导数在研究函数中的应用.ppt

导数在研究函数中的应用 淮安市淮海中学王开林 问题1 函数单调性的定义是什么 1 一般地 对于给定区间上的函数f x 如果对于这个个区间内任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么f x 在这个区间上是减函数 2 由定义证明函数的单调性的一般步骤 1 设x1 x2是给定区间的任意两个值 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 并变形 3 判断差的符号 从而得函数的单调性 问题2 如何判断或证明其在定义域内的单调性 问题情境 上述证明中实质上体现了下述问题 问题 导数大于0 或小于0 与函数单调增 减 是否有密切的关系呢 x1 x2 0f x1 f x2 0 x1 x2 0f x1 f x2 0 f x 单调增 f x 单调减 下面我们通过函数y x2 4x 3的图象来考察一下 观察函数y x2 4x 3的图象 2 K 0 K 0 K 0 思考 从图像中你发现了什么 1 函数的导数与函数的单调性的关系 增函数 减函数 正 负 0 0 o x y a b c d 推广到一般情况 结论 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内f x 0 那么y f x 为这个区间内的增函数 如果在这个区间内f x 0 那么y f x 为这个区间内的减函数 1 函数y f x 在区间I内单调增f x 0 思考 下列命题正确吗 用I表示某个区间 2 在区间I内f x 0函数y f x 在I内单调增 1 函数y f x 在区间I内单调增f x 0 不能 不能 例题分析 例1 1 确定函数f x x2 4x 3在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 2 确定函数f x 2x3 6x2 7在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 f x 2x3 6x2 7 6x2 12x 令6x2 12x 0 解得x 2或x 0 当x 0 时 f x 0 f x 是增函数 当x 2 时 f x 0 f x 是增函数 令6x2 12x 0 解得0 x 2 当x 0 2 时 f x 0 f x 是减函数 解题小结 如何用导数判断单调性 求单调区间 用导数法确定函数的单调性时的步骤是 注 单调区间不以 并集 出现 2 求出函数f x 的导函数 3 在定义域内求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递增区间 4 在定义域内求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递减区间 1 确定函数f x 的定义域 思考 如何用导数证明函数在某个区间上的单调性呢 例2试确定函数f x sinx x 0 2 的单调减区间 例3求证函数f x x 0 1 为单调减函数 感受与理解 1 函数f x x3 3x 1的减区间为 A 1 1 B 1 2 C 1 D 1 1 2 若函数y a x3 x 的递减区间为 则a的取值范围为 A a 0 B 11 D 0 a 1 3 当x 2 1 时 f x 2x3 3x2 12x 1是 单调递增函数单调递减函数 C 部分单调增 部分单调减 D 单调性不能确定 A A B 4 函数y xcosx sinx在下面哪个区间上是增函数 A 2 3 2 B 2 3 C 3 2 5 2 D 2 5 确定下列函数的单调区间 1 y x3 9x2 24x 2 y x x3 3 y ex x 1 D 课堂小结 1 这节课你懂了什么知识 2 用你所学知识能解决哪些类型的问题 3 解题中有失误吗 什么地方值得你注意 课后尝试 已知向量a x2 x 1 b 1 x t 若函数f x a b在区间 1 1 上是增函数 求t的取值范围 课后作业 作业 p741 3 2 谢谢指导 例1 1 函数f x x2 4x 3 x 2 4 确定函数在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 由题意设x1