2014MBA逻辑笔记以及数学笔记.pdf

1 逻辑 1 1 p 并且 q 联合命题 p 或者 q 选言命题 如果 p 则 q 充分条件假言命题 当且仅且 p 则 q 充分必要条件假言命题 并非 p 负命题 2 2 相似比较型相似比较型 如果 p 则 q 如果 p 则 q 如果 p 则 q 非 q p 非 p 所以 非 p 所以 q 所以 非 q 3 3 推理的省略形式 A 和 C 一起推出 B 但 C 属于 或以为 属于共同的知识背景 故被省略 可能的问题 1 1 被省略或假定的东西本身可能不是真的 2 2 这种省略推理中可能暗含着推理方面的错误 补充省略时 要坚持 宽容原则 4 4 反三段论 p q r 所以 r p q 5 5 反驳或削弱某个结论 1 1 直接反驳结论 可以举与此相反的一些事实 或从真实的原理出发构造一个推理或理论 以推出 该结论的否定 效果最强 2 2 反驳论据 指出其虚假性 3 3 不合逻辑 6 6 逻辑基本规律 1 1 同一律 如果无意思的违反同一律在概念方面的要求 就会犯 混淆概念 的逻辑错误 如果有意思的违反同一律在概念方面的要求 就会犯 偷换概念 的逻辑错误 转移论题 的错误 2 2 矛盾律 两个互相矛盾的命题不能同真不能同真 也不能同假 必有一假 所有 S 是 P vs 有些 s 不是 p 所有 S 不是 P vs 有些 s 是 p a 是 p vs a 不是 p p 并且 q vs 或者非 p 或者非 q p 或者 q vs 非 p 并且非 q 如果 p 则 q vs p 并且非 q 只有 p 才 q vs 非 p 并且 q 必然 p vs 可能非 p 必然非 p vs 可能 p 两个互相反对的命题不能同真不能同真 但可以同假 2 所有 S 是 P vs 所有 s 不是 p 所有 S 都是 P vs 这个或那个 s 不是 p 所有 S 不是 P vs 这个或那个 s 是 p 必然 P vs 不可能 必然非 p 3 3 排中律 两个互相矛盾的命题不能同假 必有一真 否则会犯 两不可 的错误 7 7 直言命题关系表 同一 包含 包含于 交叉 全异 SAP 全肯 真 假 真 假 假 SEP 全否 假 假 假 假 真 SIP 特肯 真 真 真 真 假 SOP 特否 假 真 假 真 真 1 1 矛盾关系 A 与 O E 与 I 不能同真 同假 SAP 等值于 并非 SOP SEP 等值于 并非 SIP SIP 等值于 并非 SEP SOP 等值于 并非 SAP 2 2 等差关系 亦称 从属关系 指 A 与 I E 与 O 之间 如果全称命题为真 则相应的特称命题为真 如果全称命题为假 则相应的特称命题真假不定 如果特称命题为真 则相应的全称命题真假不定 如果特称命题为假 则相应的全称命题为假 3 3 反对关系 A 与 E 的关系 不能同真 但可以同假 若一个为真 则另一个为假 若一个为假 则另一个真假不定 4 4 下反对关系 I 与 O 的关系 可以同真 但不能同假 若一个为假 则另一个为真 若一个为真 则另一个真假不定 8 8 三段论 所有科学都以追求真理为目标 大前提 各门社会科学都是科学 小前提 所以 各门社会科学也以追求真理为目标 结论 以追求真理为目标 大项 科学 中项 用欧拉图欧拉图判定三段论的有效性 9 9 联言命题及推理 p q P 并且 q 真 真 真 真 假 假 SP P S S P P S S P 3 假 真 假 假 假 假 必须同时真必须同时真 1 1 合成式合成式 2 2 分解式分解式 3 3 否定式否定式 p p 并且 q or p 并且 q 并非 p q 所以 p 且 q 所以 p 所以 q 所以 并非 p 且 q 10 10 选言命题及推理选言命题及推理 1 1 相容选言命题及推理相容选言命题及推理 P P 或者或者 q q 只要有一个真就可以只要有一个真就可以 否定肯定式否定肯定式 P 或者 q 非 p 所以 q P 或者 q 非 q 所以 p 肯定肯定式肯定肯定式 P 所以 P 或者 q 正确 若肯定一个 则必须 包含这个选言支的任 一选言命题 肯定否定式肯定否定式 P 或者 q p 所以 非 q P 或者 q q 所以 非 p 相容 各个选言支 既可以单独成立 也可以同时成立 2 2 不相容选言命题及 不相容选言命题及推理推理 要么 要么 p p 要么 要么 q q p q 要么 p 要么 q 真 真 假 真 假 真 假 真 真 假 假 假 只能一个为真时才为真 否定否定 肯定式肯定式 要么 p 要么 q 非 p 所以 q 要么 p 要么 q 非 q 所以 p 非此即彼 肯定否定式肯定否定式 要么 p 要么 q p 所以 非 q 要么 p 要么 q q 所以 非 p p q P 或者 q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 4 11 11 假言命题及推理 一 充分条件 有 p 一定有 q 但无 p 未必无 q 如果 p 那么 q p q 如果 p 那么 q 真 真 真 真 假 假 假 真 真 假 假 真 只要前件是假的 或者后件是真的 它本身就是真的 即 如果 p 那么 q 或者非 p 或者 q 并非 p 并且非 q 两者矛盾关系 肯定前件式肯定前件式 如果 p 那么 q p 所以 q 肯定后件式肯定后件式 如果 p 那么 q q 所以 p 否定后件式否定后件式 如果 p 那么 q 非 q 所以 非 p 否定前件式否定前件式 如果 p 那么 q 非 p 所以 非 q 二 必要条件 无 p 一定无 q 但有 p 未必有 q 只有 p 才 q 除非 p 否则不 q p q 只有 p 才 q 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 与充分条件假言命题相反 如果 p 是 q 的充分条件 则 q 是 p 的必要条件 如果 p 是 q 的必要条件 则 q 是 p 的充分条件 即 如果 p 那么 q 只有 q 才 p 只有 p 才 q 如果 q 那么 p 如果非 p 那么非 q 否定前件式否定前件式 只有 p 才 q 非 p 所以 q 肯定前件式肯定前件式 只有 p 才 q p 所以 q 肯定后件式肯定后件式 只有 p 才 q q 所以 p 否定后件式否定后件式 只有 p 才 q 非 q 所以 非 q 5 三 充分必要条件 有 p 就有 q 并且无 p 就无 q p 当且仅当 q 如果 p 那么 q 并且只有 p 才 q 如果 p 那么 q 并且如果非 p 则非 q p q p 当且仅当 q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 真 必须同真 同假 同真同真 P 当且仅当 q p 所以 q p 当且仅当 q q 所以 p 同假同假 P 当且仅当 q 非 p 所以 非 q p 当且仅当 q 非 q 所以 非 p 12 12 负命题及其等职命题负命题及其等职命题 并非 p 并不是 p P 并非 p 真 假 假 真 矛盾关系 不能同真假 1 1 并非所有 s 是 p 有些 s 不是 p 2 2 并非 p 并且 q 非 p 或者非 q 3 3 并非 p 或者 q 非 p 或者非 q 4 4 并非如果 p 则 q p 并且非 q 5 5 并非只有 p 才 q 非 p 并且 q 6 6 并非 p 当且仅当 q p 且非 p 或者 非 p 且 q 13 13 常用的几种复合命题推理常用的几种复合命题推理 反三段论 如果 p 且 q 则 r 所以 如果非 r 且 p 则非 q 如果 p 且 q 则 r 所以 如果非 r 且 q 则非 p 归谬式推理 如果 p 则 q 如果 p 则非 q 所以 非 p 先假设某个前提或选项为 真或为假 看能否推出矛盾 反正式推理 如果非 p 则 q 如果非 p 则非 q 所以 p 6 14 14 模态命题及其推理模态命题及其推理 1 必然 p 并非必然非 p 2 必然非 p 并非必然 p 3 必然 p 可能 p 4 并非可能 p 并非必然 p 5 必然非 p 可能非 p 6 并非可能非 p 并非必然非 p 7 必然 p 并非可能非 p 8 必然非 p 并非可能 p 9 可能 p 并非必然非 p 10 可能非 p 并非必然 p 11 不可能 p 必然非 p 必然 p 反对关系 必然非 p 全肯 同假不同真 全否 特肯 同真不同假 特否 可能 p 下反对关系 可能非 p 15 15 归纳推理 1 简单枚举法 S1 是 P S2 是 P S3 是 P Sn 是 P S1 S2 S3 Sn 是 S 类的部分对象 所以 所有的 S 都是 P 举例要数量多 范围足够广 被考察对象只见的差异要充分大 样本过少 结论明显为假 以偏概 全 轻率概括 2 类比推理 A 类 对象具有属性 a b c d B 类 对象具有属性 a b c 所以 B 类 对象也具有属性 d 相关程度越高 可靠性越高 通常把违背常识 结论明显为假的类比称为 机械类比 或 荒唐类 比 3 求同法 场合 1 有先行现象 A B C 有被研究现象 a 场合 2 有先行现象 A B D 有被研究现象 a 场合 3 有先行现象 A C E 有被研究现象 a 等 差 关 系 真 真 假 假 假 不 定 假 不 定 假 假 真 真 等 差 关 系 7 所以 A 可能 是 a 的原因 缺点 先行现象中表面的 同 可能掩盖着本质的 异 表面的 异 可能掩盖本质的 同 4 求异法 场合 1 有先行现象 A B C 有被研究现象 a 场合 2 有先行现象 B C 没有被研究现象 a 所以 A 是 a 的原因 5 求同求异并用法 正面场合 有先行现象 A B C 有被研究现象 a 有先行现象 A D E 有被研究现象 a 反面场合 有先行现象 F G 没有被研究现象 a 有先行现象 H K 没有被研究现象 a 所以 A 可能 是 a 的原因 6 共变法 有先行现象 A1 有被研究现象 a1 有先行现象 A2 有被研究现象 a2 有先行现象 A3 有被研究现象 a3 所以 A 是 a 的原因 7 剩余法 A B C D 是 a b c d 的原因 A 是 a 的原因 B 是 b 的原因 C 是 c 的原因 所以 D 与 d 之间有因果关系 16 16 抽样统计和 精确 数字陷阱 1 抽样统计方法 主要取决于样本的代表性 一般从抽样的规模 广度和随机性三个方面来保证 不带偏见 2 某些 精确 数字陷阱 他们为什么会有那么清楚 准确的数字或数据 他们获得这些数字 数据的方法和途径是什么 这些方法和途径可靠吗 这些数字 数据的可信度高吗 一 平均数陷阱 特别注意最大和最小值之间的差异 范围 以及每个数值出现的次数 分 布 二 莫名其妙的百分比 要弄清该百分比所赖以计算出来的那个基数 该百分比所表示的绝 对总量 该百分比虽小 但绝不意味着它所体现的数字同样貌不惊人 警惕 有人为了某 种目的 选用合乎需要的基础数据 使百分比 合乎需要 地显得畸大或畸小 三 荒唐 无用或虚假的比较 比较要有比较多对象 也要有比较大共同基础 常见错误有 a 表面进行比较 但不设定比较多对象 实际上根本没有比较 b 不设定比较多根据或基础 在不同的基础上进行比较 或者把来不可比的对象 数 据拿来强作比较 四 数据与结论不相干 8 9 1 1 实数实数 实数 有理数 整数 正整数 零 负整数 分数 正分数和负分数 无理数 即为无限不循环小数 5 1 2 方程根是无理数 则经常是一对 自然数集是非负整数集 是由正整数和零组成的 整数 偶数 2n 奇数 2n 1 正整数 1 质数 也称为素数 它只有 1 和自身两个约数 合数 有除 1 和自身以外的约数 两个相邻整数必为一奇一偶 除最小质数 2 是偶数外 其余质数均为奇数 任何一个合数都能分解为 若干个质因数之积 有理数是能表示为 n m n Z m Z 形式的数 这是与无理数本质的区别 最简正分数 不能再进一步化简的分数 比如 1 3 1 7 5 21 等 2 2 绝对值性质 a a a a b a b a b 同号时 等式成立 a b a b a b 同号时 等式成立 经常用在组合求解上 可以分别在 a b 上同 一个数 P8 例 1 8 3 3 算术平均数 X1 X2 X3 Xn n 几何平均数 X1 X2 X3 Xn 1 n 黄金分割 X a a x 1 2 0 618 4 4 求解有关百分比的习题时 明确所给百分比是哪两个量的比值很重要 5 5 ab 10a b a 为十位数 b 为个位数 6 6 有些计算题要详细运算过程 极容易出错 而且无法计算详细答案时 要注意排除法 特例法的使用 提高准确率 7 7 乘法公式 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 a 3 b3 a b a2 干ab b 2 8 8 整式的除法运算 F x f x g x r x r x 为余数 当 r x 0 时 称正整式 F x f x g x F x 能被整式 f x 整除 解题时 通常可带 入具体数 使 f x g x 或 r x 0 9 9 多因式分解常用法 求根法 万能法 计算可能复杂 a0 xn a1x n 1 a 2x n 2 a n 0 有 n 个根 x1 x2 x3 xn 则多项式 a0 xn a1x n 1 a 2x n 2 a n a0 x x1 x x2 x x3 x xn 10 二次三项式的十字相乘法 待定系数法 P21 比如 x 3 x2 x 2 x2 ax b x c x3 a c x2 ac b x bc 然后求解同类项系数 如有可能 可继续 分解 x 2 ax b 项 这时就相对容易多了 注意分式之间的两两结合 使之有同类项 x 1 x 2 x 3 x 4 120 x 1 x 4 x 2 x 3 120 x 2 5x 6 x2 5x 4 120 完全平方式 判别式 0 y a0 x x1 x x2 x x3 能使 y 0 的都是 y 的因式 所以 x x1 0 x x2 0 x x3 0分别是 y 的因式 A B C 0 或 ABC 0 则 A B C 中至少一个大于 0 奇数 奇数 奇数 奇数 奇数 偶数 f x ax 2 bx c 0 在x0的两侧有根 则 a 0 时 f x0 0 a 0 时 f x0 0 可以用来求待 定系数 10 10 注意事项 许多题看似有多个未知数 比如 x y z 实际上题干经常是对称的 可以分别转换后带入已知 条件 这些未知数通常是可以约掉的 P24 25 例如x 1 y y 1 z z 1 x 有些求值的 可以取 1 3 组具体数值带入求解 如果值相同 则得解 有些答案看似错误 但是要看前面自己求出来的答案能否向给出的答案转换 有些选项尽管不全 面 但是仍在解答的范围之内 不能较真 看 1 2 条件之间的关系 比如 矛盾 联合 包含关系 11 11 求数列的通项公式an常用方法 1 注意先求 a1 然后求后面的项 看能否结合 否则就不是等差数列 2 从已知条件直接求 3 a1 a2 a3 然后总结规律 最后同已知条件比较验算 12 12 等差数列 an a1 n 1 d Sn n a1 an 2 na1 n n 1 d 2 常数列 c c c c c 是公差的 d 0 的等差数列 Sn S2n Sn S3n S2n 仍是等差数列 公差为n 2d 一般情况下 凡是等差数列的相关元素的计算问题 均可化为关于首项 a1 和公差 d 的问题求解 Sn 前 n 项和最大 说明an 是递减数列 到an 0 an 1 0 的时候 Sn 最大 an 是递减数列 前面某些项大于 0 则 Sn 某个具体数 n 通常会有 2 解 前 m 项 前 n 项 0 后 n 项 13 13 等比数列 Sn a1 1 q n 1 q a 1 anq 1 q 都是 0 的项 不能是等比数列 非 0 常数列 c c c c 是公比 q 1 的等比数列 其 Sn nc 无穷等比数列 an 的前 n 项公比为 q 若 q 1 则该数列的各项和S a1 1 q 必须是 11 无穷 否则不能套用 若 Sn 是等比数列 an 的前 n 项和 Sn S2n Sn S3n S2n 仍是等比数列 公比为q n 一般情况下 凡是等比数列的相关元素的计算问题 均可化为关于首项 a1 和公比 q 的问题求解 求字母 a b c 代表的数列是否等比时 要看特殊值得情况下 是否有选项等于 0 q 不能等于 0 14 14 求一个非等差 等比数列的前 n 项和 有时可以拆成几个等差或等比数列的前 n 项和 再求之 在应用数列的知识解决实际应用问题时 首先要明确问题中哪些量依什么顺序组成什么数列 是等差 还是等比 在这个数列中已知什么 欲求什么 要搞清楚哪是起始项 到底有多少项 P61 P65 24 特别是计算增长率 利息的题 不能忘了减 1 验算等比 等差数列an 或 Sn 只需验证前三项就可 15 15 排列组合排列组合 加法原理 n 种办法 每种办法分别有 m1 m2 m3 mn 种不同的方法 N m1 m2 m3 mn 乘法原理 n 个步骤 每个步骤分别有 m1 m2 m3 mn 种不同的方法 N m1 m2 m3 mn 排列有顺序 组合没有 16 16 排列公式排列公式 Pn m n n 1 n 2 n 3 n m 1 n n m 有时也用 A 表示 Pn n n n 1 2 3 n 0 1 17 17 组合公式组合公式 Cn m P n m P m m P n m C n m P m m 排列组合之间的关系 n n 1 n 2 n 3 n m 1 m n m n m Cn n 1 C n 0 1 n 1 2 3 n 0 1 Cn m C n n m Cn 1 m C n m C n m 1 18 18 解排列组合问题的策略 认真审题 弄清排列还是组合 还是排列与组合混合 要抓住问题的本质特征 做到不重不漏 要计算正确 一般方法有 直接法和间接法 1 在直接法中又分为两类 若问题可分为互斥各类 据加法原理 可用分类法 若问题考虑先后 次序 据乘法原理 可用占位法 2 间接法一般用于当问题的反面简单明了 据 A A I 且 A A 的原理 采用排除的方法来获 得问题的解决 特殊方法 1 特元特位 优先考虑有特殊要求的元素或位置后 再去考虑其它元素或位置 2 捆绑法 某些元素必须在一起的排列 用 捆绑法 紧密结合粘成小组 组内外分别排 3 插空法 某些元素必须不在一起的分离排列用 插空法 不需分离的站好实位 在空位上进 12 行排列 先Cn 6 然后P5 5 见 P70 例 5 2 1 4 其它方法 19 19 概率初步 0 P A 1 必然事件为 1 不可能事件为 0 1 等可能事件的概率 P A m n m 事件总数 n 符合条件的事件数 2 互斥 互不相容 事件的概率 A B 加法 互斥 不可能同时发生的事件 P A1 A2 A3 An P A1 P A2 P A3 P An 不同情况都发生 对立事件的概率 对立事件 其中必有一个发生的互斥事件 P A P A P A A 1 P A 1 P A 3 相互独立事件同时发生的概率 A B 乘法 相互独立事件 事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响 P A1 A2 A3 An P A1 P A2 P A3 P An 独立事件同时发生 4 独立重复试验 如果在 1 次试验中某事件发生的概率 p 在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率记 做 Pn k 那么 Pn k Cn kpk 1 p n k 5 ABC A BC A B A 且 C A P A B P A AB P A P AB P A 1 B P AB P AB 为求交集 乘法 为求和 加法 A B A A B 6 保费 X 赔偿金 Y 时间发生 p 不发生 1 p 则期望收益率 X 1 p X Y P 7 事件 A 与 B 相互独立 事件 A 与 B 相互独立 那么一个的和 差 交 并 逆与另一个都是相互独立的 20 20 概率补充概率补充 必然事件 不可能事件 或者 和集 并且 交集 对立关系对立关系 非 A 即事件 A 发生时不发生的事件 P A P A P A A 1P A P A P A A 1 A A 13 互斥事件互斥事件 A 与 B 不可能同时发生 即 A 与 B 不包含公共点 P A B P A P B 对立的事件是互斥的 而互斥的事件不一定是对立的对立的事件是互斥的 而互斥的事件不一定是对立的 只有当 B A 时 互斥的才是对立的 大部分情况下 B 仅是 A 的一部分 求和 求和 A B A B A B 求差 A B A AB P A B P A P B P A B P A P B P AB P AB P AP A B P A B P A P AB P AB P A B P A B 结合律 不适用于事结合律 不适用于事件差点运算 件差点运算 A A B B C AC A B B C C A A B B C AC A B B C C 分配率分配率 A A B B C AC A B B A A C C A A B B C AC A B B A A C C 吸收率吸收率 A A A A B A B A A A A A B AB A 补元率补元率 A A A A A A A A 德莫根律德莫根律 A A B B A A B B A A B B A A B B A B C 至少有两个发生 AB BC AC 项数 2 至多有两个发生 A B C 项数 3 2 1 注意规律注意规律 P AB P A P A B 只有在 A B 相互独立时 P AB P A P B 条件概率 P A B P AB P B P AB P A B P B Min P A P B P AB P A P B 1 P A 1 不能直接推出 A 进而推出 P AB P B 概率为 1 的事件不一定是必然事件 同样概率 为 0 的事件也不一定是不可能事件 求概率 A 的有些题 过于复杂 可以先把题意分解为几种类型组合 用加法原理 然后再求解 或者转化为非 A 1 A 但是注意拆分后不要漏项 A A B A B A B 14 21 21 三角形面积公式三角形面积公式 S P P A P B P C 1 2 P A B C 2 S 1 2 AB AC Sin A 1 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 2 当 S ABC S A B C 时 面积之比 AB A B 2 3 互余 sin cos 90 o tg ctg 90o 互补 sin 180 o sin cos 180o cos tg tg 180o 22 22 梯形中位线 a b 2 菱形面积 对角线乘积的一半 即 S a b 2 23 23 S圆 r 2 周长 2 r 24 平面两点间距离公式 A x1 y1 B x2 y2 2 21 2 2121 yyxxPP 25 25 有向线段的定比分点坐标公式 P 为定比分点 AP PB A x1 y1 P x y B x2 y2 x1 x2 y1 y2 1 1 x1 x y1 y x x2 y y2 当 P 为中点时 1 X x1 x2 2 y y1 y2 2 可用于检验三点是否共线 当 1 2时 ABC 三点同线 P88 若 332211 yxCyxByxA 则 ABC 的重心 G 的坐标是 33 321321 yyyxxx 26 26 直线斜率 K 的计算公式 k tan 2 0 直线 L 上两点 A x1 y1 B x2 y2 则 k y2 y1 x2 x1 x1 x2 直线 Ax By C 0 B 0 的斜率 k A B 27 27 两条直线夹角公式 设两条直线 L1 L2 的斜率分别为 k1 k2 且 k1k2 1 直线 L1 到 L2 的角为 0 则 21 12 1kk kk tg 当 0 2 时 21 12 1kk kk tg 当 k1k2 1 时 2 两条直线垂直 28 28 点到直线的距离 X Y L1 L2 15 设直线 Ax By C 0 点 P Xo Yo 则点 P 到直线的距离为 22 00 BA CByAx d 两条平行直线00 2211 CByAxlCByAxl 距离是 22 21 BA CC d 29 29 直线方程的几种形式 点斜式 00 xxkyy 斜截式 bkxy 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy 截距式 1 b y a x 1 设直线 L1 y k1x b1 L2 y k2x b2 L1 L2 k1 k2 b1 b2 L1 L2 k1 k1 1 30 30 圆的方程 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 注 a b 是圆心坐标 圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 注 D2 E2 4F 0 其中 半径是 2 4 22 FED r 圆心坐标是 22 ED 圆 00 222 yxPryx的以 为切点的切线方程是 2 00 ryyxx 一 般 地 曲 线 0 00 22 yxPFEyDxCyAx 的以点 为 切 点 的 切 线 方 程 是 0 22 00 00 F yy E xx DyCyxAx 31 31 圆与直线的关系 直线 L 和 O 相交 d r 直线 L 和 O 相切 d r 直线 L 和 O 相离 d r 圆的外切四边形的两组对边的和相等 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 32 32 两个圆的位置关系 两圆外离 d R r 16 两圆外切 d R r 两圆相交 R r d R r R r 两圆内切 d R r R r 两圆内含 d R r R r 33 33 外心 三角形的外接圆 内心 三角形的内接圆心 34 34 求成本最小 收益最