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导数及其应用 3 2010 江西卷 若函数f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 4 2010 山东卷 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 万件 分析 1 由切线方程知 已知点处的导函数为0 列出关于待定系数的方程组 2 根据已知切线的斜率 列出关于切点横坐标的方程 利用三角函数的周期找到切点 点评 已知曲线一点处的切线方程 可根据条件列出方程 组 求出参数的值 某点处的导函数值等于过该点处切线的斜率 例2 2010 辽宁卷 已知函数f x a 1 lnx ax2 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 设a 2 证明 对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 分析 导数的强大功能之一就是讨论函数的单调性 第 2 问中绝对值成为解题障碍 是否可考虑利用第 1 问中的结论 分析 第 1 问只要证明在 1 上f x 0即可 第 2 问未给a赋值 在求最小值时应分情况讨论 变式3 已知函数f x 的导数f x 3x2 3ax f 0 b a b为实数 且1 a 2 1 若f x 在区间 1 1 上的最小值 最大值分别为 2 1 求a b的值 2 在 1 的条件下 求经过点P 2 1 且与曲线f x 相切的直线l的方程 3 设函数F x f x 6x 1 e2x 试判断函数F x 的极值点个数 1 导数的几何意义可以帮助我们解决许多解析几何中的疑难 要求曲线在某点处的切线的斜率 可直接求这点处的导数 2 求可导函数单调区间 首先确定函数f x 的定义域A 然后解不等式f x 0 得解集B 集合A B所包含的区间即为函数的单调增区间 解不等式f x 0 得解集C 集合A C所包含的区间即为函数的单调减区间 3 求函数的极值点 如果f x 函数在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 是极小值 求函数的最值 先求函数在 a b 上的各极值 再与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 4 导数是研究函数性质的强有力的工具 在解决函数 几何等问题时 不但避开了初等变形的难点 而且使解法程序化 变 巧法 为 通法 因此 在探讨极值 单调性 不等式等有关问题时 要充分发挥导数的作用 优化解题策略 简化运算 本题第 1 题只需根据f x 和g x 在区间I上单调性一致的定义
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