第六章 多元函数积分学 重积分

第六章 多元函数积分学1 重 积 分【考试要求】1. 理解二重积分的概念，了解二重积分的性质, 了解二重积分的中值定理.2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标， 极坐标).3. 了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算(数二不要求).4. 理解三重积分的概念，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)(数二、三不要求).5. 会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、质量、质心、形心、转动惯量、引力等) (数二、三不要求).一、基本概念1. 二重积分的定义设是有界闭区域上的有界函数.将任意分割成个小区域，其中表示第个小区域，也表示它的面积. 在每个上任取一点， 令是个小区域直径的最大值， 若极限存在， 则称其值为函数在上的二重积分， 记作.注1 当二重积分存在时， 极限值与对的分法及的取法无关.注2 当在上连续时， 二重积分存在.2. 三重积分的定义（数二、数三不要求）.3. 二重积分的性质设函数，在有界闭区域上可积，则(1) .(2) (为常数).(3) ，其中，且与无重叠.(4) ，其中表示的面积.(5) 比较定理: 若在上恒有，则.(6) 估值定理: 设与分别是在上的最大值和最小值，为的面积，则.(7) 中值定理: 若在有界闭区域上连续，为的面积，则至少存在一点，使得.(8) 对称性定理: 若区域关于轴对称，则其中.若区域关于轴对称，则其中.若积分区域具有轮换对称性（互换，保持不变），即区域关于直线对称，则类似地可得三重积分的有关性质.二、重要结论1. 二重积分的计算(1) 在直角坐标系下若为型区域: ，则.若为型区域: ， 则.(2) 在极坐标系下若，则.注1 在直角坐标系下，面积元素; 在极坐标系下，面积元素.注2 一般地，当积分区域的边界曲线方程中含有或被积函数为， 等形式时，选用极坐标系计算较为方便.注3 当不能用同一组不等式表示时，应先将适当分块，再化为二次积分计算.2. 三重积分的计算(数二、三不要求)(1) 在直角坐标系下若，则.类似地可得其它次序的计算公式.(2) 在柱面坐标系下若，则.(3) 在球面坐标系下若，则 注1 在直角坐标系下，体积元素 ;在柱面坐标系下，体积元素 ;在球面坐标系下，体积元素.注2 一般地，当的边界曲面方程或被积函数中含有时，选用柱面坐标计算; 当的边界曲面方程或被积函数中含有时，选用球面坐标计算.注3 当不能用同一组不等式表示时，先适当分块，再化为三次积分.注4 利用对称性可简化计算.3. 重积分的计算步骤(1) 画出积分区域的图形; (2) 选择适当的坐标系;(3) 选择适当的积分次序; (4) 化为累次积分计算.4. 重积分的应用（数二、数三不要求）(1) 平面区域的面积.空间立体的体积.(2) 以平面区域为底，以为顶的曲顶柱体的体积.(3) 空间曲面的面积，其中为曲面在坐标面上的投影区域.（4）占有平面区域，面密度为的薄板的质量为.占有空间区域，体密度为的立体的质量为.(5) 平面薄板的质心坐标，.空间立体的质心坐标， .(6) 平面薄板绕轴，轴以及原点的转动惯量分别为， ，. 空间立体对轴，轴， 轴以及原点的转动惯量分别为; ; .(7) 平面薄片对位于点，质量为的质点的引力，其中，为引力常数， .空间立体对位于点，质量为的质点的引力， , ,其中为引力常数， .三、典型例题题型1 利用概念与性质讨论或计算二重积分例1 试比较与的大小，其中是以三个点， ，为顶点的三角形区域.解 画出的图形.因为直线的方程为所以当时，于是 且不恒等于故 .例2 估计的值的范围，其中.解 因为在上有所以即例3 设,其中，则( ).(A) （B） (C) (D) 分析 关键在于比较、与在区域上的大小.解 在区域上，有，从而有 ,由于在 上为单调递减函数，于是 ,因此，故应选(A).例4 求极限.解 由二重积分的中值定理，原式 其中且当时，例5 （ ）.(A) (B) (C) (D) 解 将和式改写成 方法1 将看成两个定积分的积分和的乘积.由得, 故选(D).方法2 将看成二重积分的一个积分和.记将的长和宽均等分,每个小正方形的面积是,于是是在上的一个积分和.题型2 利用直角坐标计算二重积分例1 计算，其中是由，及所围成的平面区域.解 画出的图形.令则 故例2 计算，其中是由，及所围成的平面区域.解 画出的图形.注 若选用先后的次序,则须将分为两部分，计算量相对较大. 例3 设连续，且，其中是由所围成的区域，则等于( ).（A） （B） （C） （D）解 注意到是一个常数,令其值为则对上式两边在上求二重积分得即解之得所以故（C）正确.题型3 利用极坐标计算二重积分例1 累次积分可以写成( ). （A） （B） （C） （D）解 积分区域为故（D）正确. 例2 设函数连续，区域，则等于( ). （A） （B）（C） （D）解 画出的图形，（D）正确.例3 计算，.解 画出的图形.例4 计算，其中为由双纽线所围成的平面区域.解 画出的图形,由对称性得考虑下列做法是否正确? 为什么? 例5 计算.解 画出的图形,改用极坐标计算. 令 则上式例6 计算.解 画出的图形, 在直角坐标系下无法计算, 改用极坐标计算.题型4 利用对称性计算二重积分 例1 设是平面上以和为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分，则等于( ).（A） （B） （C） （D）解 连接点和点,由对称性可知故 + 所以（A）正确.例2 计算，其中是由，所围成的平面区域，是连续函数.解 画出的图形,用曲线将分为与由于关于轴对称, 关于轴对称, 关于均为奇函数,所以例3 计算，.解 画出的图形,由于关于轴对称, 关于均为偶函数,所以 例4 设区域，为D上的正值连续函数，为常数，则( ). (A) (B) (C) (D) 解 由轮换对称性，有 = = 应选(D).注 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析. 题型5 含有绝对值的二重积分去绝对值的方法： 用使绝对值为零的曲线适当划分积分区域,在部分区域上可以去掉绝对值.例 计算，由，所围成.解 画出的图形,为去绝对值,用曲线将分为与在上, 在上, 于是题型6 改变二重积分的次序例1 计算.解 由于无法用有限形式表示(即积不出来),所以应改变二次积分的次序,为此先画出积分区域的图形, 再改变二次积分的次序.例2 计算解 交换积分次序得 例3 计算.解 由于积不出来,所以应改变二次积分的次序,为此先画出积分区域的图形,再改变二次积分的次序.注1 积分顺序的选择影响到计算的繁简程度和能否计算出结果.注2 形如，等的积分均为可积但积不出来(原函数不能用有限形式表示)的类型，在重积分计算中，都要后积分.注3 解题过程: 先根据所给积分限画出积分区域的图形，再改变原来的积分顺序.注4 类似地可改变三重积分的顺序.题型7 分段函数的二重积分例1 计算，其中.解 画出的图形,用直线将分为与在上, 在上于是 例2 设计算，其中.解 因为关于轴均对称, 关于均为偶函数, 所以, 其中是在第一象限部分. 用直线将分为与两部分, 则 题型8 广义二重积分(数二不要求)例1 设是第一象限内在曲线和之间的部分，计算.解 例2 .解 令则令则题型9 关于二重积分的证明题例1 设在上连续，且，证明.证明 方法1 ，方法2 令 又 例2 设是上的正值函数，且单调减少，证明.证明 将所证不等式变形为 其中同理于是 当时，当时，故 题型10 利用直角坐标计算三重积分(数二、三不要求)例1 计算，其中是由，所围成的空间区域.解 画出在坐标面上的投影区域图形,例2 计算，其中是由及三个坐标面所围成的空间区域.解 画出的图形,由对称性可知注 利用对称性可以简化计算.题型11 利用柱面坐标计算三重积分(数二、三不要求)例1 计算，.解 画出的图形, 例2 计算，是由平面曲线绕着轴旋转一周而生成的曲面与两平面，所围成的立体.解 旋转抛物面方程为在柱面坐标系下题型12 利用球面坐标计算三重积分(数二、三不要求)例1 计算，是由与围成的立体.解 画出的图形, 例2 计算，.解 画出的图形, 题型13 利用对称性计算三重积分(数二、三不要求) 例1 设有空间区域及，则下列等式成立的是( ). （A） （B） （C） （D）解 由积分变量和积分区域的对称性可知（C）正确.例2 计算，.解 由积分变量和积分区域的对称性可知在球坐标系下, 题型14 利用“切片法”计算三重积分(数二、三不要求)例1 计算，.解 因为关于坐标面对称, 关于是偶函数,所以, 利用“切片法”, 注 在柱面坐标系下 例2 计算，由，及所围成.解 画出的图形, 利用“切片法”和极坐标注 在柱面坐标系下需分两块计算:题型15 含有绝对值的三重积分(数二、三不要求)例 计算，由， 所围成.解 画出在坐标面上的投影区域图形,因为关于坐标面和坐标面对称, 而分别关于是偶函数,所以 其中是在坐标面上的投影区域. 注 此法称为“先一后二法”.题型16 应用题(数二、三不要求)(1) 求平面图形的面积例1 求由双纽线所围成图形的面积.解 画出图形, 由对称性和极坐标有(2) 求空间立体的体积例2 求由曲面与所围成的立体的体积 (分别用二重积分和三重积分求).解 画出空间立体的图形.解法1 利用二重积分和极坐标得解法2 利用三重积分和柱坐标得(3) 求空间曲面的面积例3 求锥面被柱面所割下部分的面积.解 画出曲面的草图,它在坐标面上的投影区域为(4) 求质心坐标例4 半径为的圆盘，其上各点的密度与到圆心的距离成反比(设比例系数为1). 若内切于圆盘截去半径为的小圆，求余下圆盘的质心坐标.解 建立坐标系如图所示，由对称性可知 由题意，面密度质量 力矩 故质心坐标为 例5 设有一个半径为的球体，是其表面上一定点，球体上任一点的密度与该点到的距离的平方成正比(比例常数)，求球体质心的位置.解 建立坐标系如图所示, 取点为, 球面方程为.设质心坐标为,依题意体密度为. 由对称性可知, 且 而 质心为(5) 求转动惯量例6 求心形线所围成的图形关于极点的转动惯量(密度为1).解 (6) 求引力例7 设密度为1的圆柱体的底半径为，高为，另有单位质量的质点位于圆柱底面的中心处，求圆柱体对该质点的引力.解 建立坐标系如图所示, 由对称性可知引力沿着轴的正方向, 且其中为引力系数, , 为引力微元与轴的夹角. 在柱面坐标系下,