九年级数学期末高效复习专题4相似三角形含解析浙教版.docx

专题4相似三角形题型一比例线段、平行线分线段成比例定理例 1如图1，已知ABCDEF，ADAF35，BE12，那么CE的长等于_图1【解析】 ABCDEF，即，BC，CEBEBC12.【点悟】利用平行线分线段成比例定理解题时，要注意找好对应线段，通常用，等关系分段寻找变式跟进12017镇江如图2，ABC中，AB6，DEAC，将BDE绕点B顺时针旋转得到BDE，点D的对应点落在边BC上，已知BE5，DC4，则BC的长为_2_图2【解析】 由条件“DEAC”可得BDEBAC，即有；由题意可得BEBE5，BDBDBCDCBC4，AB6.设BCx，由，可列方程：，解得x2(负值舍去)，故BC的长为2.题型二相似三角形的判定例 22017祁阳期末已知：如图3，12，ABACADAE.图3求证：CE.证明：在ABE和ADC中，ABACADAE，又12，ABEADC，CE.【点悟】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定3)或找夹边成比例(用判定2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例变式跟进22017随州在ABC中，AB6，AC5，点D在边AB上，且AD2，点E在边AC上，当AE_或_时，以A，D，E为顶点的三角形与ABC相似【解析】 AA，分两种情况：当时，ADEABC，即，AE；当时，ADEACB，即，AE.综上所述，当AE或时，以A，D，E为顶点的三角形与ABC相似32017嘉兴模拟已知：如图4，四边形ABCD是正方形，PAQ45，将PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角EBC和FDC的平分线分别交于点M和N，连结MN.图4(1)求证：ABMNDA；(2)连结BD，当BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABCADCBAD90，BM，DN分别是正方形的两个外角平分线，ABMADN135，MAN45，BAMAND45DAN，ABMNDA；(2)当BAM22.5时，四边形BMND为矩形证明：BAM22.5，EBM45，AMB22.5，BAMAMB，ABBM，同理ADDN，ABAD，BMDN，四边形ABCD是正方形，ABDADB45，BDNDBM90，BDNDBM180，BMDN，四边形BMND为平行四边形，BDN90，四边形BMND为矩形题型三相似三角形的性质例 3如图5，把ABC沿AB边平移到ABC的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是ABC的面积的一半，若AB，则此三角形移动的距离AA_1_图5【解析】 设BC与AC交于点E，由平移的性质知，ACAC，BEABCA，SBEASBCAAB2AB212，AB，AB1，AAABAB1.【点悟】(1)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比变式跟进42017自贡如图6，在ABC中，MNBC，分别交AB，AC于点M，N，若AM1，MB2，BC3，则MN的长为_1_图6【解析】 MNBC，AMNABC，.AM1，MB2，BC3，解得MN1.5如图7，有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC8 cm，高AD12 cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G，H分别在AC，AB上，设HE的长为y cm，EF的长为x cm.(1)写出y与x的函数关系式；(2)当x取多少时，四边形EFGH是正方形？图7解：(1)BC8 cm，高AD12 cm，HE的长为y cm，EF的长为x cm，四边形EFGH是矩形，AKADy12y，HGEFx，HGBC，AHGABC，即，y12x；(2)由(1)可知，y与x的函数关系式为y12x，四边形EFGH是正方形，HEEF，即xy，x12x，解得x.答：当x时，四边形EFGH是正方形题型四位似图形及其画法例 4如图8，在平面直角坐标系中有ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将ABC放大，则它的对应顶点的坐标为(C)图8A.，B(8，6)，(6，2)，(2，4)C(8，6)，(6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4)D(8，6)，(6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4)【解析】 由坐标系可知，点A，点B，点C的坐标分别为(4，3)，(3，1)，(1，2)，以点O为位似中心，相似比为2，将ABC放大，则它的对应顶点的坐标为(42，32)，(32，12)，(12，22)或(42，32)，(32，12)，(12，22)，即(8，6)，(6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4)【点悟】如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形与原图形对应点的坐标比等于k或k.变式跟进62017烟台如图9，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.AOB与AOB是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为32，点A，B都在格点上，则点B 的坐标是 图9【解析】 由题意，将点B的横、纵坐标都乘以，得点B的坐标由B的坐标(3，2)，得B的坐标.7如图10，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(2，4)，B(3，2)，C(6，3)(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；(2)以M点为位似中心，在网格中画出A1B1C1的位似图形A2B2C2，使A2B2C2与A1B1C1的相似比为21；(3)求出A2，B2，C2三点的坐标 图10 第7题答图解：(1)如答图所示，A1B1C1即为所求；(2)如答图所示，A2B2C2即为所求；(3)A2(3，6)；B2(5，2)；C2(11，4)题型五相似三角形的综合例 52017泰安如图11，四边形ABCD中，ABACAD，AC平分BAD，点P是AC延长线上一点，且PDAD.(1)证明：BDCPDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB1，CECP23，求AE的长 图11 例5答图解：(1)证明：ABAD，AC平分BAD，ACBD，ACDBDC90，ACAD，ACDADC，PDAD，ADCPDC90，BDCPDC；(2)如答图，过点C作CMPD于点M，BDCPDC，CECM，CMPADP90，PP，CPMAPD，设CMCEx，CECP23，PCx，ABADAC1，解得x，AE1.变式跟进82017甘肃如图12，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPECQE；(2)如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ，并求当BP2，CQ9时BC的长图12解：(1)证明：ABC是等腰直角三角形，BC45，ABAC，APAQ，BPCQ，E是BC的中点，BECE，在BPE和CQE中，BPECQE(SAS)；(2)ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BCDEF45，BEQEQCC，即BEPDEFEQCC，BEP45EQC45，BEPEQC，BPECEQ，BP2，CQ9，BECE，BE218，BECE3，BC6.过关训练12017兰州模拟若ABCABC，已知AB6 cm，AB3 cm，则ABC与ABC的面积比为(D)A12 B21 C14 D41【解析】 ABCABC，AB6 cm，AB3 cm，其相似比，ABC与ABC的面积比(ABAB)241.22017常熟期末如图1，ABC中，D，E分别在AB，AC上，下列条件中不能判断ADEACB的是(D)AADEC BAEDBC. D. 图1 图232017潍坊如图2，在ABC中，ABAC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC3AD，AB3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：_ABFD(答案不唯一，合理即可)_，可以使FDB与ADE相似(只需写出一个)【解析】 AC3AD，AB3AE，又AA，ADEACB，AEDB.故要使FDB与ADE相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可42017六盘水如图3，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连结OE交AD于点F.若CD5，BC8，AE2，则AF_ 图3 第4题答图【解析】 如答图，过O点作OMAD，四边形ABCD是平行四边形，OBOD，OM是ABD的中位线，AMBMAB，OMBC4，AFOM，AEFMEO，AF.5如图4，在ABC中，BAC90，ABAC，点D，E分别在BC，AC上，且ADE45.(1)求证：ABDDCE；(2)若AB2，BD1，求CE的长图4解：(1)证明：BAC90，ABAC，BC45，又DECADECAD45CAD，同理ADBCCAD45CAD，DECADB，又BC45，ABDDCE；(2)AB2，BC2，ABDDCE，CE.6如图5，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AEEF，有下列结论：BAE30；SABE4SECF；CFCD；ABEAEF.正确结论的个数是(B)图5A1个 B2个 C3个 D4个【解析】 先根据正方形的性质与同角的余角相等，证得BAECEF，则可证得正确，错误；利用有两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可证得ABEAEF，正确故选B.7如图6，在RtABC中，BAC90，AB15，AC20，点D在边AC上，AD5，DEBC于点E，连结AE，则ABE的面积等于_78_ 图6 第7题答图【解析】 如答图，连结AE.在RtABC中，BAC90，DEBC于点E，BACCED90，CDECBA，故CE12，BE251213，SABESABC，SABC150，SABE15078.82017内江如图7，四边形ABCD中，ADBC，CM是BCD的平分线，且CMAB，M为垂足，AMAB.若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是_1_ 图7 第8题答图【解析】 如答图，分别延长BA和CD交于点E.AMAB，AMBM.CM是BCD的平分线，CMAB，EMBM.AMEM，AEEM，AEBE.ADBC，EADEBC，即，解得SEAD，SEBC，S四边形AMCDSEBCSEAD1.92017门头沟区期末在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：已知：如图8，在ABC中，点D 是BA边延长线上一动点，点F 在BC上，且，连结DF交AC于点E.图8(1)当点E恰为DF的中点时，请求出的值；(2)当a(a0)时，请求出的值(用含a的代数式表示)思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F作FGAB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；乙：过点F作FGAC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；丙：过点D作DGBC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题；老师说：“这三位同学的想法都可以”请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问的值解：(1)甲同学的想法：如答图，过点F作FGAB交AC于点G.GFEADE，FGEDAE，AEDGEF，.E为DF的中点，EDEF，ADGF.FGAB，CGFCAB，.