北京大学数学物理方法(上)课件_7 留数定理及其应用.pdf

7留数定理及其应用 7 1留数 留数 若点 a 为函数 f嬨z嬩 的解析点嬬 存在邻域 z a R嬬 f嬨z嬩 在邻域内解析嬮 这时若在邻域内作圆 C 嬺 z a 嬽 r R嬬 那么根据 孃孡孵季孨孹 定理 I C f嬨z嬩孤z 嬽 嬰 若点 b 为函数 f嬨z嬩 的孤立奇点嬬 则函数在 嬰 z b R 内解析嬮 这时若作圆 C 嬺 z a 嬽 r R嬬 由于围 道内有奇点嬬 所以 I C f嬨z嬩孤z不一定为零 在 嬰 z b R 的环域内 f嬨z嬩 有 孌孡孵孲孥孮孴 展开嬺 f嬨z嬩 嬽 X an嬨z b嬩n an嬽 嬱 嬲 孩 I z b r f嬨z嬩 嬨z b嬩n 1 孤z 令 n 嬽 嬱嬬 即得 I z b r f嬨z嬩孤z 嬽 嬲 孩a 1 留数若 b 为 f嬨z嬩 的孤立奇点 定义函数 f嬨z嬩 在孤立奇点 b 的留数 等于 f嬨z嬩 在 b 的空心邻域内 Laurent 展开式中 嬨z b嬩 1幂的系数 a 1 记作 孲孥孳f嬨b嬩 孲孥孳f嬨b嬩 嬽 a 1嬨嬱嬩 留数定理 如果我们要计算一闭合围道积分 H C f嬨z嬩孤z嬮假设闭合围道内部嬬 被积函数除有限几个孤立奇点 bk嬬 k 嬽 嬱 嬲 n 外解析嬮 1 2 n G C0 根据复连通区域 孃孡孵季孨孹 定理嬬 作小圆 1嬬 2嬬 嬮嬮嬮嬬 n将每个奇点包围嬬 则 I C f嬨z嬩孤z 嬽 n X k 1 I k f嬨z嬩孤z 嬽 嬲 孩 n X k 1 孲孥孳f嬨bk嬩 Theorem 7 1 嬨留数定理嬩 设 C 为一简单闭合围道 G 为 C 的内区域 若除 G 内有限个孤立奇点 bk k 嬽 嬱 嬲 n 外 函数在 G 内解析 则 I C f嬨z嬩孤z 嬽 嬲 孩 n X k 1 孲孥孳f嬨bk嬩嬨嬲嬩 嬱 留数的计算 求 f嬨z嬩 在奇点 b 处的留数嬬 就是要求 f嬨z嬩 在 z 嬽 b 点的 嬨不含 b 的嬩 邻域内 孌孡孵孲孥孮孴 展开中 嬨z b嬩 1 项的系数嬮 若 b 为可去奇点嬬 则 孲孥孳f嬨b嬩 嬽 a 1嬽 嬰嬨嬳嬩 所以嬬 留数定理应用时嬬 无需考虑可去奇点嬮 若 b 为函数的极点 嬱嬮 一阶极点 嬲嬮 高阶极点 嬳嬮 本性奇点或高阶极点 留数的计算 嬱嬮 一阶极点 嬲嬮 高阶极点 嬳嬮 本性奇点或高阶极点 一阶极点 在 b 点的某一空心邻域内 f嬨z嬩 嬽 嬱 z b 嬨z嬩 嬨嬴嬩 嬨z嬩 在含中心 b 点的邻域内解析嬬 嬨b嬩 6嬽 嬰嬮 作 孔孡孹孬孯孲 展开 嬨z嬩 嬽 X n 0 n嬨z b嬩n 于是 孲孥孳f嬨b嬩 嬽 0嬽 嬨b嬩 由连续性 孲孥孳f嬨b嬩 嬽 孬孩孭 z b嬨z b嬩f嬨z嬩 嬨嬵嬩 特别常见的情况是 f嬨z嬩 嬽 P嬨z嬩 Q嬨z嬩 嬨嬶嬩 P嬨z嬩 和 Q嬨z嬩 在 b 点及其邻域内解析嬬 b 是 Q嬨z嬩 的一阶零点嬬 P嬨b嬩 6嬽 嬰嬮 则 孲孥孳f嬨b嬩 嬽 孬孩孭 z b嬨z b嬩 P嬨z嬩 Q嬨z嬩 嬽 P嬨b嬩 孬孩孭 z b z b Q嬨z嬩 由孬嬧孈孯孳孰孩孴孡孬法则 孲孥孳f嬨b嬩 嬽 P嬨b嬩 嬱 Q0嬨b嬩 嬽 P嬨b嬩 Q0嬨b嬩 嬨嬷嬩 嬲 Example 7 1求 嬱 z2嬫 嬱 在奇点处的留数 Solutionz 嬽 孩 是它的一阶极点嬬 且为分母 z2嬫 嬱 的一阶零点嬮 所以 孲孥孳f嬨 孩嬩 嬽 嬱 嬲z z i 嬽 孩 嬲 Example 7 2求 孥iaz 孥ibz z2 在奇点处的留数 Solutionz 嬽 嬰 是它的一阶极点嬬 但是分母的二阶零点 嬨分子的一阶零点嬩嬮 由一阶极点留数普遍公式嬨嬵嬩 孲孥孳f嬨嬰嬩 嬽 孬孩孭 z 0 z 孥iaz 孥ibz z2 嬽 孬孩孭 z 0 孥iaz 孥ibz z 由孬嬧孈孯孳孰孩孴孡孬法则 嬽 孩a孥iaz 孩b孥ibz 嬱 z 0 嬽 孩嬨a b嬩 高阶极点 设 z 嬽 b 是 f嬨z嬩 的 m 阶极点 f嬨z嬩 嬽 嬨z b嬩 m 嬨z嬩 嬨z嬩 在 b 的某个邻域内解析 嬨z嬩 嬽 X n 0 n嬨z b嬩n 嬨b嬩 6嬽 嬰嬮 则 孲孥孳f嬨b嬩 嬽 m 1嬽 嬱 嬨m 嬱嬩嬡 m 1 嬨b嬩 将 b 换成极限 z b 孲孥孳f嬨b嬩 嬽 嬱 嬨m 嬱嬩嬡 孬孩孭 z b 孤m 1 孤zm 1 孛嬨z b嬩mf嬨z嬩孝嬨嬸嬩 Example 7 3求 嬱 嬨z2嬫 嬱嬩3 在奇点处的留数 Solutionz 嬽 孩 是它的三阶极点嬬 m 嬽 嬳 孲孥孳f嬨 孩嬩 嬽 嬱 嬲嬡 孤2 孤z2 嬨z i嬩3 嬱 嬨z2嬫 嬱嬩3 z i 嬽 嬱 嬲嬡 孤2 孤z2 嬱 嬨z 孩嬩3 z i 嬽 嬱 嬲嬡嬨 嬳嬩嬨 嬴嬩嬨z 孩嬩 5 z i 嬽 嬳 嬱嬶孩 嬳 本性奇点或高阶极点 对于本性奇点时只能是求 孌孡孵孲孥孮孴 展开系数 a 1嬮 对于高阶极点嬬 很多情况下求展开系数往往比用高阶极点的留数公式嬨嬸嬩 简单嬮 对于 m 阶极点即求 嬨z嬩 嬽 嬨z b嬩mf嬨z嬩 的 孔孡孹孬孯孲 展开系数 m 1嬮 我们可用第嬵章介绍的各种求展开系数方法嬮 Example 7 4函数 f嬨z嬩 嬽 孥iz z嬨z2嬫 嬱嬩2 Solution函数在 z 嬽 孩 有二阶极点嬮 这时 嬨z嬩 嬽 嬨z 孩嬩2 孥iz z嬨z2嬫 嬱嬩2 嬽 孥iz z嬨z 嬫 孩嬩2 要求 m 嬱 嬽 嬱 次项的系数 1嬮 用待定系数法嬬 令 z 孩 嬽 t 嬨t 嬫 孩嬩嬨t 嬫 嬲孩嬩2 X n 0 ntn嬽 孥i t i 嬽 孥 1 X n 0 孩n n嬡t n 即 嬨 嬴孩 嬸t 嬫 嬩 X n 0 ntn嬽 孥 1 X n 0 孩n n嬡t n 先比较两边 嬰 次项系数 嬴孩 0嬽 孥 1 得 0嬽 i 4e嬮 再比较两边 嬱 次项系数 嬴孩 1 嬸 0嬽 孩 孥 得 1嬽 3 4e嬮 所以 孲孥孳f嬨孩嬩 嬽 嬳 嬴孥 Example 7 5函数 f嬨z嬩 嬽 嬱 z2孳孩孮z Solutionz 嬽 嬰 为函数的三阶奇点 嬨z嬩 嬽 z3 嬱 z2孳孩孮z 嬽 z 孳孩孮z 需要求 嬨z嬩 的 孔孡孹孬孯孲 展开的 m 嬱 嬽 嬲 次项系数 2嬮 仍用待定系数法嬬 注意到 嬨z嬩 为偶函数 嬨z嬩 嬽 X l 0 2lz2l X k 0 嬨 嬱嬩k 嬨嬲k 嬫 嬱嬩嬡z 2k 1 X l 0 2lz2l嬽 z 即 X k 0 嬨 嬱嬩k 嬨嬲k 嬫 嬱嬩嬡z 2k X l 0 2lz2l嬽 嬱 嬴 得 0嬽 嬱 嬱 嬶 嬫 1嬽 嬱 1嬽 嬱 嬶 所以 孲孥孳f嬨嬰嬩 嬽 嬱 嬶 Note这两例若用高阶极点留数定理 则比较复杂 7 2有理三角函数的积分 考虑积分 I 嬽 Z 2 0 R嬨孳孩孮 季孯孳 嬩孤 嬨嬹嬩 其中 R 是 孳孩孮 嬬 季孯孳 的有理函数嬮 作变换 z 嬽 孥i 孳孩孮 嬽 孥i 孥 i 嬲孩 嬽 z 1 z 嬲孩 嬽 z2 嬱 嬲孩z 季孯孳 嬽 孥i 嬫 孥 i 嬲 嬽 z 嬫 1 z 嬲 嬽 z2嬫 嬱 嬲z 孤 嬽 孤z 孩z 积分路径变换为 z 平面上的单位圆 z 嬽 嬱嬮 于是 I 嬽 I z 1 R z2 嬱 嬲孩z z2嬫 嬱 嬲z 孤z 孩z 嬽 嬲 X z 1 孲孥孳 嬱 z R z2 嬱 嬲孩z z2嬫 嬱 嬲z 嬨嬱嬰嬩 Example 7 6计算积分 I 嬽 Z 2 0 嬱 嬱 嬫 季孯孳 孤 嬱 嬱 Solution作变换 z 嬽 孥i I 嬽 I z 1 嬱 嬱 嬫 z 2 嬫 嬱 嬲z 孤z 孩z 嬽 嬱 孩 I z 1 嬲 z2嬫 嬲z 嬫 孤z 嬽 嬲 X z 1 孲孥孳 嬲 z2嬫 嬲z 嬫 嬵 解方程 z2嬫 嬲z 嬫 嬽 嬰 可得被积函数两个一阶极点为 z1 2嬽 嬱 嬱 2 其中 z1 嬱 嬨 z1 z2嬽 嬱嬩嬮 于是 I 嬽 嬲 孲孥孳 嬲 z2嬫 嬲z 嬫 z z1 嬽 嬲 嬲 嬲 z 嬫 嬲 z z1 嬽 嬲 嬱 2 7 3有理函数无穷积分 考虑积分 I 嬽 Z R嬨x嬩孤x嬨嬱嬱嬩 R嬨x嬩 为有理函数嬮 无穷积分定义为 Z f嬨x嬩孤x 嬽孬孩孭 R1 R2 Z R2 R1 f嬨x嬩孤x嬨嬱嬲嬩 对于有理函数 R嬨x嬩 嬽 Pn嬨x嬩 Qm嬨x嬩嬬 只有当分母多项式 Qm嬨x嬩 次数比分子多项式 Pn嬨x嬩 次数至少大 嬲 时 积分存在 m n 嬲嬨嬱嬳嬩 若积分存在嬬 则 I 嬽孬孩孭 R Z R R R嬨x嬩孤x嬨嬱嬴嬩 计算 RR RR嬨x嬩孤x嬮 从复平面上看嬬 这是一个沿实轴的复变积分嬮 为了应用留数定理嬬 必须先构造适当的围道嬮 我们补上以原点为圆心嬬 R 为半径的上半圆 CR嬮 x y O R嬫R CR 于是 I C R嬨z嬩孤z 嬽 Z R R R嬨x嬩孤x 嬫 Z CR R嬨z嬩孤z嬨嬱嬵嬩 嬶 任何有理函数只有有限个的孤立奇点嬬 所以 R嬨z嬩 在上半平面只有有限个孤立奇点嬬 R 足够大时嬬 则围道包围 上半平面所有的奇点嬬 由留数定理又有 I C R嬨z嬩孤z 嬽 嬲 孩 X 上半平面 孲孥孳R嬨z嬩嬨嬱嬶嬩 对于无穷积分存在的有理函数 R嬨z嬩嬬 满足条件 嬨嬱嬳嬩嬬 分母多项式次数比分子多项式次数至少大 嬲嬬 则 孬孩孭 z zR嬨z嬩 嬽 孬孩孭 z z Pn嬨z嬩 Qm嬨z嬩 嬽 嬰嬨嬱嬷嬩 由大圆弧定理 孬孩孭 R Z CR R嬨z嬩孤z 嬽 嬰嬨嬱嬸嬩 于是 Z R嬨x嬩孤x 嬽 嬲 孩 X 上半平面 孲孥孳R嬨z嬩嬨嬱嬹嬩 Example 7 7计算定积分 I 嬽 Z 孤x 嬨嬱 嬫 x2嬩3 Solution令 f嬨x嬩 嬽 嬱 嬨嬱 嬫 x2嬩3 I 嬽 孬孩孭 R Z R R f嬨x嬩孤x 考虑围道如图 x y O R嬫R CR 孩 孩 I C f嬨z嬩孤z 嬽 Z R R f嬨x嬩孤x 嬫 Z CR f嬨z嬩孤z 嬽 嬲 孩 X 上半平面 孲孥孳f嬨z嬩 奇点z 嬽 孩嬬 只有z 嬽 孩在上半平面 嬽 嬲 孩孲孥孳f嬨孩嬩 嬷 而前面已经计算过 孲孥孳f嬨孩嬩 嬽 嬳 嬱嬶孩 所以 Z R R f嬨x嬩孤x 嬫 Z CR f嬨z嬩孤z 嬽 嬳 嬸 因为 孬孩孭 z z 嬱 嬨嬱 嬫 z2嬩3 嬽 嬰 由大圆弧定理 孬孩孭 R Z CR f嬨z嬩孤z 嬽 孩 嬰 嬽 嬰 于是 I 嬽 3 8 嬮 普通作法 嬱嬮 补上适当的积分路径从而形成闭合围道嬬 用留数定理计算围道积分嬮 嬲嬮 处理补充的路径上的复变积分嬺 或者可以直接计算出来嬮或者与所要计算的无穷积分相关联嬮 Example 7 8计算定积分 I 嬽 Z 0 孤x 嬱 嬫 x4 常规解法注意到 I 嬽 嬱 嬲 Z 孤x 嬱 嬫 x4 采用半圆形围道嬬 这时被积函数在围道内有两个奇点 z1 2嬽 孥 i 4 孥 i3 4 需要计算两个奇点的留数嬮 另解令 f嬨x嬩 嬽 嬱 嬱 嬫 x4 采用围道嬺 沿正实轴 嬰 R嬬 沿圆弧 CR到达正虚轴嬬 再沿正虚轴由 孩R 嬰嬮 x y O R嬫R CR 孥i 4孥3i 4 这样根据留数定理 I C f嬨z嬩孤z 嬽 Z R 0 f嬨x嬩孤x 嬫 Z CR f嬨z嬩孤z 嬫 Z 0 R f嬨孩y嬩孤嬨孩y嬩 因为 f嬨孩y嬩 嬽 f嬨y嬩 嬸 所以得 I C f嬨z嬩孤z 嬽 嬨嬱 孩嬩 Z R 0 f嬨x嬩孤x 嬫 Z CR f嬨z嬩孤z 嬽 嬲 孩 X 第一象限 孲孥孳f嬨z嬩 嬽 嬲 孩孲孥孳f嬨孥 i 4嬩 而 孲孥孳f嬨孥 i 4嬩 嬽 嬱 嬴z3 z e i 4 嬽 嬱 嬫 孩 嬴 嬲 又 孬孩孭 z z 嬱 嬱 嬫 z4 嬽 嬰 故由大圆弧定理 孬孩孭 R Z CR f嬨z嬩孤z 嬽 嬰 最后可得 I 嬽 2 4 嬮 7 4含三角函数的无穷积分 考虑积分 I 嬽 Z R嬨x嬩孥ipx孤xp 嬰嬨嬲嬰嬩 R嬨x嬩 为有理函数嬮 积分的实部和虚部分别为 孒孥I 嬽 Z R嬨x嬩季孯孳px孤x嬨嬲嬱嬩 孉孭I 嬽 Z R嬨x嬩孳孩孮px孤x嬨嬲嬲嬩 当且仅当有理函数 R嬨x嬩 嬽 Pn嬨x嬩 Qm嬨x嬩 的分母多项式 Qm嬨x嬩 次数比分子多项式 Pn嬨x嬩 的次数大 嬱 时 m n 嬱嬨嬲嬳嬩 无穷积分存在嬮 对于积分 I 同样考虑围道积分 I C R嬨z嬩孥ipz孤z 嬽 Z R R R嬨x嬩孥ipx孤x 嬫 Z CR R嬨z嬩孥ipz孤z 嬽 嬲 孩 X 上半平面 孲孥孳 R嬨x嬩孥ipz Theorem 7 2 嬨孊孯孲孤孡孮引理嬩 设在 嬰 孡孲孧z 的范围内 当 z 时 Q嬨z嬩 一致地趋近于 嬰 则 孬孩孭 R Z CR Q嬨z嬩孥ipz孤z 嬽 嬰嬨嬲嬴嬩 其中 p 嬰 CR是以原点为圆心 R 为半径的上半圆 嬹 Proof当 z 在 CR上时嬬 令 z 嬽 R孥i Z CR Q嬨z嬩孥ipz孤z 嬽 Z 0 Q嬨R孥i 嬩孥ipR cos isin R孥i 孩孤 Z 0 Q嬨R孥i 嬩 孥 pRsin R孤 当 R 足够大时 嬰 故 Z CR Q嬨z嬩孥ipz孤z 嬲 R Z 2 0 孥 pR 2 孤 嬽 嬲 R 嬲pR嬨嬱 孥 pR嬩 嬰 Solution令 f嬨x嬩 嬽 x x2嬫 a2 因为被积函数 f嬨x嬩孳孩孮x 为偶函数 Z 0 f嬨x嬩孳孩孮x孤x 嬽 嬱 嬲 Z f嬨x嬩孳孩孮x孤x 嬽 嬱 嬲孉孭 Z f嬨x嬩孥ix孤x 考虑围道积分 I C f嬨z嬩孥iz孤z 嬽 Z R R f嬨x嬩孥ix孤x 嬫 Z CR f嬨z嬩孥iz孤z 嬽 嬲 孩 X 上半平面 孲孥孳 f嬨z嬩孥iz 易知嬬 z 嬽 孩a 为上半平面的唯一奇点嬬 且为一阶极点 孲孥孳 z孥iz z2嬫 a2 嬽 z孥iz 嬲z z ia 嬽 嬱 嬲孥 a Z R R f嬨x嬩孥ix孤x 嬫 Z CR f嬨z嬩孥iz孤z 嬽 孩孥 a 孬孩孭 z f嬨z嬩 嬽 嬰 由 孊孯孲孤孡孮 引理 孬孩孭 R Z CR f嬨z嬩孥iz孤z 嬽 嬰 于是 Z f嬨x嬩孥ix孤x 嬽 孩孥 a 于是 I 嬽 嬱 嬲孉孭嬨 孩孥 a嬩 嬽 嬲 孥 a 嬱嬱 7 5实轴上有奇点的情形 设被积函数在实轴上有奇点嬬 则积分 Z f嬨x嬩孤x 为瑕积分嬮 假设瑕点是 c嬬 瑕积分定义为 Z b a f嬨x嬩孤x 嬽 孬孩孭 1 0 Z c 1 a f嬨x嬩孤x 嬫 孬孩孭 2 0 Z b c 2 f嬨x嬩孤x嬨嬲嬸嬩 如果这两个极限都不存在嬬 但是 孬孩孭 0 Z c a f嬨x嬩孤x 嬫 Z b c f嬨x嬩孤x 存在嬬 定义瑕积分的主值为 孶 孰 Z b a f嬨x嬩孤x 嬽 孬孩孭 0 Z c a f嬨x嬩孤x 嬫 Z b c f嬨x嬩孤x 嬨嬲嬹嬩 当然嬬 如果瑕积分存在嬬 则其主值也存在嬬 且它们一定相等嬮 所以嬬 我们考虑 I 嬽 孶 孰 Z f嬨x嬩孤x 嬽 孬孩孭 R 0 Z c R f嬨x嬩孤x 嬫 Z R c f嬨x嬩孤x 嬨嬳嬰嬩 因为实轴上 c 点是被积函数的奇点嬬 必须绕开奇点来构成闭合的积分围道 嬨如图嬩嬮 R c 嬫R CR c c 嬫 C Z C f嬨z嬩孤z 嬽 嬲 孩 X 上半平面 不含实轴 孲孥孳f嬨z嬩 嬽 Z c R f嬨x嬩孤x 嬫 Z C f嬨z嬩孤z 嬫 Z R c f嬨x嬩孤x 嬫 Z CR f嬨z嬩孤z嬨嬳嬱嬩 对于大圆弧积分嬬 我们可用大圆弧定理或 孊孯孲孤孡孮 引理处理嬮 对于小圆弧 C 的积分嬬 则需要用到小圆弧定理嬮 Example 7 10计算积分 Z 孳孩孮x x 孤x 嬱嬲 Solution很自然嬬 应当考虑积分 孶 孰 Z 孥ix x 孤x 注意嬬 x 嬽 嬰 为新积分的瑕点嬬 且为函数的一阶极点嬬 瑕积分不存在嬬 但积分主值存在嬮 令 f嬨z嬩 嬽 孥iz z 绕开 z 嬽 嬰 的一阶极点嬬 积分围道如图嬮 R嬫R CR C 因为积分围道包围的区域内无奇点 I C f嬨z嬩孤z 嬽 Z R f嬨x嬩孤x 嬫 Z C f嬨z嬩孤z 嬫 Z R f嬨x嬩孤x 嬫 Z CR f嬨z嬩孤z 嬽 嬰 大圆弧积分嬬 由 孊孯孲孤孡孮 引理 孬孩孭 z 嬱 z 嬽 嬰 孬孩孭 R Z CR f嬨z嬩孤z 嬽 嬰 小圆弧积分嬬 由小圆弧定理 孬孩孭 z 0 z 孥iz z 嬽 嬱 孬孩孭 0 Z C f嬨z嬩孤z 嬽 孩嬨嬰 嬩 嬽 孩 所以 孶 孰 Z f嬨x嬩孤x 孩 嬽 嬰 孶 孰 Z f嬨x嬩孤x 嬽 孩 取虚部 Z 孳孩孮x x 孤x 嬽 我们看到嬬 在用留数定理计算定积分时嬬 往往不能简单地将围道积分的被积复变函数取成定积分的被积函 数嬮 事实是嬬 如何选取适当的被积复变函数嬬 是留数定理求积分的一个难点嬮 嬱嬳 Example 7 11 I 嬽 Z 0 x 孳孩孮x x3嬨嬱 嬫 x2嬩孤x 因为是偶函数嬬 所以 I 嬽 嬱 嬲 Z x 孳孩孮x x3嬨嬱 嬫 x2嬩孤x 注意积分不能拆开成两个积分之和 嬿 嬽 嬱 嬲 Z x x3嬨嬱 嬫 x2嬩孤x 嬱 嬲 Z 孳孩孮x x3嬨嬱 嬫 x2嬩孤x 拆开后两个积分 嬨即使是积分主值嬩 都不存在嬡 若选取被积复变函数为 f嬨z嬩 嬽 z 嬫 孩孥iz z3嬨嬱 嬫 z2嬩 这时似乎 I 嬽 嬱 嬲孒孥 Z f嬨z嬩孤z 但上式右边积分 嬨包括主值嬩 也不存在嬡 1 Solution取 f嬨z嬩 嬽 z 嬫 孩嬨孥iz 嬱嬩 z3嬨嬱 嬫 z2嬩 有 I 嬽 嬱 嬲孒孥 孶 孰 Z f嬨z嬩孤z 因为 z 嬽 嬰 为被积函数的一阶极点嬬 故上面的积分主值存在嬮 考虑积分围道如图 x y R嬫R CR C 孩 孩 I C f嬨z嬩孤z 嬽 嬲 孩 X 上半平面 孲孥孳f嬨z嬩 嬽 Z R f嬨x嬩孤x 嬫 Z C f嬨z嬩孤z 嬫 Z R f嬨x嬩孤x 嬫 Z CR f嬨z嬩孤z 1因为 z 0 是被积函数的三阶极点 嬱嬴 f嬨z嬩 的奇点为 嬰嬬 孩嬮 上半平面 嬨不包括实轴嬩 仅有一个奇点 孩嬬 为一阶极点嬮 故 嬲 孩 X 上半平面 孲孥孳f嬨z嬩 嬽 嬲 孩孲孥孳f嬨孩嬩 嬽 嬲 孩 孛z 嬫 孩嬨孥iz 嬱嬩孝 z3 嬲z z i 嬽 孥 因为 孬孩孭 z 0 zf嬨z嬩 嬽 孬孩孭 z 0 z 嬫 孩嬨孥iz 嬱嬩 z2嬨嬱 嬫 z2嬩 嬽 孬孩孭 z 0 z 嬫 孩嬨孩z 嬫 iz 2 2 嬫 嬩 z2嬨嬱 嬫 z2嬩 嬽 孩 嬲 由小圆弧定理 孬孩孭 0 Z C f嬨z嬩孤z 嬽 孩 嬨 孩 嬲嬩 嬽 嬲 而 Z CR f嬨z嬩孤z 嬽 Z CR z 孩 z3嬨嬱 嬫 z2嬩孤z 嬫 Z CR 孩孥iz z3嬨嬱 嬫 z2嬩孤z 由大圆弧定理 孬孩孭 z z z 孩 z3嬨嬱 嬫 z2嬩 嬽 嬰孬孩孭 R Z CR z 孩 z3嬨嬱 嬫 z2嬩孤z 嬽 嬰 由 孊孯孲孤孡孮 引理 孬孩孭 z 孩 z3嬨嬱 嬫 z2嬩 嬽 嬰孬孩孭 R Z CR 孩孥iz z3嬨嬱 嬫 z2嬩孤z 嬽 嬰 故 孬孩孭R R CR f嬨z嬩孤z 嬽 嬰嬮 所以 孶 孰 Z f嬨x嬩孤x 嬽 孥 嬲 嬽 嬲 孥 最后得 I 嬽 嬱 嬲 嬲 孥 嬽 嬲 嬱 嬲 嬱 孥 复杂作法 嬱嬮 选择适当的被积复变函数嬮 嬲嬮 补上适当的积分路径从而形成闭合围道嬬 用留数定理计算围道积分嬮 嬳嬮 处理补充的路径上的复变积分嬺 或者可以直接计算出来嬮或者与所要计算的无穷积分相关联嬮 嬱嬵 7 6多值函数的积分 一种常见的多值函数的积分是 I 嬽 Z 0 xs 1R嬨x嬩孤x嬨嬳嬲嬩 其中 s 为实数嬬 R嬨x嬩 为有理函数嬬 在正实轴上没有奇点嬮 不妨设 嬰 s 嬱嬬 则为了保证积分收敛嬬 要求嬺 嬱嬮 R嬨x嬩 嬽 Pn嬨x嬩 Qm嬨x嬩 的分母多项式次数比分子多项式次数至少大 嬱嬮 m n 嬱嬨嬳嬳嬩 嬲嬮 x 嬽 嬰 不是 R嬨x嬩 的极点嬮 由于 zs 1为多值函数嬬 作割线沿正实轴将复平面割开嬬 并规定沿割线上岸 孡孲孧z 嬽 嬰嬮 积分路径由 嬨割开的嬩 大 小圆弧及割线上下岸组成嬺 沿割线上岸 R嬬 经大圆弧 CR到达割线下岸嬬 沿割线下岸回来 R孥i2 孥i2 嬬 沿小圆弧 C 绕过原点 O 形成闭合围道如图嬮 x y CR C R I C zs 1R嬨z嬩孤z 嬽 Z R xs 1R嬨x嬩孤x 嬫 Z CR zs 1R嬨z嬩孤z 嬫 Z R 嬨x孥i2 嬩s 1R嬨x嬩孤x 嬫 Z C zs 1R嬨z嬩孤z 由于有理函数 R嬨z嬩 只有有限的孤立奇点嬬 在取极限 嬰嬬 R 后嬬 围道包围所有奇点嬬 由留数定理 I C zs 1R嬨z嬩孤z 嬽 嬲 孩 X 全平面 孲孥孳 zs 1R嬨z嬩 由积分收敛条件嬱嬬 应用大圆弧定理 孬孩孭 z z zs 1R嬨z嬩 嬽 嬰孬孩孭 R Z CR zs 1R嬨z嬩孤z 嬽 嬰 由积分收敛条件嬲嬬 应用小圆弧定理 孬孩孭 z 0 z zs 1R嬨z嬩 嬽 嬰孬孩孭 0 Z C zs 1R嬨z嬩孤z 嬽 嬰 所以 Z 0 xs 1R嬨x嬩孤x 嬽 嬲 孩 嬱 孥i2 s X 全平面 孲孥孳 zs 1R嬨z嬩 嬨嬳嬴嬩 嬱嬶 Example 7 12计算积分 Z 0 x 1 x 嬫 嬱孤x 嬰 嬱 Solution这里 R嬨x嬩 嬽 1 x 1嬮 重复以上过程嬡 Z 0 x 1 x 嬫 嬱孤x 嬽 嬲 孩 嬱 孥i2 X 全平面 孲孥孳 z 1 z 嬫 嬱 z 嬽 嬱 为唯一的奇点 嬨一阶极点嬩嬬 于是得 Z 0 x 1 x 嬫 嬱孤x 嬽 嬲 孩 嬱 孥i2 z 1 嬱 z ei 嬽 嬲 孩孥i 孥i2 嬱 嬽 嬲 孩 孥i 孥 i 嬽 孳孩孮 Example 7 13计算积分 Z 0 孬孮x 嬱 嬫 x 嬫 x2 孤x Solution考虑含参数的积分 I嬨s嬩 嬽 Z 0 xs 1 x 嬱 嬫 x 嬫 x2 孤x 重复以上过程嬡 得 I嬨s嬩 嬽 嬲 孩 嬱 孥i2 s X 全平面 孲孥孳 zs 1R嬨z嬩 其中 R嬨z嬩 嬽 z 嬱 嬫 z 嬫 z2 嬬 奇点 z1 2嬽 孥i2 3 孥i4 3 都是一阶极点嬮 计算留数值嬬 得 孲孥孳 zs 1R嬨z嬩 z z1嬽 孩 嬳孥i2 s 3 孲孥孳 zs 1R嬨z嬩 z z2嬽 孩 嬳孥i4 s 3 于是 I嬨s嬩 嬽 嬲 嬳 孳孩孮 s 3 孳孩孮 s 当 s 嬰 时嬬 注意到 I嬨s嬩 为 s 的偶函数 I嬨s嬩 嬽 嬲 嬳嬨嬱 嬳 嬫 嬰 s 嬫 嬩 对 s 求导2嬬 并令 s 嬽 嬰嬬 得 Z 0 孬孮x 嬱 嬫 x 嬫 x2 孤x 嬽 嬰 2由一致收敛性 1 A s B 1 0 和 是积分的两个瑕点 需分别处理 嬱嬷 Problems 嬱嬮 求下列函数在指定点z0处的留数 嬨嬱嬩 嬱 z 嬱 孥學孰 z2 z0嬽 嬱嬻 嬨嬲嬩 嬱 嬨z 嬱嬩2 孥學孰 z2 z0嬽 嬱嬻 嬨嬳嬩 z 嬱 季孯孳z 2 z0嬽 嬰嬻 嬨嬴嬩 嬱 z2孳孩孮z z0嬽 嬰嬻 嬨嬵嬩 孥z 嬨z2 嬱嬩2 z0嬽 嬱嬻 嬨嬶嬩 嬱 季孯孳孨 z z0嬽 嬲n 嬫 嬱 嬲 2 n 嬽 嬰 嬱 嬲 嬮 嬲嬮