高等数学竞赛辅导中值定理应用[1].pdf

第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 1 内容提要内容提要 一 介值定理 1 定理 定理 1 零点定理 零点定理 设函数 f x在闭区间 上连续 且 a b 0f a f b 那么在开区间内至少有一点 a b 使 0f 2 定理 定理 2 介值定理 介值定理 设函数 f x在闭区间 上连续 且 a b f aA 及 f bB AB 那么对于A与B之 间的任一个常数C 开区间内至少有一点 a b 使 fCab 二 微分中值定理 1 定理 定理 3 费马 费马 fermat 引理 引理 设函数 f x在点 0 x的某邻域 000 U xxx 内有定义 并且在 0 x处可导 如果 对任意的 0 xU x 有 0 f xf x 0 f xf x 那么 0 0fx 注 费马引理函数的极值点若可导 则其导数为 0 一阶导数等于零的点称为函数的驻点 2 定理定理 4 罗尔 罗尔 Rolle 定理 定理 如果函数 f x满足 1 在闭区间 上连续 2 在开区间内可导 a b a b 3 在区间端点处的函数值相等 即 f af b 那么在内至少有一点 a b ab 使得 0f 3 定理 定理 5 拉格朗日 拉格朗日 Lagrange 定理 定理 如果函数 f x满足 1 在闭区间 上连续 2 在开区间内可导 a b a b 那么在内至少有一点 a b ab 使得 f bf afba 4 定理 定理 6 如果函数 f x在区间I上的导数恒为零 那么函数 f x在区间I上是一个常数 5 定理 定理 7 柯西 柯西 Cauchy 定理 定理 如果函数 f x及满足 1 在闭区间 上连续 2 在开区间 内可导 F x a b a b 3 对任一那么在内至少有一点 0 xa bF x a b ab 使得 f bf af F bF aF 6 定理 定理 8 泰勒 泰勒 Taylor 定理 定理 如果函数 f x在含有 0 x的某个开区间 内具有直到 a b1n 阶的导数 则对 xa b 有 2 00 00000 2 n n n fxfx f xf xfxxxxxxxR x n L 其中 1 1 0 1 n n n f R xxx n 这里 是x与 0 x之间的某个值 此公式也称为带有拉格 朗日型余项的阶泰勒公式 n 1 当 0 n n Rxoxx 时 2 00 000000 2 n nn fxfx f xf xfxxxxxxxoxx n L 称为带有皮亚诺 Peano 余项的阶泰勒公式 n 2 在泰勒公式中 如果取 则 0 0 x 在x与之间 此时可令0 01 x 或 0fx 时 0fxK K为常数 试证明 若 则方程在 0f a 然后再用介值定理 注意唯一性 例 2 设 f x在 上连续 且 证明在 内存在唯一的 a b 0f x a b 使得直线x 将曲线和直线 yf x xa xb 以及0y 所围成的平面图形分成面积相等的两部分 例 3 设函数 f x在 0 上连续 且 00 0 cos0f x dxf xxdx 试证 在 0 内至少存在两个不同的点 1 2 使 12 0 ff 分析 证明介值问题 一般两种情形 1 要证的结论与某函数在一点的函数值 f 有关 但与其导数值无关 可考虑用连续函数的介值定理 如例 1 例 2 2 要证的结论 与某函数在某一点的导数值 f 或更高阶导数值有关 则应考虑微分中值定理 包括罗尔 定理 拉格朗日中值定理和泰勒公式 题型二将详述 本题要证的结论与导数无关 但用连续函数的介值定理又解决不了 是隐含介值问题 实际上应用微分中值定理解决 根据 x a f t dtf x 利用变限积分的函数 x a f t dt 作 辅助函数 本题提示 本题直接用连续函数的介值定理比较困难 可考虑作辅助函数 显然有 x a F xf t dt 0 0FF 但要证本题结论 还需要找 F x的一个零 点 这要由第二个条件 0 cos0f xxdx 来实现 为了与 F x联系起来 可将其变 换为 00 0 coscos f xxdxxdF x 再通过分部积分和积分中值定理就可达到 目的 例 4 设 f x在 0上连续 1 1 0 0 f x dxg x 在 0上有连续的导数且在 1 0 1 内 并且 0g x 1 0 0f x g x dx 试证至少存在两个不同的点 12 0 1 使 12 0ff 提示 同例 3 题型二题型二 证明存在证明存在 使 使 0 1 2 n fn L 解题提示 用罗尔定理 或多次利用罗尔定理 例 5 设函数 f x在 0上连续 在内可导 且 3 0 3 0 1 2 3 fff 3 1f 试证必存在 0 3 使 0f 提示 只需证明存在一点 使然后应用罗尔定理即可 由条件 0 3 c 3 1f cf 0 1 2 1 3 fff 问题转 化为 1 介于函数的最值之间 用介值定理就可以达到目的 例 6 设函数 f x在区间 0上有三阶导数 且 1 1 0f 设 3 F xx f x 证明 在内存在一点 0 1 使得 0F 提示 直接用麦克劳林公式 也 可以三次用罗尔定理 例 7 设函数 f xg x在 上连续 在内具有二阶导数且存在相等的最 大值 且 a b a b f ag af bg b 证明 存在 a b 使得 fg 本题综合考查介值定理和罗尔定理 提示 令 F xf xg x 只需对 F x 用罗尔定理 题型三题型三 证明存在证明存在 使 使 0 n fkk 解题提示 构造辅助函数 利用中值定理 步骤 1 将 换为x 2 恒等变形 便于积分 3 积分并分离常数 F x f xC 则 F x f x 即为所需的辅助函数 例 8 设 f x在 0上连续 在内可导 且满足 1 0 1 1 1 0 1 1 x k fkxef x dxk 证明至少存在一点 0 1 使得 1 1 ff 提示 将要证关系式 1 1 ff 中的 换为x 并作恒等变形得 1 1 fx f xx 两边积分后得 x xef xC 故可作出辅助函数 x F xxef x 对已知条件使用积分中值定理 然后对辅助函数应用罗尔定理即可 例 9 设 f x在 0内上连续 在 0内可导 且 1 1 0 0f 但当时 求证对任意自然数n 在 0内存在 0 1 x 0f x 1 使 1 1 nff ff 提 示 将所证结论中 改为x 两边积分后 可作出辅助函数 1 n F xf xfx 例 10 设 f x在 上可导 且同号 证明 至少存在一点 a b a b a b 使 af bbf a ff ab 提示 令 1 f x F xG x xx 注意到同 号 故用柯西中值定理 a b 例 11 设 f x在 0内上连续 在 0内可导 且 1 1 1 0 1 0 1 2 fff 证明 1 存在 1 1 2 使 f 2 对任意自然数 必存在 0 使 1ff 提示 1 直接用介值定理即可 2 令 x F xef xx 利用罗尔定理 例 12 假设函数 f x和在 存在二阶导数 并且 g x a b 0 gx 0f af bg ag b 试证 1 在开区间内 a b 0g x 2 在开区间 内至少存在一点 a b 使 ff gg 提示 对 0f x gxg x fx 等式积分可令辅助函数为 F xf x g xg x fx 再利用罗尔定理即可 题型四题型四 双介值问题 要证存在两个中值双介值问题 要证存在两个中值 满足某种关系的命题满足某种关系的命题 解题提示 先用一次中值定理转化为单介值问题 一般是再用一次拉格朗日中值解题提示 先用一次中值定理转化为单介值问题 一般是再用一次拉格朗日中值 定理或柯西中值定理 定理或柯西中值定理 例 13 设 f x在上连续 在内可导 且 a b a b 1f af b 试证 存在 a b 使得 1 eff 提示 将要证结论改写为 effe 即证 x x e f xe 令 x F xe f x 对其应用拉格朗日中值定理 评注 对双介值问题 证明 a b 使 0H 一般按以下步骤证明 1 与 化 0H 为 ff 2 若容易找到 使 F x F xf x 或 则对应用拉格朗日中值定理 得 g x F x F bF a Ff ba 3 应用微分中值定理 证明 F bF a g ba 例 14 设 f x在 上连续 在内可导 且 a b a b 0fx 试证 存在 a b 使得 ba fee e fba 提示 应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理 例 15 设 f x在 0上连续 在 0内可导 且 1 1 0 0 1 1ff 试证 1 存在 0 1 使得 1f 2 存在两个不同的点 0 1 使得 1ff 提示 第一问用闭区间上连续函数的介值定理 第二问为双介值问题 考虑用拉格朗日中 值定理 并注意用第一问已得结论 题型五题型五 不等式的证明不等式的证明 解题提示 不等式的证明方法很多 一般有 利用单调性证明不等式 利用 极值与最值证明不等式 利用凹凸性证明不等式 利用拉格朗日中值定理证 明不等式 利用泰勒展开式证明不等式 这里只简要叙述 两种方法 应用 拉格朗日中值定理的难点在于找到适当的函数名 将其在某两点的函数值之差与 要证的不等式联系起来 如果辅助函数的一阶导数不能确定符号 需要二阶甚至 二阶以上的导数信息才能证明不等式 此时也可考虑用泰勒公式证明 类型一类型一 利用微分中值定理证明不等式利用微分中值定理证明不等式 例 16 设 f x在 0上连续 在内可导 且 1 0 1 1 f x 又 0 1 ff 求证 对 任意必有 12 0 1xx 12 1 2 f xf x 在 1 0 x与上分别利用拉格朗日中值定理证明 例 17 设 2 1 x f x在 0上二阶可导 且在内达到最小值 又在 a 0 a fxM 证明 0 ffaMa 提示 存在使在 0与 上分别使用 0 ca 0fc c c a fxM 类型二类型二 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式 适用于二阶以上可导的情形 例 18 设 f x在 0上具有二阶导数 且满足条件 1 f xafx b 其中都 是非负常数 证明 对任意必有 a b 0 1 x 2 2 b f xa 提示 2 2 f f tf xfx