高等工程应用数学-AM2.ppt

1 1集合 1 2映射 1 3等价关系 1 4序结构 1 5集合的势 第1章集合与映射 1 1 1集合的概念 集合 set 是近代数学的最基本概念之一 它是由具有某种性质所确定的事物的总体 根据这种性质可以辨别任一事物属于或不属于这个集合 属于这个集合的事物称为这个集合的元素 若a为集合A的元素 则a称属于A 记为 若a不是集合A的元素 则称a不属于A 记为 1 1集合 常用集合记号 集合表示方法 列举法 即把一个集合的元素都列举出来 概括法 即把这个集合的元素所具有的特征性质表示出来 例如 设A B是两个集合 如果集合A的元素都是集合B的元素 则称A为B的子集 或称B包含A 记为或 如果且 则称集合A与B相等 记为 设A B是两个集合 如果A是B的子集 并且B中至少有一个元素不属于A 则称A是B的真子集 或称B真包含A 记为或 含有有限个元素的集合称为有限集 否则称为无限集 不含任何元素的集合称为空集 记为 为了方便 规定空集是任意集合的子集 定义1 1 1设A B是两个集合 由属于A或者属于B的所有元素作成的集合称为A与B的并集 记为 即或 1 1 2集合的运算 集合并运算的性质 定义1 1 2设A B是两个集合 由既属于A又属于B的所有元素作成的集合称为A与B的交集 记为 即 集合交运算的性质 定义1 1 3设A B是两个集合 由属于A但不属于B的所有元素作成的集合称为A与B的差集 记为 即 若 则称为B在A中的余集或B的补集 记为 定理1 1 1设A B C是三个集合 为集合X的子集 则 定义1 1 4设A是一个非空集合 A的所有子集组成的集合称为A的幂集 记为 即 定义1 1 5设A B是两个非空集合 元素对的集合称为A与B的笛卡儿积 Cartesianproduct 记作 即 1 1 3集合序列的极限 设是集合序列 如果则称为递增序列 如果则称为递减序列 设是任一集合序列 令则称为递增序列 为递减序列 定义1 1 6设是集合序列 称集合为集合序列的上极限 称集合为集合序列的下极限 若 则称集合序列收敛 并称A为其极限 设是集合序列 则 1 当且仅当存在无穷多个使得 2 当且仅当存在正整数N 使得对 都有 3 如果是单调递增集合序列 则如果是单调递减集合序列 则 1 2映射 mapping 定义1 2 1设X Y是两个非空集合 如果存在一个X到Y的对应法则f 使得对X中的每一个元素x都有Y中唯一的一个元素y与之对应 则称f是X到Y的一个映射 记为 元素称为元素在映射f下的像 称x为y的原像 集合X称为映射f的定义域 当X中元素x改变时 x在映射f下的像的全体作成Y的一个子集 称为映射f的值域 记为R f 即 设X是一个非空集合 X到自身的映射称为X的变换 transformation 设f是X到Y的一个映射 并且 称为集合A的像集 称为集合B的原像集 称为映射f的图像 通常用记号 抽象地表示f是A到B的一个映射 用记号 表示映射f所规定的元素之间对应关系 例1 2 1设A是一个非空集合 令 是A上的恒等映射或单位映射 设 如果 则称映射 相等 定义1 2 2设f是集合X到Y的一个映射 1 如果对任意 当时有 则称f是X到Y的单映射 injective 2 如果对任意都有一个使得 则称f是X到Y的满映射 surjective 3 如果映射f既是单映射又是满映射 则称f是X到Y的双映射 bijective 设f是集合X到Y的一个映射 则 1 如果对任意 由能导出 则f是X到Y的单映射 2 f是X到Y的满映射当且仅当 非空集合 X到自身的双映射称为X的一一变换 one to onetransformation 如果X是有限集 X的一一变换称为X的置换 permutation 非空集合X上的恒等映射是一个双映射 例 微分算子 积分算子 矩阵 定义1 2 3设X Y Z是三个非空集合 并设有两个映射 由 确定X到Z的映射 称为映射 的乘积 product 记为 定理1 2 1设有映射则 定义1 2 4设有映射f X Y 如果存在映射g Y X使得其中分别是X与Y上的恒等映射 则称g为f的逆映射 inversemapping 记为 如果映射f有逆映射 则称f为可逆映射 invertiblemapping 定理1 2 2设映射f X Y是可逆的 则f的逆映射是唯一的 定理1 2 3映射f X Y是可逆映射的充分必要条件是f是X到Y的双映射 定理1 2 4设映射f X Y g Y Z 则 1 如果f和g都是单映射 则gf是单映射 2 如果f和g都是满映射 则gf是满映射 3 如果f和g都是双映射 则gf是双映射 并且 定义1 3 1设A B是两个集合 的子集R称为中的一个二元关系 binaryrelation 即对任意 如果 则称a与b有关系R 记为aRb 特别地 中的二元关系简称为A上的二元关系 1 3等价关系 1 3 1关系与等价关系 例 Z中模n的同余关系 定义1 3 2若集合A上的一个二元关系R满足 1 自反性 reflexivity 对任意 有aRa 2 对称性 symmetry 对任意 如果aRb 则bRa 3 传递性 transitivity 对任意 如果aRb bRc 则aRc 则称R是A上的一个等价关系 equivalencerelation 例 1 上的相抵关系 2 上的相似关系 3 上的相合关系 定义1 3 3设R是A上的一个等价关系 称为a关于R的等价类 equivalenceclass 定理1 3 1设R是集合A上的一个等价关系 1 3 2集合的分类 定义1 3 4设R是A上的一个等价关系 A的所有元素关于R的等价类集合称为A关于R的商集 quotientset 例 整数集Z关于模n同余关系的商集 定义1 3 5设每个都是集合A的非空子集 如果 并且对任意 当时有 则称是A的一个分类 partition 定理1 3 2集合A上的每个等价关系R都决定A的一个分类 反之 集合A的每个分类都决定A上的一个等价关系 定义1 4 1若集合A上的一个二元关系R满足 1 自反性 reflexivity 对任意 有aRa 2 反对称性 antisymmetry 对任意 如果aRb 且bRa 则a b 3 传递性 transitivity 对任意 如果aRb bRc 则aRc 则称R是A上的一个偏序关系 记为 若 是集合A上的一个偏序关系 则称A是关于偏序关系 的偏序集 记为 A 1 4序结构 例 1 实数集R中的小于或等于关系 2 整数集Z中的整除关系 3 中的半正定关系 定义1 4 2设 A 是一个偏序集 如果对任意 总有或 则称 是集合A上的顺序关系 orderrelation 并称 A 为序集 orderedset 定义1 4 3设 A 是一个偏序集 B是A的一个子集 定义1 4 4设 A 是一个偏序集 B是A的一个子集 B按A中的偏序关系 作成一个偏序集 则称 B 是 A 的一个子偏序集 如果B按A中的偏序关系 作成一个序集 则称 B 是偏序集 A 的一个子序集 如果B是偏序集 A 的一个