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数学在物理中的应用陈益尖前言物理要创新，不仅仅光靠物理实验，还要有数学做为理论基础。象著名的物理学家牛顿，谁都可能看到苹果落地，也可想到引力作用，你推导不出规律，而他可以推导出万有引力定律，正因为他有深厚的数学功底，并且会运用数学解决物理问题，而一般人没有。象著名的物理学家爱因斯坦，由于他有高深莫测数学理论，导出了质能能方程，提出了相对论。他们既是物理学家，又是数学家。然而，在我们教的学生中，有很多这样学生，数学很好，物理很差，反之，物理很好，数学很差。如何做到两者并进呢？就必须有这样一本指导性的书，让他们学好数学，用好物理，因此，今天，我将自已的数学与物理一书，提供给大家，希望喜欢。目录第一章、 几何与矢量一、 平面几何与矢量二、 解析几何与物理三、 立体几何在物理中的应用第二章、 方程与物理一、 方程与物理二、 判别式的应用第三章、 函数的应用一、函数图像的应用二、 性质的应用第四章、 三角与物理第五章、 数列与物理第一章、几何与物理一、三角形与矢量矢量，因有三角形而精彩，三角形，因有矢量而实用。在矢量的合成和分解中，我们应用平行四边形定则进行运算，其实在运算过程中，主要是运用三角形性质，解决问题。那么，三角形在矢量中，除了直角三角形（其他资料上，讲的比较多，不再讲）外，其他任意三角形，有哪些应用？两个三角形相似比的应用例1如图所示，绳与杆均不计重力，所承受弹力的最大值一定，A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物P。现施拉力T将B端缓慢上拉（绳、杆均未断），在杆达到竖直前，下列说法中正确的是A、绳子越来越容易断 B、绳子越来越不容易断 C、杆越来越容易断 D、杆越来越不容易断分析：OB绳子的拉、物体的重力、AB杆的弹力共点在B点，设OB=S（变小），AO=H（定量），AB=L（定量） 。滑轮大小不计，对B点受力分析，如图可知ABOPCB，得出对应边成比例，则 T/G=S/H 即 T=SG/H 变小 N/G=L/H 即 N=LG/H=恒量可得：B答案正确。余弦定理的应用例2、物体受到夹角为120的两个共点力作用，它们的大小分别为10N、20N，则物体合力的大小为多少？分析：根据平行四边形定则，合外力平分的两个三角形，不可能是直角三角形，只能运用余弦定理求解，这两个三角形中，其中的一个角为180-120=60，则有F=N余弦定理的应用，在二十世纪80年代，使用的甲种本课本有详细论述。正弦定理的应用例3、如图，用两条绳子拉质量为G的物体，平衡时，两条绳子跟竖直方向的夹角分别为、，求两条绳子的拉力？分析：如图，根据平衡条件，由ABD得即即三角形在物理中，还有其他的应用。不再做一一分析。二、解析几何与物理解析几何在中学阶段，在物理中的应用，很少看到。它究竟有没有功用，如何去开发？根据本人的理解如下。确定物体运动的轨迹物体运动轨道，一般都是由物理现象，物理实验观察出来，很少通过理论进行推导，例如平抛运动，我们完全可以通过数学推导，得出平抛运动的轨迹是一条抛物线。推导：在水平方向上有 在竖直方向上有 、两式，显然是关于时间的参数方程，把时间化去得 从这个方程中，看到它的轨迹，是一条抛物线。通过观察和数学推导，更加加深我们对平抛运动的理解。例1、质量数为m、质子数为q的原子核，在垂直于匀強磁场方向的平面上，由静止发生衰变，变为新核的运动轨迹为，求粒子运动的圆心轨迹？分析：设新核的质量数为，粒子的质量数为，根据动量守恒定律得 由牛顿第二定律得对新核有 即 对粒子有 即 由电荷守恒得 由、联立解得 由左手定则，可知粒子与新核的运动，是一个外切圆，圆心之间的距离为可见，粒子运动的圆心轨迹为 已知轨迹方程求物理量例2、一带电粒子，在垂直于磁场方向的平面运动，运动轨迹为，两坐标轴都以m为单位，粒子运动的速率为2m/s，在某时刻，突然撒去磁场，粒子恰好经过原点，求从撒去磁场到粒子达到原点的时间为多少？分析：撒去磁场时，粒子以2m/s做匀速直线运动，离开时，必于原来的圆轨道相切，圆心、原点、切点构成一个直角三角形，圆心与原点的距离为 圆的半径为 根据勾股定理得原点与切点的距离为 从撒去磁场到粒子达到原点的时间为 无论粒子沿轨道顺时针（或逆时针）运动，结果一样。三、立体几何在物理中的应用立体几何在物理中的应用，主要是将立体几何在数学中证明与计算的空间思维能力，潜移默化到物理中来，也就是在解决问题时，将三维空间转化为二维空间，简化解决问题的方法。例1、如图，A、B两质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为，B在光滑斜面上运动，落地点为，不计阻力，比较、在轴方向上的远近关系是A、较远 B、较远 C、等远 D、A、B都可能分析：A在竖直平面内运动，说明A做平抛运动，则得水平位移为 B在光滑斜面上运动，设倾斜角为，得 沿斜面向下的加速度为 B在斜面做类似平抛运动，在沿斜面向下的方向有 即 水平方向的位移为 即 可知 较远 应选B本题主要是将立体问题转化为平面问题求解，也就是数学，常用的一种思路。例2、如图，一直角斜槽（两槽面间夹角为90，两槽面跟竖直面的夹角均为45）对水平面的倾角为，一个横截面为正方形的物块恰能沿此斜槽匀速下滑，假定两槽面的材料和槽面的情况相同，求物块和槽面之间的动摩擦因数u。分析：本是立体问题，将它转化为平面求解，如图（1），正方形的物块与直角斜槽。两个面接触，有两个大小相等的弹力N，由力的合成得出它们为 方向垂直斜槽底边向上，如图（2）在垂直斜槽底边的方向上有 在平行斜槽底边的方向上有 由、解得 第二章、方程与物理一、方程与物理方程，在物理中，不仅在推理物理规律方面，起着关键性作用，而且在解决物理问题方面，更是必不可缺的资源。在数学中，方程的种类众多，而在我们中学阶段，应用方程解决物理问题，主要是多元一次方程组，一元二次方程等等。在解决问题时，一般都是由物理条件和物理规律，先建立方程，后根据方程求解，得出需求量。例1、某同学在斜向上运动的电梯上，以相对电梯不变的速度，从二楼走到一楼，数得电梯阶级60，从一楼走到二楼，数得电梯阶级20，求从一楼到二楼电梯的级数。分析：由于只知上去和下来电梯的级数，电梯速度、人相对地速度、人相对电梯速度都不知，要得所求，先建立上去一个方程，下来一个方程，还不够，再根据运动合成的等时性，最后可求。解：设从一楼到二楼电梯的级数为N，上去时，电梯运动的级数为M，下来时，电梯运动的级数为M，可得上去时有 20+ M=N （1）下来时有 60- M=N （2）根据等时性得 M/ M=20/60=1/3 （3）联立上面方程组解得：N=30本题还有其他解。例2、将物体以初速度20m/s，竖直上抛，求物体经过离抛出点10m高处，所用时间是多少？（g=10m/s）分析：因为物体上升的最大高度为H=，所以物体经过10m高处有两个解，物体运动过程是匀减速运动，利用匀减速运动规律，列一个一元二次方程，即可求。解：设物理经过10m高处，所用时间为t,得H= 即解得： 当然，还有其他解法。关于运用方程解决物理问题，举不胜举，就讲这么多。二、判别式的应用一元二次方程有没有解，是通过判别式来判定，当0时，有两个解；当=0时，有一个解；当0时，没有解。两个物体运动中相遇的问题，是否能通过判别式来判定呢？下面即这个问题进行讨论。例1、 有一直轨道很长，可以通过两个物体A、B不发生相碰，B在A前方100m处，A以20m/s速度做匀速直线运动，同时B也以2m/s的加速度从静止开始做匀加速度直线运动，则A、B物体是否相遇，若相遇，有多少次？思路：由于同时出发，若相遇，所用时间相同，设时间，根据位移的关系建立一个关于时间的二次方程。直接解方程，或利用判别式求解。解：设A、B两物体从出发到相遇的时间为t,则 A经过的位移为 =20t B经过的位移为=依题意得 即-20t+100=0 (这就是一个关于时间的二次方程)根据判别式 =（-20）41001=0可知A、B相遇，且只有一次。若本题变为：有一直轨道长为150m，可以通过两个物体A、B不发生相碰，B在A前方100m处，A以20m/s速度做匀速直线运动，同时B也以2m/s的加速度从静止开始做匀加速度直线运动，A、B物体是否在直轨道内相遇?分析:假设它们相遇，仍得到 -20t+100=0 若用判别式判断，显然是错的，用求根法判断，可得到它们不能在直轨道内相遇。这两题告诉我们，使用判别式时，要注意物理条件，在条件允许的情况下，可用，不能乱套数学公式。例2、在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心的距离大于L（L比r大得多）时，两球之间无相互作用力，当两球心间的距离等于或小于L时，两球之间存在相互作用的恒定斥力F，设A球从远离B球处以速度V沿两球心连线向原来静止的B球运动，欲使两球不发生接触，V必须满足什么条件？思路：当A进入两球心间的距离等于L时，B开始做初初速度为零的匀加速直线运动，同时A也开始做匀减速直线运动，假设它们经过t时间发生接触，建立一个二次方程式，再运用判别式求解。解：设A进入两球心间的距离等于L时，到两球恰好接触，所用时间为t根据牛顿第二定律 A球加速度为 B球加速度为A球运动的位移为B球运动的位移为如图得即 由于两球不接触，上式没有解，则=0 得小结 1、运用判别式解决物理问题时，先要建立一个关于某物理量的二次方程，再求解；2、使用时要注意物理条件，在条件允许的情况下，可用，不能乱套数学公式。第三章、函数的应用一、函数图像的应用物理规律，大都是运用函数图像，定性、定量进行研究，最后得出物理规律。函数图像，在物理中，可以说是遍地开花。它通过数形结合，直观、形象地反映物理过程。加深人们对物理规律的理解，下面谈谈函数图像的应用。分析实验数据 得出物理规律在物理实验中，先采取了控制变量法，测出两个物理量的数据，然后，进行数据分析：一种是计算法，另一种是图像法。而后一种更被人们认可，因为有些实验数据，无法通过计算，得到两个量之间的关系。只有图像法，以两个量分别为两条坐标轴，建立直角坐标，描点画出图像，就可以通过图像，定性或定量分析它们之间的关系，得出规律。所以函数图像，在实验数据分析中，起决定作用。运用函数图像 解决物理问题函数图像，不光是在实验数据分析中，起决定作用，而且在解决物理问题中，化难为易，化复杂为简单，起到事半功倍的作用。例1、做匀变速直线运动的物体，在某一段时间内，经过中点时刻的速度跟经过中点位置的速度，比较谁大。分析：假如先设初、未速度，再根据经过中点时刻的速度与经过中点位置的速度分别跟初、未速度的关系，列方程，然后，运用不等式求解，要大费周折，才能解决。如果做出速度与时间的图像，一看就知道。如下图两种情况，显然是中点时刻的速度小于中点位置的速度。小结：先根据物理规律，做出函数图像，再根据图像性质，判断两个物理量之间的关系，或求出某个物理量。运用物理规律 判断函数图像例3、矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直低面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图所示.若规定顺时针方向为感应电流I的正方向，下列各图中正确的是分析：01s。磁感应强度变化为 根据法拉第电磁感应定律有(恒量)平行于t轴，A错。电磁通量增大，感应电流电场与原磁场相反。根据安培定则，感应电流为逆时针方向，应在i轴负方向。C错。13s同理得感应电流大小为：(恒量)平行于t轴12s时，磁通量减小，感应电流磁场方向跟原磁场方向相同。根据安培定则，感应电流为顺时针方向。23s时，磁场方向改变指低外，磁通量增大，感应电流磁场方向距原磁场方向相反。根据安培定则，感应电流为顺时针方向。B错，D对。正确答案为D。小结：本类型题，主要是由物理规律，建立函数表达式，根据物理条件，确定函数定义域和值域，以及方向性，再确定图像的正确性。 在运用函数图像时，必须根据物理条件、物理规律，确定函数定义域和值域，以及方向性，把数学转化为物理，才能得到内化，达到新的高度。二、函数性质的应用 定义域、值域、增减性、最大值、最小值、周期性等等，这些函数性质，如果在物理中运用适当，真是如鱼得水，妙处无穷。可见正确地引导学生对于哪些物理问题、应该运用哪些对应的函数性质解决，既可以使学生加深对函数性质的理解，又能提高学生应用数学工具解决物理问题的能力。一、 运用定义域，值域求物理问题的取值范围【例1】（88年高考题）初速度为零的离子经过电势差为U的电场加速后，从离子枪T中水平射出，经过一段路程后进入水平放置的两平行金属板MN和PQ之间。离子所经空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场（图1），不考虑重力作用。离子的荷质比（q、m分别是离子的电量与质量）在什么范围内，离子才能打在金属板上？分析：离子通过电场加速后进入磁场，在磁场力作用下，做匀速圆周运动发生偏转，假设离子从进入磁场到打在金属板上某一点的水平距离为x,只要建立一个q/m跟x的函数表达式，依据题意确定x是定义域，再根据定义域值域，显然，q/m得解。解：当离子经过电场加速后有mv/2=qU （1）在磁场中受到洛仑兹力作用，做匀速圆周运动得 (2)当离子打在金属板上时，根据几何关系有： （3）联立（1）、（2）、（3）解得 (4)(4)式就是q/m跟x的一个函数表达式。依题意离子能打在金属板上，则x的定义域为 dx2d （5）由（4）、（5）解得的值域为 小结：已知一个物理量的取值范围，确定另一个物理量的取值范围，可利用函数的定义域，值域求解。二、 运用增减性求物理问题的变量【例2】(93年高考题)如图2，电子在电势差的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差的两块平行极板间的电场中，入射方向跟极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略，在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是（ ）A、变大，变大；B、变小，变大；C、变大，变小；D、变小，变小。分析：当电子加速后，进入水平放置的两块平行极板间受到电场力作用发生偏转，只要建立一个跟、的函数表达式，通过讨论函数的增减性，就可知道变大原因。解：设两平行极板之间的距离为d,长度为L，电子在电场中加速后速度为 即电子从进入到射出平行极板所用时间为 加速度为，由 ，得=刚射出平行极板时，跟电场方向平行的速度大小为 偏转角度为，有 ，即这是一个，跟、的函数表达式。讨论：根据物理条件090，当不变时，上式为增函数，故，；当不变时，上式是减函数，则，。显然B为正确答案。 小结：已知某一个（或n个）物理量的变化，讨论另一个物理量的变化，可以运用函数的增减性求解。三、 运用最大值、最小值求物理问题的极值【例3】如图3所示，光滑斜面与水平面夹角是。在斜面上放一个质量为m 圆球，再用光滑平板A挡住。现在缓慢地改变板A与斜面的夹角,当=_时，A板对球的作用力最小，最小力为_。分析：如图3可知圆球受到三个力作用，重力mg，斜面对它的支持力，挡板对它的压力。以竖直方向为纵坐标轴，水平方向为横坐标轴，原点在球心，建立直角坐标系。分别将、分解在x轴、y轴上，根据平衡条件，确定跟的函数表达式，球函数的极值问题，就得其解。解：如图3知在x轴上（1）在y轴上（2）由（1）、（2）得由于为mgsin恒量，这是一个跟的函数关系式。根据物理条件180，当=90时，sin=1最大值，故有最小值 =mgsin。本题答案应为=90；=mgsin。小结：已知某一物理量的变化，引起另一个物理量取最大或最小值问题，可以运用函数最大值、最小值求解。四、 运用周期性求物理问题的重复运动【例4】如图4所示，两根长度都为L的细线悬挂一小球A，绳与水平方向夹角为，使球垂直于纸面作摆角小于5的摆动，当它经过平衡位置瞬间，有另一小球B,从A球的正上方自由落下，并击中A球，则B球距A球的距离是_。分析：B小球做自由落体运动，A小球做单摆振动，只有A小球运动到平衡位置时，同时B小球也下落到达此位置，才能击中。由于A小球振动到平衡位置是周期性出现的，故所用的可能时间为（n=1，2，3），与B下落时间相等，再根据自由落体运动的位移公式求解。解：A小球摆长为 振动周期为振动到平衡位置的时间是（n=1，2，3） B小球下落的距离为 （n=1，2，3）小结：关于振动或者波动问题，一般运用函数周期性分析。第四章 三角与物理数学中的三角函数、三角方程、三角公式、三角恒等式的证明等等，在物理中，有哪些应用，下面即这个问题，进行探索。一、 三角恒等式的方法迁移例1、如图所示，一物体自倾角为的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足A.tan=sin B. tan=cos C. tan=tan D. tan=2tan分析：根据四个答案，明显是属于三角的恒等问题，要想得到证明，先要知道物体落在斜面上，水平位移与斜面的夹角跟倾角相等，设初速度为，时间为t，则水平位移为 x=竖直位移为 y=得 tan=根据速度的关系得 tan=2 tan答案是：D注意：数学的三角恒等证明，是由三角公式的不断转化，而达到证明。物理求三角的关系，是通过物理规律，构建等式，寻找量之间的关系，而达到求解三角之间的关系。二、 三角方程的运用例2、质量为m的质点，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是不可伸长的，柔软且无弹性。今把质点的正上方离O点的距离为的点以水平的速度抛出，如图所示。求轻绳就将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？分析：从题问开始，要求夹角，必须建立一个三角方程，要建方程，须根据质点做平抛运动，水平位移为： 竖直位移为： 再由直角三角形的性质得出，竖直方向的关系为： 水平方向的关系为： 联立两式就得一个三角方程，把已知量代入，可得（表示绳与竖直方向的夹角）。 关于三角函数、三角公式的运用，请看函数性质的应用例3，不再作分析。第五章、数列与物理通顶公式的应用例1、（1989年高考题）图（3）中实线是一列简谐波在某一刻的波形图线，虚线是0.2秒后它的波形图线。这列波可能的传播速度是_。分析1、已知这列波从实线波形传到虚线波形所用的时间为t=0.2秒，关键是求出这段时间波的传播距离（即从实线波形到虚线波形中振动相同的两质点间的距离）。解1、选波峰A为研究质点，当波向正方向的传播距离可能是AB=1或AC=1+4米等等，可得它们通式为Sn=1+4n米（n=0，1，2）；当波向反向传播时，波的传播距离可能是AD=3米或3+4米等等，可得它们的通式为米/秒（n=0,1,2）可见波速为：向正向传播米/秒。（n=0,1,2）向反向传播（n=0,1,2）分析2：如图已知波长为=4米。由于波的传播周期跟波形中任一质点的振动周期相同只要求出某一质点的周期即可。解2如图选M做为研究质点；当波向正向传播时，M先向上振动，振动到达B点时是反复出现的所以需要的时间通式为：得：（n=0,1,2）当波向反向