概率论与数理统计32ppt课件

3 2二维r v 的条件分布 设二维离散型r v X Y 的分布 若 则称 为在X xi的条件下 Y的条件分布律 3 2离散条件分布 若 则称 为在Y yj的条件下X的条件分布律 类似乘法公式 类似于全概率公式 例1把三个球等可能地放入编号为1 2 3的三个盒子中 每盒可容球数无限 记X为落入1号盒的球数 Y为落入2号盒的球数 求 例1 1 在Y 0的条件下 X的分布律 2 在X 2的条件下 Y的分布律 解先求联合分布 其联合分布与边缘分布如下表所示 0123 0123 0 pi 1 p j X 0123 将表中第一行数据代入得条件分布 1 Y 01 2 当X 2时 Y只可能取0与1 将表中第三列数据代入下式 得Y的条件分布 解 例2 例2已知一射手每次击中目标概率为p 0 p 1 射击进行到击中两次为止 令X表示首次击中目标所需射击次数 Y表示总共射击次数 求的联合分布律 条件分布律和边缘分布律 由题设知 故X与Y的边缘分布律分别为 的联合分布律为 律为 当时 X的条件分布 律为 当时 Y的条件分布 连续条件分布 当X连续时 条件分布不能用 来定义 因为 来定义 而应该用 设 若f x y 在点 x y 连续 fY y 在点y处连续且fY y 0 则称 为Y y时 X的条件分布函数 记作 定义 类似地 称 为X x的条件下Y的条件分布函数 为X x的条件下Y的条件p d f 称 为Y y的条件下X的条件p d f 称 注意 y是常数 对每一fY y 0的y处 只要 相仿论述 仅是x的函数 符合定义的条件 都能定义相应的函数 类似于全概率公式 类似于Bayes公式 例3已知 X Y 服从圆域x2 y2 r2上的均匀分布 求 r 解 x r 例3 同理 边缘分布不是均匀分布 当 r y r时 y 这里y是常数 当Y y时 当 r x r时 这里x是常数 当X x时 x 事实上 正态性质3 正态分布的条件分布仍为正态分布 正态分布性质3 同理 例5设 求 解 例5 当0 y 1时 y 当0 x 1时 x 例6已知 求 例6 解 当fX x 0时 即0 x 1时 当fX x 0时 f x y 0 故 x y 1 0 5 0 5 0 5 设 X Y 为二维r v 若对任何 则称r v X和Y相互独立 实数x y都有 3 3 定义 由定义知 二维r v X Y 相互独立 X与Y独立 即 连续型 二维随机变量 X Y 相互独立 则边缘分布完全确定联合分布 对一切i j有 离散型 X与Y独立 对任何x y有 二维连续r v X Y 相互独立 设离散r v X Y相互独立 且服 问题 从同一分布 是否有X Y 为简单计不妨假设 11 11 0 250 25 0 250 25 0 50 5 0 5 0 5 由X Y独立性 问题 故不能说X Y 由上表易得 即使概率为1的事 件未必是必然事件 证 对任何x y有 取 X与Y相互独立 正态分布性质4 必要性 正态性质4 故 充分性将 代入 即得 例1已知 X Y 的联合d f 为 1 2 讨论X Y是否独立 例1 解 1 由图知边缘d f 为 显然 故X Y相互独立 2 由图知边缘d f 为 显然 故X Y不独立 判独立的一个重要命题 设X Y为相互独立的r v u x v y 为连续函数 则U u X V v Y 也相互独立 即 独立r v 的连续函数仍独立 若X Y为相互独立的r v 则aX b cY d也相互独立 X2 Y2也相互独立 随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量 若 则称r v X1 X2 Xn相互独立 由命题知 算出罪犯的身高 这个公式是 公安人员根据收集到的罪犯脚印 通过公式 由脚印估计罪犯身高 如何推导出来的 估身高 显然 两者之间是有统计关系的 故 设一个人身高为 脚印长度为 由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的 相互独立的 且各因素的影响又是微小的 可以叠加的 故 应作为二维随机变量来研究 由中心极限定理知可以近似看 成服从二维正态分布 其中参数因区域 民族 生活习惯的不同而有所变化 但它们都能通过统计方法而获得 密度为 现已知罪犯的脚印长度为 要 估计其身高就需计算条件期望 条件 的密度函数 因此 这正是正