浙江大学微积分1试卷(09).pdf

微积分 I 期末试卷 2009 2010 学年秋冬学期 浙江大学 2008 2009 学年秋冬学期 微积分 I 课程期末考试试卷 A 卷 浙江大学 2008 2009 学年秋冬学期 微积分 I 课程期末考试试卷 A 卷 注意 解题时应写出必要的解题过程 注意 解题时应写出必要的解题过程 一 求导数或微分 每小题 6 分 共 18分 1 设 1arcsin 2x e xxy 求 dy 2 设 y y x 是由参数式所确定 求 4 0 2 sin dcos 2 ty ssx t 2 2 d d x y 3 设是由方程所确定 求 xyy xyxyxsin ln 32 d d 0 xx y 二 求极限 每小题 6 分 共 18 分 4 求 11 sin 1ln lim 32 0 x xx x 5 求 sin 114 lim 2 2 xx xxx x 6 求 2 1 0 3 cos2 lim x x x 第 1 页 共 6 页 微积分 I 期末试卷 2009 2010 学年秋冬学期 三 求积分 每小题 6 分 共 24 分 7 求 d 1ln 3 2 x x x 8 求 1 d 0 xx x 9 求 d4 2 2 2 23 xxxx 10 已知 x xsin 是的一个原函数 求 xf d 3 xxfx 四 四 本题 8 分 求幂级数 1 2 1 12 1 n n n x n 的收敛半径 收敛区间及收敛域 并求其和函数 五 五 本题 8 分 设 xf连续 且 xf在0 x处存在一阶导数 0 0 f 1 0 并设 d u已知当0 x时 xF与 n xA为等价无穷小 求 A 与 n 的值 f 2 0 x fxFu 第 2 页 共 6 页 微积分 I 期末试卷 2009 2010 学年秋冬学期 六 本题 10分 过坐标原点作曲线的切线 L x ey 1 求 L的方程 2 以曲线 切线 L及 x 轴负向为边界构成的向左无限伸展的平面区域记为 D 求 D的 面积 x ey 3 将 D绕 x 轴旋转一周生成的旋转体记为 V 求 V 的体积 七 本题 8 分 证明函数极值的第二充分条件定理 xf 设在处存在 2 阶导数 xf 0 xx 0 0 0 00 AAxfxf则为 的极小 大 值 0 xf xf 并请举例说明 上述定理仅是充分条件而非必要条件 即 设在 xf 0 xx 处存在 2 阶导数 0 0 x f 0 xf为的极小 大 值 但 xf 0 x f 并不一定为正 负 八 本题 6 分 1 写出展成 x 的幂级数展开式 并写出其收敛域 22 xx eexf 2 积分与积分谁大谁小 并请说明理由 xee xx d 1 0 22 xee xx d 1 0 33 第 3 页 共 6 页 微积分 I 期末试卷 2009 2010 学年秋冬学期 参考解答 一 1 xx x ex xx y xe x d ln2 1 2 1 2 1 d 2 2 2 4 42 2 2 4 43 sec2 cos2 4 d d 2 cos2 cos4 d d t tt t x y t tt tt x y 3 由方程 有 xyxyxsin ln 32 xyxyx yx yx cos3 2 32 2 原方程令得代入上式 则 0 x 1 y 1 d d 0 xx y 二 4 3 1 sin 1ln lim 11 sin 1ln lim 20320 x xx x xx xx 2 3 1 cos 1 1 lim 0 x x x x 2 3 3 2 sin 1 1 lim 2 0 x x x 5 xx xxx x sin 114 lim 2 2 112 sin 1 1 1 11 4 lim 2 2 x x x x x x x x 6 2 1 3 cos2 lim x x 0 x 3 1cos 1ln 1 lim 2 0 x x ex 3 1cos 1 lim 2 0 x x ex 或 2 3 1cos 1cos 3 0 3 1cos 1 lim x x x x x 6 1 2 2 0 23 1 lim e x x ex 三 7 d 1ln 3 2 x x x 2 2 1 d 1ln 2 1 x x d 1 2 1ln 1 2 1 22 2 2 x xx x x x x xx x x d 1 1 1ln 2 1 2 2 2 x x x x x x d 1 1 1ln 2 1 2 2 2 Cxxx x 1ln 2 1 ln 1ln 2 1 22 2 C x x x x 2 2 2 2 1 ln 2 1 1ln 2 1 第 4 页 共 6 页 微积分 I 期末试卷 2009 2010 学年秋冬学期 8 0 1 d xx x 0 2 1 d 2 x x 2 2arctan2 0 x 或 0 2 0 2 d 1 1 2d 1 2 t t t tt t tx 2 2arctan2 0 t 9 xxxxd4 2 2 2 23 xxxd44 2 0 2 4 d42 2 2 0 2 xx 3 32 4 3 2 2 0 2 2 3 2 x 10 2 sincos sin x xxx x x xf xxfxxfxxfxxxfxd 3 dd 2333 x x x x xxx x sin d3 sincos 2 2 3 d sin 2 sin 3 sincos 2 x x x x x x xxxxx xxxxxxxxdsin6sin3 sincos Cxxxxx cos6sin4cos 2 Cxxxx sin4cos 6 2 四 令 级数为 tx 2 1 1 12 1 n n n t n 此时1 12 12 limlim 1 n n a a R n n n n 1 1 2 xx即 且当时 级数 1 x 1 1 12 1 n n n 收敛 则幂级数的收敛半径为 1 收敛区间为 1 1 收敛域为 1 1 设 1 12 1 1 2 1 12 1 12 1 n n n n n n x n xx n xSxxx x n nn d 1 0 1 221 xxx x n n d 0 1 12 x x x x d 1 1 0 2 xxarctan 因为xxarctan在1 x处连续 所以幂级数的和函数为 1 1 arctan xxxxS 五 n x xA xF lim 0 n x x xA uuf 2 0 0 d lim 2 2 0 1 2 0 lim 2 2 lim n x n x x xf nAxnA xfx 24 2 0 0 lim 2 xx fxf nA n x 1 lim 0 n x xA xF 1 0 0 0 lim 2 2 0 ff x fxf x 1 2 4 nA n 则 2 1 4 An 第 5 页 共 6 页 微积分 I 期末试卷 2009 2010 学年秋冬学期 六 1 设切点 0 0 x ex 0 0 x xx ey 切线 代入点 0 x ey x 0 0 x ex 1 00 00 xxee xx 则 切线 L的方程 xey 1 x ey e 1 e ox 1 y exy 2 e yy e y D 0 d ln e y e yy e e y 0 00 2 dln 2 22 e ee e 或 exeD x 2 1 d 1 22 1 2 1 1 e eeeex 3 1 0 2 1 2 d d xxexeV x 2 1 2 3 1 dexe x 6 1 3 1 2 1 222 eee 七 证 0 0 lim lim 00 0 0 00 AA xx xf xx xfxf xf xxxx 所以存在的空心邻域内 0 xx 0 0 x 0 0 0 xx xf 从而 当时 的符 号在处左负右正 左正右负 则为的极小 大 值 0 0 xx x f 0 xx 0 xf xf 例子 的极小值 0 4 xffxxf为 0 0 f 但 0 0 f 并不大于零 八 1 由 u n u e n n u 0 有 1 0 2 0 2 22 x n x e n x e n nn x n n x 1 1 2 0 22