第四章 第4讲 导数的实际应用 精品课件.ppt

第4讲 导数的实际应用 利用导数解决生活 生产优化问题 其解题思路是 1 函数y 1 3x x3有 D A 极小值 1 极大值1B 极小值 2 极大值3C 极小值 2 极大值2D 极小值 1 极大值3 2 设f x xlnx 若f x0 2 则x0 B A e2 B e C ln22 D ln2 3 一个物体作直线运动 其位移对时间的变化规律为s 6t2 5t 则物体运动的初速度为 加速度为 象限 5 m s 12ms 2 图4 4 1 5 曲线y x3 2x2 4x 2在点 1 3 处的切线方程是 5x y 2 0 4 函数y f x 的图像过原点且它的导函数g f x 的图像是如图4 4 1所示的一条直线 则y f x 图像的顶点在第 一 考点1 函数模型中的最优化问题 这是一道实际生活中的优化问题 建立的目标函数是一个复合函数 用过去的知识求其最值往往没有一般方法 即使能求出 也要涉及到较高的技能技巧 而运用导数知识 求复合函数的最值就变得非常简单 互动探究 1 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是减函数 当x 80 120 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 答 当汽车以80千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到 乙地耗油最少为11 25升 考点2 几何模型的最优化问题 例2 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为2 1 问该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 互动探究 2 当底面半径为R的圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时 它的高为 时 才能使所用材料最省 B A R B 2R C 3R D 4R 错源 新定义的边际函数理解不到位 例3 某造船厂年造船量为20艘 造船x艘的产值函数为R x 3700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数为C x 460 x 5000 单位 万元 又在经济学中 函数f x 的边际函数Mf x 的定义为Mf x f x 1 f x 1 求利润函数P x 及边际利润函数MP x 利润 产值 成 本 2 问年造船量安排多少艘时 公司造船利润最大 3 求边际利润函数MP x 的单调递减区间 误解分析 对新定义的边际函数理解不到位 导致建模困 难 并容易忽略自变量的取值范围 纠错反思 认真审题 提取有用信息 互动探究 证明 不妨设f x ex x 1 则f x ex x ex 1 x 0 ex 1 ex 1 0 f x 0 即f x 在 0 上是增函数 f x f 0 即ex x 1 e0 1 0 ex x 1 3 当x 0时 求证 ex x 1 互动探究 4 2011年湖南3月模拟 某租赁公司拥有汽车50辆 当每辆车的月租金为1000元时 可全部租出 当每辆车的月租金每增加50元时 未租出的车将会增加一辆 租出的车每辆每月要维修费150 未租出的车每辆每月需要维修费50元 1 当每辆车的月租金定为1600时 能租出多少辆车 2 当每辆车的月租金定为多少元时 出租车公司的月收益 最大 解 1 1600 100050 12 辆 即有12辆车没有租出去 所 以当每辆车的月租金为1600元时 能租出50 12 38辆车 2 设有x辆汽车没有租出去 则月收益函数F x 1000 50 x 50 x 150 50 x 50 x 50 x2 1600 x 42500 0 x 50 又有F x 100 x 1600 0 得x 16 即当0 x 16时 F x 0 当16 x 50时 F x 0 所以x 16是F x 的极大值点 同时也是最大值点 所以把租金定为1000 16 50 1800元时 收入最大 导数的实际应用 1 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 优化问题可归结为函数的最值问题 从而可用导数来解决 用导数解决优化问题 即求实际问题中的最大 小 值的主要步骤如下 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 即将优化问题归结为函数最值问题 求导数f x 解方程f x 0 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值大小 最大者为最大值 最小者为最小值 检验作答 即获得优化问题的答案 2 利用导数解决生活中的优化问题的注意事项 在解决实际优化问题时 不仅要将问题中涉及的变量关 系用函数表示 而且应注意确定该函数的定义域 在实际优