高职高等数学 第三章 导数与微分的应用第二节 函数的单.pdf

沈阳工程学院 第二节 函数的单调性和极值 二 Monotonicity and Extremum of Function 教学目的 掌握函数极值 最值的求法及实际问题的最值 内容 1 函数极值的判别法 2 函数的最大值 最小值的求法 教学重点 极值的概念 求函数极值的步骤 最值的求法 教学难点 函数极值点的确定 实际问题求最值 教具 多媒体课件 教学方法 启发式教学 教学过程 1 引入新课 本节利用函数的导数来研究函数的极值与最值 2 教学内容 一 函数极值的判别法 1 函数极值的定义 定义 1 定义 1 o x y 0 x o x y 0 x ox y a b xfy 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 沈阳工程学院 0 00 00 00 00 f xa bxa b xxx f xf xf xf x xxx f xf xf xf x 设函数在区间内有定义是内的一个点 1 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的任何点 除了点 外 均成立 就称是函数的一个极大值 2 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的任何点 除了点 外 均成立 就称是函数的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 2 函数极值的求法 定理 1 必要条件 设定理 1 必要条件 设 xf在点在点 0 x 处具有导数 且在处具有导数 且在 0 x 处取得极值 那末必定处取得极值 那末必定 0 0 xf 定义 2定义 2 0 的驻点 叫做函数的实根即方程使导数为零的点 xf xf 注意 注意 不一定是极值点 但函数的驻点却点的极值点必定是它的驻可导函数xf 例如 3 xy 0 0 x y 0不是极值点但 x 定理 2 第一充分条件 1 如果 定理 2 第一充分条件 1 如果 00 xxx 有有 0 xf而而 00 xxx 有 有0 xf 则 则 xf在在 0 x 处取得极大值 2 如果 处取得极大值 2 如果 00 xxx 有有 0 xf而而 00 xxx有有0 xf 则 则 xf在在 0 x 处 取得极小值 3 如果当 处 取得极小值 3 如果当 00 xxx 及及 00 xxx时 时 xf符号相同 则符号相同 则 xf在在 0 x 处无 极值 是极值点情形 处无 极值 是极值点情形 x y o x y o 0 x 0 x 沈阳工程学院 不是极值点情形 求极值的步骤 不是极值点情形 求极值的步骤 1 x f 求导数 0 2 的根求驻点 即方程 x f 3 判断极值点在驻点左右的正负号检查x f 4 求极值 例 1例 1 593 23 的极值求出函数 xxxxf 解 解 963 2 xxxf 3 1 3 xx 令0 x f 3 1 21 xx得驻点列表讨论 1 f极大值 10 3 f极小值 22 定 理 3 第 二 充 分 条 件 设定 理 3 第 二 充 分 条 件 设 xf在在 0 x 处 具 有 二 阶 导 数 且处 具 有 二 阶 导 数 且0 0 xf 0 0fx 那末 1 当 那末 1 当 0 0fx 时 函数时 函数 xf在在 0 x 处取得极大值 2 当 处取得极大值 2 当 0 0fx 时 函数时 函数 xf在在 0 x 处取得极小值 注意 处取得极小值 注意 2 0 00 仍用定理处不一定取极值在点时xxfxf x 1 3 3 1 1 3 x f xf 00 极大值极大值 极小值极小值 x y o x y o 0 x0 x 沈阳工程学院 注意 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 例 2 注意 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 例 2 求函数 3 2 11f xx 的极值 解解 1 定义域为 2 2 61fxx x f x的驻点为1 0 1xxx 且无导数不存在的点 2 由 22 61 51fxxx 可知 060 110fff 所以0 x 为极小值点 1 1xx 失效 用定理 2 判断 fx 在1 1xx 两 侧均为同号 所以1 1xx 不是极值点 例 3例 3 求函数 2 3 67f xxx 的单调区间和极值 解解 2 3 33 107 67 6767 xx fxx xx 令 0fx 得驻点 1 7 10 x 又 2 7 6 x 时 xf不可导 即 2 7 6 x 是不可导点 列表如下 单调递增区间为和 单调递减区间为 极大值 7 0 6 f 极小值 3 77 980 1050 f 二 函数的最大值 最小值的求法 1 最值求法 x 7 6 7 10 77 610 7 6 7 10 x f xf 不可导 0 极大值极大值 极小值极小值 7 6 7 10 77 610 沈阳工程学院 在上的最大值与最小值存在则有限个导数为零的点 处可导 并且至多有上连续 除个别点外处在若函数 baxf baxf 步骤 步骤 1 求驻点和不可导点 2 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比较大小 那个大那个就是最大值 那 个小那个就是最小值 注意 如果区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 最大值或最小值 注意 如果区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 最大值或最小值 2 应用举例 例 4例 4 求 32 1f xxx 在 1 1 2 上的最大值和最小值 解解 3 52 3 x fx x 的可能极值点为 1 2 5 x 驻点 和 2 0 x 不可导点 2 0 3257 00 5 ff 区间端点函数值为 1 12 0 315 2 ff f x在 1 1 2 上的最大值为 00f 最小值为 12f 例例 5 求函数 32 26187f xxxx 在区间 1 4上的最小值 解解 2 6121831f xxxxx 令 0fx 得驻点 12 3 1xx 2 1x 不在区间 1 4内 不必讨论 361 129 447fff 所以最小值为 361f o x y bao x y a b o x y ab 沈阳工程学院 实际问题求最值应注意 1 建立目标函数 2 求最值 实际问题求最值应注意 1 建立目标函数 2 求最值 值 或最小所求的最 为点 则该点的函数值即若目标函数只有唯一驻 例 6例 6 设工厂A到铁路线的垂直距离为20km 垂足为B 铁路线上距离100Bkm处 有一原料供应站C 现在要在铁路线BC之间某处D修建一个车站 再由车站D 向工厂修一条公路 问D应在何处才能使得从原料供应站C运货到工厂A所需运 费最省 已知每千米的铁路运费与公路运费之间比为3 5 解解 设BDx 则 22 20ADx 100CDx 如果公路运费为5a元 千米 则铁路运费为3a元 千米 所需总运费为 22 52031000100ya xaxx 22 2222 5320 5 3 2020 axx ax ya xx 令0y 得15x 只有15x 满足0100 x 因此 当车站D建于B C之 间且与相距处时运费最省 例 7例 7 设某产品的次品率y与日产量x之间的关系为 1 0100 101 1100 x yx x 若每件产品的盈利率为A元 每件次品造成的损失为 3 A 元 试求盈利最多的日 产量 解解 设 0 100 x 日产量为x时盈利为 T x 这时次品数为xy 正品为xxy 31013 101 AxAx T xA xxyxyA x xx 0100 x 2 1013101 4101 1 3 101 xAx TxA x xx A x 令 0Tx 可得 T x的惟一驻点89 4x 沈阳工程学院 因此89 4x 为 T x的最大值点 x为正整数 8979 11 9079 09TA TA 即知每天生产 89 件产品盈利最多 课堂练习 求下列函数的极值