MATLAB在高等数学中的典型问题应用探索.pdf

收稿日期 2009 11 26 修订日期 2009 12 22 作者简介 黄 炜 1961 男 陕西岐山人 副教授 研究方向 代数及应用 基金项目 宝鸡职业技术学院重点科研基金资助项目 ZK0366 第28卷 第1期 2010年2月 江 西 科 学 J I ANGXI SCIENCE Vol 28 No 1 Feb 2010 文章编号 1001 3679 2010 01 0114 04 MATLAB在高等数学中的典型问题应用探索 黄 炜 宝鸡职业技术学院基础部 陕西 宝鸡721013 摘要 分析了大学数学中的图形图像处理 数值计算及海量数据的处理等典型问题的教学特点 并采用MAT2 LAB的方法分别基倒实现了以上三类典型问题的直观图像及计算结果 为如何解决实际与理论教学中计算 繁琐问题增加学习直观性和趣味性及培养学生数学的应用及创新能力提供借鉴给出了应用MATLAB软件辅 助大学数学教学的几个典型案例 关键词 MATLAB 问题的直观性和几何性 数值计算 海量数据的处理 数学趣味性 中图分类号 G0172 文献标识码 B The Using Exploration ofMATLAB on Mathematics Typical Question HUANGWei Department of on the Basis BaojiVocational and Technical College ShanxiBaoji 721013 PRC Abstract This paper analyzes the three typical problems of teaching characteristics graphics image processing numerical calculation data analysis in collegemathematics and uses theway ofMATLAB to individually illustrate the three typical problems and brings them about the visual images and the calculation results how to figure out the theoretical calculation of teaching complicated issue how to increase the learning of intuitive and fun and how to develop the application and the ability ofmathe2 matics and innovative this thesis provides a good reference Key words MATLAB Graphic and image processing Numerical calculation Data analysis Mathe2 matics fun 0 引言 随着信息技术在高等数学教学上的广泛应 用 老师已不满足于现在Powerpoint和Flash等第 一代教学课件开发工具的使用上 传统开发工具 的优点制作使用门槛不高 但是缺点是使用者与 课件的互动比较困难 有的甚至不可能互动 2 大部分学生对高等数学一直感到抽象 冗繁和枯 燥 学生不能亲手体验数学 只能被动接受 教育 工作者迫切希望克服这一弱点 近几年来 基于计算机强大计算能力的广泛 应用 科学计算已成为与理论研究 科学实验并列 的科学研究的三大手段 因此 大学数学课程除 了培养学生的抽象思维能力 逻辑推理能力 空间 想象能力 基本运算能力外 还应注重培养学生的 数学建模能力与数值计算能力 包括数据处理能 力 学会用数学方法初步解决实际问题 会用计 算机进行一定的科学计算 3 而培养的学生 大 多高分低能 只能做一些简单的特殊的计算 对于 从实际中 生活中的一些数据的普通计算处理 无 从下手 更不要说工程 科技中的大型复杂数据计 算 很多学生怕繁难计算 在数学软件发展成熟的今天 国外大量课程 的教材都已采用数学软件分析 教学中大量使用 数学软件 而国内教材这方面比国外落后 教学中 实际使用数学软件的就更加凤毛麟角 原因在于 一是中国大多数的教师和教材都没有用计算机的 习惯与传统 二是没有制订科学计算的训练大纲 计划 即使有了用数学软件的教材 教师也不敢 用 三是当前的教学管理体制没有鼓励改革的激 励机制 1 所以科学计算能力的低下已成为我 国高等教育落后于国外的一个瓶颈 而且目前还 在继续加大 当前世界的科技格局已经确立 不 能仅仅跟着世界科技发展走 否则 将永远落后 为了改变这种局面 笔者认为在大学数学课 中应优先安排加强数学软件教学 制定相应的教 学大纲 计划 编写教材 修改写教案 增加上机教 学与辅导 尽快缩短与世界的差距 本文通过在高 等数学教学及解决实际问题中使用MATLAB软 件辅助教学过程的几个典型案例来加以说明 1 利用数学软件辅助图像处理来提 高教学效果 1 1 利用数学软件 可以化抽象为形象 化冗繁 为简明 化枯燥为生动 把函数分别用幂级数逼近和用傅立叶级数逼 近 学生常常不明白这2个逼近有何区别 若单纯 从理论上来分析解释学生是难以接受的 甚至是 适得其反 利用MATLAB软件作图 可以区分不 同 化解难点 案例1 利用MATLAB软件分别作出y sinx 与它的项泰勒多项式展开式中前3项的图形及f x 4 x 0 4 0 x f x 2 f x 与它 的傅立叶级数展开式中前10项和的图形 输入 x pi 0 01 pi y1 sin x y2 x y3 x x 3 6 y4 x x 3 6 x 5 120 plot x y1 x y2 x y3 x y4 输出 如图1所示 图1 再作出 f x 4 x 0 4 0 x f x 2 f x 的傅立叶 f x m 1 sin 2m 1 x 2m 1 展开 式中前10项和的图形 输入 x 10 0 01 10 y sin x sin 33x 3 sin 53x 5 sin 7 3x 7 sin 93x 9 sin 113x 11 sin 13 3x 13 sin 153x 15 sin 173x 17 sin 193x 19 plot x y x y 输出 如图2所示 通过观察比较图形 使学 生明白 泰勒级数只在某一点附近的逼近效果较 好 而傅立叶级数的整体逼近效果较好 但是 在 有直形的直观展现下 学生一目了然 依然比单纯 地分析代数式直观许多 通过数形结合的方式 更 有利于教学效果的提高 图2 1 2 利用数学软件 验证结论的正误 推动学生 思维的创新 高等数学中的不少知识比较抽象 推导都比 较复杂 计算量都比较大 老师往往把大量的时间 和精力都放在理论的分析和推导上 在实际运用 511 第1期 黄 炜 MATLAB在高等数学中的典型问题应用探索 中计算量大 不易计算出结果 但是 通过MAT2 LAB计算 轻易得到正确的结果 便于对理论学 习的验证 高等数学中有很多结论的逆命题不一定成 立 可以通过MATLAB软件强大的计算功能和绘 图功能来验证这些逆命题的正误 在一元函数极 值的教学中 己知道函数单调性的分界点是函数 的极值点 但是反过来 很多同学误认为 函数的 极值点是函数的单调性的分界点 给出下面的反 例 利用MATLAB软件作图 使学生由似是而非 到清晰正确 案例2 设 f x x 4 x 2 sin 1 x 2 x 0 0 x 0 输入 ezplot x 4 x 23sin 1 x 2 0 5 0 5 输出 如图3所示 可直观的得到 x 0是f x 的极小值但 f x 在x 0的两侧不单调 得 到函数的极值点不一定是函数的单调性的分界 点 把抽象概念 数学逆命题 教学难点等通过直 观图形使学生获得感性认识 把知识的传授过程 变为以学生体验为主体的知识的主动探究过程 这种先直观 后抽象 先观察 后归纳 概括 总结 的教学方式 可以化抽象为形象 化冗繁为简明 化枯燥为生动 更符合认知规律 也使教学内容易 学易懂 4 这样既加深了对知识的理解 又发展 了学生的批判性思维及研究性思维能力 图3 2 利用数学软件辅助较复杂计算 培养学生学习的兴趣 数值计算在理论上算法多 公式多 计算量 大 实践性强 教学中难免出现从数字到数字 从 公式到公式 繁琐 枯燥 缺乏直观性 有大量的 数据和计算 5 用人工计算枯燥 繁琐 容易出 错 有时量大 要完成计算几次是不可能的 而且 从数据到数据 从公式到公式 单调乏味 十分影 响学习兴趣 在没有计算机作辅助计算时 都是困 难的 甚至是不可能的 其实 无论是老师还是学 生 都希望打通复杂计算的瓶颈 建立快速通道 MATLAB软件提供了很好的途径 它除了命令式 软件外 大量的菜单式软件也相继出现 这为充分 利用计算机软件提供了便利的条件 学生只要清 楚算法设计原理和计算过教学 算法实现由计算 机来完成 计算轻松愉快 过程直观生动 效率更 高 案例 积分计算问题 计算不定积分 cosax cosbx coscxdx 要计算这个不定积分 理论上相当困难 可是 利 用MATLAB数值计算相关命令 输入 syms x y a b c Y int cos a3 x 3cos b3 x 3cos c 3 x 输出 Y 1 4 c a b 3sin c a b 3x 1 4 c a b 3sin c a b 3 x 1 4 c a b 3sin c a b 3 x 1 4 c a b 3sin c a b 3 x 该结果推导不易 但软件实现很轻松 3 利用MATLAB软件辅助数据分析 来培养学生 用数学 的意识和能力 近几年来 基于数据库计算网络广泛应用 加 上使用先进数据自动生成及人工采集 人们所拥 有数据量急剧增大 海量数据的背后隐藏着许多 重要信息 这就迫切需要科技人员面对大量数据 进行统计分析处理 挖掘海量数据中的关系与规 则 根据现有的数据预测未来的发展趋势 数据急 剧上升与数据分析方法滞后之间的矛盾愈来愈突 出 调用MATLAB中的相关计算函数 将抛开手 工计算大量枯燥数据 使学生真正体会到数学在 实际应用中的奇妙作用 提高学生学习数学的兴 趣 案例 最小二乘法与线性回归 是实际中用的 最多的知识之一 但因其运算量大 许多老师 学 生望而生畏 但应用MATLAB软件 可以使计算 611 江 西 科 学2010年第28卷 的天堑变通途 变抽象为形象 使冗繁变为简明高 效 使枯燥变为生动精彩 案例4 下面是宝鸡市1998年至2005年的经 济指标 农民人均的纯收入 第一产业增值与人均 教育经费表 表1 宝鸡市1998年至2007年的相关经济数据 年份 农民人均的 纯收入 元 第一产业 增值 亿元 人均教育 经费 元 19981 415 323 0150 00 19991 482 324 661 00 20001 543 325 275 12 20011 603 0225 6115 76 20021 685 6626 92122 30 20031 846 330 66142 67 20042 031 435 57141 85 20052 23139 84174 53 20062 44144 2214 6 20072 65149 1256 1 数据来源 根据相关年份 宝鸡市统计年鉴 1998年 2007年 请用线性回归地方法分析人均教育经费与农 民人均的纯收入 人均教育经费与第一产业增值 之间的关系 你对宝鸡的经济发展有何有益的建 言 算法与数学模型求解 x 50 00 61 00 75 12 115 76 122 30 142 67 141 85 174 53 214 6 256 1 y 1 415 3 1 482 3 1 543 3 1 603 02 1 685 66 1 846 3 2 031 4 2 231 2 441 2 651 Coef polyfit x y 1 a0 Coef 1 a1 Coef 2 n length x xb mean x yb mean y x2b sum x 2 n xyb x3y n b xb3yb xyb xb 2 x2b a yb b3xb y1 a b 3x serror sum y y1 2 plot x y 3 x y1 serror sum y y1 2 Coef 1 0e 0033 0 0063 1 0375 a0 6 3190 a1 1 0375e 003 x2b 2 2280e 004 serror 8 0004e 004 得到回归方程 y 6 008x 1 066 296 R 2 0 866 R 0 931从人均教育经费与农民人均的 纯收入的线性回归分析中 可以清晰地看出 人均 教育经费与农民人均的纯收入之间是正高度相关 的 教育投资是经济发展的动力 受教育程度高可 以增加农民的收入水平 通过对农民教育的投资 提高农民的文化水平和生产技能 能够增加农民 收入 促进农村经济的增长 因此宝鸡政府要大力 发展农民教育 增加农村人力资本投入 是促进西 部农业经济增长的关键 4 结束语 在MATLAB软件环境下 数学问题中的条件 可