浙江湖州市2017届高三数学上学期期末试题附解析.doc

浙江湖州市2017届高三数学上学期期末试题（附解析）2016-2017学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1设i是虚数单位，复数12i的虚部是（）A2B2C2iD2i2函数y=ex（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线方程是（）Ay=x1By=x+1Cy=x1Dy=x+13已知sin（）=，则tan=（）ABCD4已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面（）A若m，m，则B若m，m，则C若m，n，则mnD若m，n，则mn5函数y=sinx（cosxsinx），xR的值域是（）A，BCD6已知是等比数列，则“a2a4”是“是单调递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7已知双曲线与抛物线y2=2px（p0）有公共焦点F且交于A，B两点，若直线AB过焦点F，则该双曲线的离心率是（）AB1+C2D2+8在（1x）5+（1x）6+（1x）7+（1x）8的展开式中，含x3的项的系数是（）A121B74C74D1219已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（）AB2CD310已知f（x）是R上的奇函数，当x0时，f（x）=则函数y=f（x）+的所有零点之和是（）A1B1C5D5二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，集合A=1，2，3，B=2，3，4，则AB=，UA=12设等差数列的公差是d，前n项和是Sn，若a1=1，a5=9，则公差d=，Sn=13若实数x，y满足，则2x+y的最大值是14某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（单位：cm3），表面积是（单位：cm2）15A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有种（用数学作答）16已知ABC的面积是4，BAC=120，点P满足=3，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N则=17甲，乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到A岗位的人数为随机变量X，则随机变量X的数学期望E（X）=，方差D（X）=三、解答题（共5小题，满分75分）18在锐角ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c已知sinAsinC=，b2=ac（1）求角B的值；（2）若b=，求ABC的周长19在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是正三角形，且A1A=AB，顶点A1在底面ABC上的射影是ABC的中心（1）求证：AA1BC；（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小20已知a2，函数F（x）=minx3x，a（x+1），其中minp，q=（1）若a=2，求F（x）的单调递减区间；（2）求函数F（x）在1，1上的最大值21已知椭圆C：和圆O：x2+y2=1，过点A（m，0）（m1）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1于圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M，N（1）若m=，求直线l1的方程；（2）求m的取值范围；（3）求OMN面积的最大值22已知数列满足a1=，an+1=，nN*（1）求a2；（2）求的通项公式；（3）设的前n项和为Sn，求证：（1（）n）Sn2016-2017学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1设i是虚数单位，复数12i的虚部是（）A2B2C2iD2i【考点】复数的基本概念【分析】根据复数虚部的定义即可得出【解答】解：复数12i的虚部是2故选；A2函数y=ex（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线方程是（）Ay=x1By=x+1Cy=x1Dy=x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求导函数，进而可以求切线斜率，从而可求切线方程【解答】解：由题意，y=ex，当x=0时，y=1，函数y=ex（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线方程是y1=x0即y=x+1，故选B3已知sin（）=，则tan=（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式可求得cos，从而可求得sin与tan【解答】解：sin（）=，sin（）=cos，cos=，又，sin=，tan=故选：C4已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面（）A若m，m，则B若m，m，则C若m，n，则mnD若m，n，则mn【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】根据空间中线面、面面平行和垂直的性质与判断定理，对选项中的问题进行分析、判断正误即可【解答】解：对于A，m，m时，或与相交，故A错误；对于B，m，m时，故B错误；对于C，m，n时，mn，故C错误；对于D，m，n时，mn，D正确故选：D5函数y=sinx（cosxsinx），xR的值域是（）A，BCD【考点】三角函数的最值【分析】利用二倍角公式将函数化简成同名同角函数，利用三角函数的有界限求解值域即可【解答】解：函数y=sinx（cosxsinx）=sinxcosxsin2x=sin2xcos2x=sin（2x+）1sin（2x+）1y故选D6已知是等比数列，则“a2a4”是“是单调递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：在等比数列1，2，4，8中，满足a2a4，但“是单调递增数列不成立，即充分性不成立，若是单调递增数列，则必有a2a4，即必要性成立，则“a2a4”是“是单调递增数列”的必要不充分条件，故选：B7已知双曲线与抛物线y2=2px（p0）有公共焦点F且交于A，B两点，若直线AB过焦点F，则该双曲线的离心率是（）AB1+C2D2+【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质【分析】根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得=c，经过利用直线AB，过两曲线的公共焦点建立方程关系即可求出双曲线的离心率【解答】解：抛物线y2=2px（p0）和双曲线有共同的焦点，=c，直线AB过两曲线的公共焦点F，（，p），即（c，2c）为双曲线上的一个点，=1，（c2a2）c24a2c2=a2（c2a2），e46e2+1=0，e2=32，e1，e=1+，故选：B8在（1x）5+（1x）6+（1x）7+（1x）8的展开式中，含x3的项的系数是（）A121B74C74D121【考点】二项式定理的应用【分析】利用等比数列的前n项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含x4的项的系数，即是代数式的含x3的项的系数【解答】解：（1x）5+（1x）6+（1x）7+（1x）8=，（1x）5中x4的系数为，（1x）9中x4的系数为C94=126，126+5=121故选：D9已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（）AB2CD3【考点】基本不等式【分析】实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，kd0a2+2b21，令a=rcos，b=，0，2），0r1h代入化简即可得出【解答】解：实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，0a2+2b21，令a=rcos，b=，0，2），0r1则a+2b=rcos+rsin=sin（+），其最大值是，故选：A10已知f（x）是R上的奇函数，当x0时，f（x）=则函数y=f（x）+的所有零点之和是（）A1B1C5D5【考点】分段函数的应用【分析】根据分段函数和奇函数的性质分别求出每段上的零点，再求其和即可【解答】解：当x1时，则1|x3|+=0，解得x=，或x=，当0x1时，则log（x+1）+=0，解得x=1，f（x）为奇函数，当1x0时，f（x）=log（x+1），则log（x+1）+=0，解得x=1（舍去），当x1时，f（x）=1+|x+3|，则1+|x+3|+=0，解得x=或x=，故所有的零点之和为+1=1，故选：B二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，集合A=1，2，3，B=2，3，4，则AB=2，3，UA=4，5，6，7【考点】补集及其运算【分析】根据交集与补集的定义，写出AB和UA即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，集合A=1，2，3，B=2，3，4，所以AB=2，3；UA=4，5，6，7故答案为：2，3，4，5，6，712设等差数列的公差是d，前n项和是Sn，若a1=1，a5=9，则公差d=2，Sn=n2【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出公差，由此能求出结果【解答】解：等差数列的公差是d，前n项和是Sn，a1=1，a5=9，a5=a1+4d=1+4d=9，解得公差d=2=n+=n2故答案为：2，n213若实数x，y满足，则2x+y的最大值是14【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x+y，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（4，6），此时zmax=24+6=14故答案为：1414某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（单位：cm3），表面积是8+（单位：cm2）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式和表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：底面ABCD的面积为：22=4cm2，高VO=cm，故该几何体的体积V=cm3，侧面VAD的面积为：2=cm2，VA=VD=2cm，OB=OC=cm，VB=VC=2cm，侧面VAB和侧面BCD的面积为：22=2cm2，侧面VBC底面上的高为cm，故侧面VBC的面积为：2=cm2，故几何体的表面积S=4+22+=8+cm2，故答案为：，8+15A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有60种（用数学作答）【考点】排列、组合的实际应用【分析】先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A42A22种坐法，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A42A22种坐法，则共有A33（A42A22）=60种坐法故答案为6016已知ABC的面积是4，BAC=120，点P满足=3，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N则=【考点】向量在几何中的应用【分析】不妨令ABC为等腰三角形，根据三角形的面积公式求出b2=c2=，再由余弦定理求出a2=16，再根据投影的定义可的，|=，|=，最后根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：不妨令ABC为等腰三角形，BAC=120，B=C=30，b=c，SABC=bcsinA=4，b2=c2=，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA=16，=3，|=|=，|=|=，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N，|=|sinB=，|=|sinC=，MPN=180A=60，=|cos6=，故答案为：17甲，乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到A岗位的人数为随机变量X，则随机变量X的数学期望E（X）=，方差D（X）=【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列，进而能求出X的数学期望和方差【解答】解：甲，乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到A岗位的人数为随机变量X，则X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为：X012PE（X）=，D（X）=（0）2+（1）2+（2）2=故答案为：，三、解答题（共5小题，满分75分）18在锐角ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c已知sinAsinC=，b2=ac（1）求角B的值；（2）若b=，求ABC的周长【考点】正弦定理【分析】（1）由b2=ac，利用正弦定理，结合sinAsinC=，求出sinB，即可求角B的大小（2）由已知利用余弦定理可求a+c的值，进而可求周长的值【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为b2=ac，所以由正弦定理得sin2B=sinAsinC因为sinAsinC=，所以sin2B=因为sinB0，所以sinB=因为0B，所以B=（2）因为：B=，b=，b2=ac所以：由余弦定理可得：3=a2+c2ac=（a+c）23ac=（a+c）29，解得：a+c=2，所以：ABC的周长为：a+b+c=2+=319在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是正三角形，且A1A=AB，顶点A1在底面ABC上的射影是ABC的中心（1）求证：AA1BC；（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质【分析】（1）由A1O底面ABC，得A1OBC，再由O是ABC的中心，连接AO交BC于D，则ADBC，由线面垂直的判定可得BC平面A1AD，进一步得到AA1BC；（2）取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，由（1）知，BC平面ADD1A1，由线面垂直的判定和性质可得直线A1B与平面BCC1B1所成角求解直角三角形得答案【解答】（1）证明：如图，A1O底面ABC，A1OBC，ABC为正三角形，O为底面三角形的中心，连接AO交BC于D，则ADBC，又ADA1D=O，BC平面A1AD，则AA1BC；（2）解：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，由（1）知，BC平面ADD1A1，平面ADD1A1平面BB1C1C，且平面ADD1A1平面BB1C1C=DD1，过A1作A1HDD1，垂足为H，连接BH，则A1BH为直线A1B与平面BCC1B1所成角设A1A=AB=2a，可得，由ADA1O=AA1A1H，得=在RtA1HB中，sin直线A1B与平面BCC1B1所成角为4520已知a2，函数F（x）=minx3x，a（x+1），其中minp，q=（1）若a=2，求F（x）的单调递减区间；（2）求函数F（x）在1，1上的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）令f（x）=x3x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），画出函数f（x），g（x）的图象，结合图象求出F（x）的递减区间即可；（2）根据a的范围，在1，1上，F（x）=f（x）=x3x，求出F（x）的最大值即可【解答】解：（1）令f（x）=x3x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），令f（x）=g（x），解得：x=1或x=2，画出函数f（x），g（x）的图象，如图示：，显然x1时，f（x）g（x），x1时，f（x）g（x），故F（x）=，故F（x）在在（，）递减；（2）由（1）得：a2时，F（x）=，而2，故在1，1上，F（x）=f（x）=x3x，而f（x）在1，）递增，在（，）递减，在（，1递增，故F（x）的最大值是F（1）=021已知椭圆C：和圆O：x2+y2=1，过点A（m，0）（m1）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1于圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M，N（1）若m=，求直线l1的方程；（2）求m的取值范围；（3）求OMN面积的最大值【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由题意设出直线l1的方程，由直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式列出方程，可得直线l1的方程；（2）由条件对m分类讨论，设直线l2、直线l1的方程，分别列出方程求出m和k关系，联立椭圆方程化简后，利用0列出方程化简后，求出m的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件对m分类讨论，先求出斜率不存在时OMN面积，利用韦达定理和弦长公式表示出OMN面积，化简后利用换元法求出面积的最大值【解答】解：（1）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=k（x），即kxyk=0，圆O：x2+y2=1的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=，化简得k=1或k=1，直线l1的方程是或；（2）当1m时，满足条件；当m时，直线l2的斜率存在，设为k，则直线l2的方程为y=k（xm），即kxykm=0，l1l2，直线l1的方程为y=（xm）（k0），即x+kym=0，l1于圆O相切于点P，化简得m2=1+k2，由得，（2k2+1）x24mk2x+2k2m22=0，=（4mk2）24（2k2+1）（2m2k22）0，化简得，1+k2（2m2）0，由m2=1+k2