第三章 导数及其应用 第二讲导数的应用.doc

第三章导数及其应用第二讲导数的应用知识梳理知识盘点1函数的单调性函数在某个区间内，若，则为；若，则为；若，则为。2如果一个函数在某个区间内的绝对值，那么函数在这个范围内变化，这时函数的图象就越“”。3（1）函数极值的概念函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的，叫做函数的.函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的，叫做函数的.极小值点与极大值点统称为，极小值与极大值统称为.（2）求函数极值的步骤：；。4函数的最大值与最小值在闭区间上连续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的步骤是：（1）；（2）。特别提醒导数的应用不要包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)利用导数研究函数极值与最值;(3)利用导数研究曲线的切线问题;(4)利用导数研究不等式的证明问题;(5)利用导数研究函数的零点;(6)利用导数求参数的取值范围等.在复习的过程中,应注意总结规律,一般来说,利用导数解决的问题,其所涉及的函数往往具有明显的特征,例如:三次函数等高次函数,非常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解决.再如：f(x)在某个区间内可导，若f(x)0,则f(x)是增函数；若f(x)0,则f(x)是减函数.求函数的极值点应先求导，然后令y=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得等等。 另外,在复习过程中,要注意等价转化,分类讨论,数形结合等数学思想方法的训练,在解决导数的综合应用题中,这些思想方法始终贯穿于其中,是正确解决问题的关键.基础闯关1关于的函数的极值点的个数有 （ ）A2个 B1个 C0个 D由确定2设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为（） A单调递增B、有增有减 C、单调递减 D、不确定3=0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的 ( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D）非充分非必要条件4（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个5若f(x)=x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_6设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，= .典例精析例1若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围. 剖析函数存大单调区间,就是不等式有实数解,考虑到函数的定义域为,所以本题就是要求在上有实数解.解.因为函数存在单调递减区间,所以有解.又因为函数的定义域为,则应有的解.(1)当时,为开口向上的抛物线,总可以找到的解;(2)当时,为开口向下的抛物线,要使总有大于0的解,则且方程至少有一个正根,此时.(3)当时,显然符合题意.综上所述,实数的取值范围是.警示一般地涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题,往往可以借助于导数这一工具进行求解.函数的定义域内存在单调区间,就是不等式或在其定义域内有解,这样就将问题转化为了求解不等式的问题.本题在解答时,很容易忽视函数定义域这一限制条件,即在解答时,只是要求不等式有解,而不是在内有解,从而导致错误.在研究函数的有关性质时,一定要注意优先考虑定义域.变式训练：1. (1)已知为实数，函数若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围 (2) (2005年重庆卷)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中aR.若f(x)在(-,0)上为增函数，求a的取值范围。例2(2005年北京卷) 已知函数若在区间2，2.上的最大值为20.(1)求实数的值;(2)是否存在实数,使得对于,总存在,都有成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由. 剖析对于第(2)小题,可先由(1)求出函数在2，2.上的值域,则问题就转化为:是否存在实数,使在2，2.上的值域是函数在区间上的值域的子集,这样利用导数分别求出这两个函数的值域,建立关于的不等式组即可求解.解（1）令,解得或所以函数的单调递减区间为递增区间是.又因为,所以因为在上,所以在单调递增,又由于在上单调递减,因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有,解得(2)由(1)知因此即函数在区间上的值域为,20,由于,所以当时,因此当时,为减函数,从而当时,.又因为,即当时若对于,总存在,都有,则应有,即,解得:但由于,故不存在这样的实数.警示本题属于探索性的题目,其一般的解法思路是先假设符合条件的参数存在,然后综合考虑题目的各个条件,若各个条件之间不矛盾,则参数存在,若条件之间存在矛盾,则参数不存在.如本题的第(2)问,要特别注意的取值范围首先应满足前提条件,如果忽视这一条件,将得出错误的结论.变式训练2. （2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）设，.若存在使得成立，求的取值范围.例3将函数的图象按向量平移得到函数的图象,求证:当时,.剖析先求出函数的解析式,然后构造函数借助函数的单调性证明不等式.解将函数的图象按向量平移得到函数.令,则,因为,所以,即函数在区间上是单调增函数,于是有,即,因此有当时,.警示利用导数证明不等式也是导数应用的一个重要方面,这类问题一般需要根据欲证的不等式构造一个新函数,然后通过考查这个新函数的单调性,结合给定区间和函数在区间端点的函数值进行证明.变式训练3. 求证:在区间上,函数的图象总在函数的下方.例4设为实数,函数(1)求的极值;(2)当为何值时,函数恰好有两个零点?剖析函数的零点就是函数的图象与轴的交点的横坐标.由此可以通过分析函数的单调性和函数的图象特征进行求解.解(1)令，得.又因为时，；时，；，所以的极小值为；的极大值为.(2)因为在上单调递减，且当时，；又在上单调递减，且当时，；而，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值大于或等于零时，有极小值小于或等于0，此时曲线与轴恰好有两个交点，即函数恰好有两个零点，所以；当极小值等于0时有极大值大于0，此时曲线与曲线与轴也恰好有两个交点，即函数恰好有两个零点，所以。综上所述知，当时，函数恰好有两个零点。警示研究函数的零点的问题可以转化为研究相应函数图象问题.一般地,函数的零点就是函数的图象与轴的交点的横坐标.方程的根就是函数与图象的交点的横坐标.变式训练4已知函数(1)若，求证：；(2)是否存在实数，使得方程有四个不同的实数根？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由。例5(2007山东省样题)已知函数（）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（）设函数的图象C1与函数图象C1交于点P、Q，过线段PQ的中点作轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 剖析利用导数的几何意义，函数在某一点处的导数值，就是函数图象在该点处的切线的斜率，求得切线的斜率后，再通过比较其在C1在点M处的切线与C2在点N处的切线的斜率不相等，来证明该题。解（I），则因为函数存在单调递减区间，所以有解.又因为时，则有的解.当时，为开口向上的抛物线，总有的解；当时，为开口向下的抛物线，而总有的解；则,且方程至少有一正根.此时， 综上所述，的取值范围为.（II）证法一 设点P、Q的坐标分别是， 则点M、N的横坐标为 在C1点M处的切线斜率为 在C2点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则， 即，则=所以 设则 令，则因为时，所以在上单调递增. 故则. 这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.证法二：同证法一得因为，所以，令，得 令因为，所以时，故在上单调递增.从而，即，于是在上单调递增.故即这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.警示利用导数求曲线的切线问题，几乎是每年必考的内容，这类问题，即有可能出现在选择题与填空题中，也有可能出现在解答题中。在这类问题中，导数所担负的任务是求出其切线的斜率，综合考察导数在解决函数单调性，函数曲线的切线等问题中的作用变式训练5已知函数，方程的一个根是6，(1)若直线与函数和的图象的交点分别为，试求当取何值时，线段的长度取得最大值；(2)函数的图象在点处的切线为，在点处的切线为，若、与轴的交点分别为，试求两点之间的距离的取值范围。例6已知函数，(1)函数的单调区间；(2)求函数图象在与轴交点得的切线与两坐标轴所围成的图形的面积；(3)判断方程解的情况().剖析求函数的单调区间一般可以利用函数的导数来解决，即转化解不等式和；不等式的解集即为函数的单调区间，但首先要研究函数的定义域；求曲线在某一点的切线可以利用导数的几何意义；要研究方程根的个数问题，则可以通过函数图象与轴交点的数来分析，要画出函数大致图象，应函数的单调性、函数的极值及函数经过的特殊点等多个方面来考查.解(1),因为函数的定义域为,令,解得:;令,解得且,所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.O321yx(2)与轴的交点设为,则,由于,切线的斜率为.切线方程为.令,得,令,得.所以所围三角形的面积为.(3)方程等价于,在平面直角坐标系中画出函数的图象,如右图所示:所以当时,方程有2个根;当时,方程有1个根;当时,方程没有根;当时,方程有1个根.警示在近年的高考试题中，导数越来越成为一个考查热点，由于导数本身具有强大的工具作用，导数的单调性、极值、最值的研究，曲线切线问题的解决，不等式的证明、恒成立问题以方程根的讨论等问题中都具有着重要的作。以导数为载体的综合题已经成为了高考命题的风向标。利用导数不仅能够判断函数的单调性,研究函数的极值与最值情况,而且还能在此基础上画出函数的大致图象,得到函数图象与轴交点的或两个函数的交点的条件,从而为研究方程的根及函数的零点提供方便,所以在解决方程的根的问题中,要善于运用导数的方法进行求解.变式训练6(2007年山东莱山一中)设是定义在上的奇函数，且函数与的图象关于直线对称，当时，为常数） （1）求的解析式； （2）若对区间，上的每个值，恒有成立，求的取值范围。能力提升1( 2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( )A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)2函数y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值与最小值分别是（ ）O12xy A .5 , 15 B.5 , 4 C. 5 ,16 D. 4 ,15O12xyxyyO12yO12xO12xABCD3(2007年广东佛山)设是函数的导函数,的图象如右图所示，则的图象最有可能的是（）4(2007年山东泰安)已知a0且a1, f（x）x2a，当x（1,1）时，f（x）恒成立，则实数a的取值范围是( )AB CD5（2006年江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足,则必有（ ）A f（0）f（2）2f（1）6若函数y=x3x2a在1,1上有最大值3，则该函数在1,1上的最小值是 .7（2006年湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .8（2006年浙江卷）在区间上的最大值是 9直线与函数的图像有相异的三个公共点，则的取值范围是 .10（2006年山东诸城一中）已知函数，动直线的方向向量是（2，4）（1）若存在直线与的图象相切，求的取值