2017_18学年高中数学第一章1.2.2正余弦定理在三角形中的应用学案含解析.docx

1.2.2正、余弦定理在三角形中的应用三角形的面积公式提出问题在ABC中，若AC3，BC4，C60.问题1：ABC的高AD为多少？提示：ADACsin C3sin 60.问题2：ABC的面积为多少？提示：SABCBCAD43.问题3：若ACb，BCa，你发现ABC的面积S可以直接用a，b，C表示吗？提示：能Sabsin C.导入新知三角形的面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)(2)Sabsin Cbcsin AacsinB.化解疑难三角形的面积公式Sabsin C与原来的面积公式 Sah(h为a边上的高)的关系为：hbsin C，实质上bsin C就是ABC中a边上的高三角形的面积计算例1在ABC中，已知C120，AB2，AC2，求ABC的面积解由正弦定理知，即，所以sin B，由于ABAC，所以CB，故B30.从而A1801203030.所以ABC的面积SABACsin A22sin 30 .类题通法1求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值2事实上，在众多公式中，最常用的公式是SABCabsin Cbcsin Aacsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式活学活用1在ABC中，若A60，b16，SABC64，则c_.解析：由已知得SABCbcsin A，即6416csin 60，解得c16.答案：162在ABC中，若a3，b2，c4，则其面积等于_解析：由余弦定理得cos A，所以sin A ，于是SABCbcsin A24.答案：三角形中的恒等式证明问题例2在ABC中，求证：.证明法一：左边右边，其中R为ABC外接圆的半径.法二：左边右边，(cos C0).类题通法解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解活学活用在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：c.证明：由余弦定理的推论得cos B，cos A，代入等式右边，得右边c左边，c.三角形中的综合问题例3(浙江高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小解(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2 sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S得absin C，故有sin Bsin Csin A sin 2Bsin Bcos B.因为 sin B0，所以 sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A. 类题通法解决三角形的综合问题，除灵活运用正弦、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识因此，掌握正弦、余弦定理，三角函数的公式和性质是解题关键活学活用已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，S是ABC的面积若a4，b5，S5，求c.解：Sabsin C，545sin C，sin C.而0C180，于是C60或120.又c2a2b22abcos C，当C60时，c24252245cos 6021，c.当C120时，c24252245cos 12061，c，故c的长为或.典例(12分)如图，在四边形ABCD中，ACCDAB1，1，sinBCD.(1)求边BC的长；(2)求四边形ABCD的面积解题流程规范解答(1)ACCDAB1，|cosBAC名师批注向量数量积运算公式易用错，在ABC中，和夹角有时误认为是ABC，从而不得分2cosBAC1，cosBAC，BAC60.(3分)在ABC中，由余弦定理有：BC2AB2AC22ABACcosBAC22122213，BC.(6分)(2)由(1)知，在ABC中有：AB2BC2AC2，ABC为直角三角形，且ACB90，(7分)SABCBCAC1.(8分)又BCDACBACD90ACD，sinBCD，cosACD，(9分)名师批注利用了诱导公式求cosACD，求解时对取正负号要特别注意.sinACD，(10分)SACDACCDsinACD11.(11分)S四边形ABCDSABCSACD.(12分)活学活用在ABC中，AB2，cos C，D是AC上一点，AD2DC，且cosDBC.求：(1)BDA的大小；(2) .解：(1)由已知cosDBC，cos C，从而知sinDBC，sin C，cosBDAcos(DBCC)，BDA.(2)设DCx，则AD2x，AC3x，设BCa，则在DBC中，由正弦定理得，ax.在ABC中，由余弦定理得4(3x)2(x)223xx.解得x1，|3，|2，|.|cos(C)24.随堂即时演练1已知ABC的面积为，且b2，c ，则A的大小为()A60或120B60C120 D30或150解析：选A由SABCbcsin A得2sin A，所以sin A，故A60或120，故选A.2在ABC中，若，则()AAC BABCBC D以上都不正确解析：选C，sin Bcos Ccos Bsin C.sin(BC)0.又BC，BC0，即BC.3等腰ABC中，顶角A120，腰长AB1，则底边BC长为_解析：易知BC30，由正弦定理知：，BC.答案：4三角形的两边分别为3 cm,5 cm，它们所夹角的余弦值为方程5x27x60的根，则这个三角形的面积为_cm2.解析：方程5x27x60的两根为x12，x2，因此两边夹角的余弦值等于，并可求得正弦值为，于是三角形面积S356(cm2)答案：65在ABC中，若B30，AB2，AC2，求ABC的面积解：AB2，AC2，B30，根据正弦定理，有sin C，又ABAC，CB，则C有两解，当C为锐角时，C60，A90，SABCABACsin A2.当C为钝角时，C120，A30，SABCABACsin A.综上可知，ABC的面积为2或.课时达标检测一、选择题1在ABC中，已知AB2，BC5，ABC的面积为4，若ABC，则cos 是()A.BC D解析：选CSABCABBCsinABC25sin 4，sin .又(0，)，cos .2在ABC中，已知A30，a8，b8，则ABC的面积为()A32 B16C32或16 D32或16解析：选D在ABC中，由正弦定理，得sin B，又ba，B60或120.当B60时，C180306090，SABC8832；当B120时，C1803012030，SABCabsin C8816.3在ABC中，A60，AB2，且SABC，则边BC的长为()A. B3C. D7解析：选ASABCABACsin A，AC1，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos A41221cos 603.即BC.4ABC的周长为20，面积为10，A60，则BC的边长等于()A5 B6C7 D8解析：选C如图，由题意得由得bc40，由得a2b2c2bc(bc)23bc(20a)2340，a7.5某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150再向前走3 m到C，测得ABC的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为()A3 m B. mC2 m D. m解析：选D在ABC中，SABBCsin B，x3sin 30，x.由余弦定理，得AC (m)二 、填空题6ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为_解析：不妨设b2，c3，cos A，则a2b2c22bccos A9，a3.又sin A，外接圆半径为R.答案：7一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为_km.解析：如图所示，在ACD中，AC2，CD4，ACD60，AD2124822436，AD6，即该船实际航程为6 km.答案：68在ABC中，ab2，bc2，又知最大角的正弦等于，则三边长为_解析：由题意知a边最大，sin A，A120，a2b2c22bccos A.a2(a2)2(a4)2(a2)(a4)a29a140，a2(舍去)，a7.ba25，cb23.答案：a7，b5，c3三、解答题9在ABC中，若c4，b7，BC边上的中线AD的长为，求边长a.解：AD是BC边上的中线，可设CDDBx，则CBa2x.c4，b7，AD，在ACD中，有cos C，在ABC中，有cos C，解得x.a2x9.10在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.求证：.证明：法一：由余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，得a2b2b2a22c(acos Bbcos A)，即a2b2c(acos Bbcos A)，变形得cos Bcos A，由正弦定理得，.法二：cos Bcos A，由正弦定理，得：，由余弦定理推论得，cos B，cos A，代入上式得.原等式成立11(全国甲卷) ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解：(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.12在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面积解：(1