在教材中的布局应具有连续性、综合性、蕴涵重要数学思想方法的相关历史知识应重点介绍的观点。根据张奠宙、宋乃庆主编的数学教育概论数学史应用应遵循的原则主要有：科学性、实用性、趣味性、广泛性。关于教师在数学教学中应用数学史的实践研究较少，首都师范大学朱国的硕士论文“关于数学史应用于数学教育的调查研究”提出教师在利用数学史素材时要进行问题解决型的学习指导和情理兼容性的学习指导。杨泽忠在“数学史知识渗透与数学创新能力的培养”中提出了数学史知识教学的基本要求：应多讲知识的形成和发展；应重视细节的讲解；应结合具体的知识进行；应着重介绍一些数学史知识的应用。而研究数学史在概念教学中的应用研究更少，在仅有的研究中也只是研究了数学史在概念教学的意义、可行性、价值等。如顾文军在“数学概念教学的新视角”中提出了“利用数学史增强对概念的理解”的视角；如杨泽忠在“略谈高数教学中应重点介绍的数学史知识”提出了“有关数学概念和符号发展历程的数学史知识”应重点向学生介绍。薛红霞在“在数学教学中渗透数学史的作用”中提出数学史在概念教学中作用是“介绍数学概念的形成过程，使学生深入理解数学概念”。 三、 主要研究问题及研究方法1.研究的问题由前面内容可知，研究数学史应用于数学概念教学具有重要的意义,但是当前的研究成果很少很简单，故本文结合实际情况和条件，拟研究解决如下问题：（1）提出数学史在概念教学中应用的切入点。（2）数学史在概念教学中应用的主要原则。（3）探讨数学史在概念教学中应用的主要策略。2.采用的主要方法首先是数学史在本研究中的定位问题：本研究将数学史作为一种促进概念教学的手段，本研究的目的是解决数学教育者如何应用数学史可借鉴的内容，有目的的“促进学生的概念掌握”。所以，本研究所采用的方法主要是文献研究、调查与实验的方法。第二章 对中学数学概念教学的理解与认识一、 中学数学概念的特点和学习1.中学数学概念的地位数学概念，是将现实世界中的具体事物具体化、单纯化、抽象化以后上升到数学世界的。从现实世界上升到思维世界的数学概念就其性质而言，只剩下数量关系与空间形式。因此就其产生而言，它根植于客观的现实，有着深刻的现实背景。但是，在数学本身的不断发展过程中，为了数学自身的需要，有许多数学概念也应运而生。前者与现实生活有一定的关联，后者是形式化的产物，这在中学数学中都有体现。数学概念是数学内容的基本点，是逻辑导出定理、公式、法则的出发点，是建立理论系统的着眼点；同时，它又是学生认知的基础，是学生进行数学思维的起点。因此，中学数学概念不仅是中学数学内容的重要组成部分，而且是学生数学能力的一个重要标志。2中学数学概念的特点数学的研究对象是现实世界的数量关系和空间形式，这种关系和形式是脱离了事物的具体物质属性的，因此，数学概念有与此相对应的特点。（1）数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式，它是排除一类对象物理属性以后的抽象，反映了一类对象在数与形方面内在的、固有的属性，因而它在这一类对象的范围内具有普遍意义。（2）数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，并且都由反映概念本质特征的符号来表示，这些符号使数学有比别的学科更加简明、清晰、准确的表述形式。数学概念的这种特性使学生在较短时间内掌握大量数学概念及其系统成为可能。例如，在数学发展史上，数系的建立经历了两千多年，如今，学生凭借现有的数的符号，可以在较短的时间内掌握数系的全部概念。而在中国数学的发展史上，由于没有发明简明的数学符号而使数学的发展受到极大阻碍的例子是非常多的（如以一、二、三、四、五作为数的符号，在书写和运算上均不如用1、2、3、4、5方便），这说明在数学的发展中引进恰当的符号来表示概念是非常重要的，这是数学概念的一个重要特点。（3）数学概念是具体性与抽象性的辨证统一。一些数学基本概念是一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的抽象，具有明显的直观意义，但通常以形式化语言来表述；数学中有许多概念是在抽象之上的抽象，是由概念所引出的概念（如1、2、3是对真实事物的直接抽象，而那些较大的数则是建立在已有概念的抽象分析之上：对于“已知x，则可得x+1”的理解使人们可以获得自然数的无限序列：1，2，3，n，n+1，）；数学中还有许多概念是“思维的自由想象和创造的产物”，它们与真实世界的距离是非常遥远的，如“虚数”、“n维空间”等。所有这些都说明，数学是高度抽象的。但另一方面，数学概念又是非常具体的，任何一个数学概念的背后都有许多具体内容支撑着。学生只有掌握了数学概念的定义，同时又能够举出概念的具体事例，才算真正掌握了数学概念。（4）数学概念具有很强的系统性。前已指出，数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。公理化体系就是这种系统性的最高反映。数学概念的这种特性要求学生在数学学习时必须做到循序渐进，一步一个脚印，扎扎实实地打好基础。值得指出的是，数学概念的特点不能与个体所掌握的数学概念的特点相混淆。个体所掌握的数学概念是与他本人的数学认知结构水平相适应的，即同一个数学概念，由于认知结构水平的不同，存在着不同水平的理解。例如“函数”概念，初中学生只能作“对于给定区间上的每一个x值都有唯一的一个y值与之对应，则y就是x的函数”之类的直观理解，而高中学生就可以用集合的语言，从映射的观点出发来理解，大学生则可以用“关系语言”来理解它。这种抽象水平的层次性反映了学生数学认知结构水平对概念掌握的制约性，这是教师把握概念教学要求的依据之一。23影响概念学习的因素因为学生是学习的主体，概念获得是学生学习的过程与目标，所以影响学生学习数学概念的因素系统可从两个角度建立，一为学生的心理因素，二为概念形成的内外因素。这两种因素是影响概念形成的最重要也是最核心的因素。即：4.概念获得的主要方式学生获得概念的基本方式有两种：概念形成和概念同化。概念形成的过程可如图所示：辨别一类事物的具体例子扩大或改组原有认知结构区别于已知的有关概念明确新概念的外延概括出共同属性概念同化的过程可图示如下：给出定义（揭示本质属性；给出名称和符号）与原认知结构建立联系，明确新要领的内涵和外延区别于原有认知结构中的某些概念将新概念纳入原有的概念体系之中原有认知结构得到充实二、 中学数学概念的教学设计和原则1.数学概念教学设计步骤及要求数学概念的教学设计过程一般分为情境引入、形成、巩固、运用等几个阶段。在教学设计中教师应注意以下问题：（1）情境引入一般由问题入手，问题情景的设计要求能够吸引学生的注意力，激发学生的学生兴趣。（2）形成。在人们的思维中，对某一类事物的本质属性有了完整地反映，才能说形成了这一类事物的概念，而只有运用抽象思维概括出本质属性才能从整体上、从内部规律上把握概念所反映的对象。因此在概念形成阶段必须注意：讲清概念的定义，包括定义的本质特征、关键因素与词句、注意图形的变式、明确概念符号的含义；完成分类；掌握概念间的逻辑关系。（3）巩固。在给出概念表述以后，教师应该区分学生对知识是真正理解了，还是根据其无关特征回答有关概念的问题，教师可以举出一些与教材中叙述方式不同的新例子，帮助学生把握概念的关键特征，排除无关特征，从而真正的理解概念。（4）运用。数学概念教学不仅要在知觉水平上运用，例如，识别不同位置、不同颜色，不同内角的三角形；还要在思维水平上运用，例如，能够认识到数列是一类函数等。数学概念的运用应充分体现学生在教学中的主体地位，广泛发动学生寻找新旧概念的联系和区别，鼓励学生自行设计能说明概念的例子，使学生对概念的本质有更为深刻的理解。32.数学概念教学的原则根据李善良先生的现代认知观下的数学概念学习与教学中的阐述，数学概念的教学应遵循以下八条原则：（1）动力性原则此原则要求数学概念教学必须充分考虑学生已有的知识经验，精心设计问题情境，引发学生学习的心向，不断激发学生的好奇心，促进学生自发地进行探究活动，自觉地观察、发现概念的本质属性，并能归纳、概括、抽象出概念的定义，自觉地建构数学概念、运用数学概念。（2）过程性原则数学概念学习是“过程对象”的凝聚。概念学习也是一个概念形成与概念同化的合一过程。教学中应通过数学概念的形成过程，通过操作表象定义运用的整体过程，让学生获得作为过程对象耦合的概念，而不仅仅是作为对象的形式化表示的定义。另外，过程性原则还要求要辩证深入地分析学生学习概念过程中的各种错误，区分不同的错误，并认识各种错误产生的原因。（3）结构性原则数学概念具有极为严谨的逻辑结构，在教学时应当考虑学生概念内部表征的结构。数学概念是自然概念又是科学概念，否认学生概念表征的结构性，实际上是把数学完全蜕化为自然概念，这将失去学习数学概念的重要价值。结构性原则同时要求区分学生学习数学概念时的认知根源与概念自身的逻辑基础之间的差别。这样可以找到建立数学概念的最佳“交汇点”。结构性原则要求在数学概念教学中，应从学生心理已有的水平出发，事先已有的心理自我认知结构与概念的逻辑结构之间的融合与统一，即学生心理已有的概念网络能与新的概念结构建立多方面联系，使新概念成为学生心理网络的一部分。这种融合还包括表象与定义的融合、自我表征与形式语言的融合等。（4）活动性原则现代教学论认为，概念学习是主体与客体交互作用，使主体对客体的建构。这种作用与建构是通过主体活动来完成的，包括外在的操作活动和内部的心智活动。在数学概念的学习中，这种活动包括对直观材料的感知，辨析各种属性，通过正例反例进行甄别，然后归纳其本质属性，概括抽象出概念的定义，并通过各种变式进行精微化,进而从抽象返回到具体情景中，运用概念，获得概念与概念之间的各种联系，完成概念网络的建构与扩展。这里的过程都是在教学中由学生自主活动完成的。这种活动经历了“外内外内”的两个阶段，即由外部操作活动逐渐内化为智力活动，进一步用已经建立的内部智力动作解决外部问题，积累经验并深化内部动作，完成对概念的完整认识。（5）交流性原则数学概念学习是学生主体与客体交互作用建构的，而非教师传授的，因而在教学中，必须遵守交流性原则。通过各种外部的交流活动，如：听、说、读、写等来促进师生、生生以及学生与环境、学生与社会的交流。同时，引导学生将外部语言、活动内化为自我语言，转化为内部概念的网络的组成部分，从而实现内部交流的通畅。数学概念教学应该提供各种机会促进学生交流，促进学生将物化语言化为表象语言，进而化为形式语言，同时又能流畅地将自我语言化为外部交流使用的数学语言，进行有效的交流。数学概念本身既是交流的基本单位，又是一个过程的凝缩。这种双重身份，即有益于交流，又会使交流流于形式。一方面，概念作为过程对象的凝聚，交流中往往只使用其名称和符号，可以使交流变得简捷流畅，易于进行。另一个方面，概念的形式化表达或名称代替，学生往往会脱离其替代的本质而只进行符号上的交流，导致表面理解。因而在数学概念教学中，贯彻交流性原则时，应注意引起学生的真正交流，而不是形式交流。这就要求交流必须在活动中进行，在过程中进行。（6）层次性原则数学概念具有逻辑上的层次性，在学习过程中也有认知水平的差异，这就要求数学概念教学必须重视层次性。一方面是教学设计必须认真研究概念的层次构成，有低层到高层逐步过渡。另一方面，就是要不断转化，提升概念层次不要在某一层面上逗留太久。这里应侧重研究两个问题，一个是层次上的教学应当怎样渐进发展，实现量的积累；另一个是如何完成层次之间的转化与飞跃，实现质的变化。前者是后者的基础，后者是前者的升华。仅有同一层次，尤其是低水平层次的学习就难以产生思维上的质的突变，使概念进入更为抽象的水平。（7）系统性原则数学概念无论从逻辑构成还是心理网络角度看，都是一个系统。每一个数学概念都作为系统中的一个节点，与各种概念共同构成一个子系统。没有孤立的数学概念存在，在运用概念时也从来不会运用单独的概念 。实际上，在学习和运用概念过程中，激活某个概念时，其实质是激活这个概念所构成的网络。因此，在建立数学概念教学理论时，必须遵守概念教学的系统性原则。教学每一个概念都应当从概念所处的系统出发，促进学生建立新旧概念之间的各种联系，实现概念网络的建构和扩展，使新的概念成为学生内部概念网络的一个有机组成部分。这样，数学概念教学就不再是个别概念的教学，也不再仅仅是形式化定义的记忆，而是通过学习概念过程中的各种活动，使学生获得概念域、概念网络，直至完成对整个概念系统的理解和掌握。（8）发展性原则数学概念在数学思维中处于核心地位。过去认为它是思维的基本元，实际上，它还是思维发展的重要因素。在数学概念教学中，除了使学生建立内部的概念网络，获得对概念的理解外，教学还应当使学生在概念学习过程中，学会思维的方法，掌握数学知识的发展过程，在数学概念教学中，让学生在已有经验的基础上，通过对新问题的情境分析、观察归纳、概括抽象，获得概念定义，建立联系，运用概念等一系列活动，使其思维得到不断的自觉发展。这种自觉地发展将促进学生整个思维的发展，并促进整体素质的提升。因此，数学概念教学，绝不是以学会概念为终极目标，而是通过数学概念学习的活动，使学生获得发展。4第三章 数学史应用于概念教学的现状调查与分析一、 调查设计1.调查原因与目的新课标强调要讲清楚数学概念的来龙去脉，介绍数学概念的起源与发展过程，我们调查的目的，旨在了解数学史在概念教学中的应用现状，由此展开分析思考，探寻应用数学史提高概念教学质量的有效途径。2.调查内容（1）教师应用数学史于概念教学的现状1）调查教师的数学史知识的“量”与“质”，即拥有的数学史知识和应用数学史情况。2）教师在概念教学中对数学史的认识和应用时遇到的主要困难。3）教师通过何种途径学习使用数学史。（2）学生对数学史应用于概念教学的态度1) 学生