第3章 中值定理与导数的应用 习题.pdf

1 第三章 中值定理与导数的应用 第 一 节 微 分 中 值 定 理 习 题 3 1 1 试就下列物理现象理解微分中值定理的意义 1 从地面斜抛一物体 经过一段时间后 物体又回到地面上 这过程中必有 一点的运动方向是水平的 2 汽车在行进中 上午 9 时速度为 40km h 到 9 时 20 分其速度增至 50km h 在这二十分钟内的某时刻其加速度恰为 30km h 解 略 2 利用拉格朗日中值定理证明 1 若函数 f x 在区间 a b 内的导数恒为零 则 f x 在区间 a b 上是一个 常数 2 导数为常数的函数必是线性函数 证 1 在区间 a b 上任取两点 1212 x xxx 显然 f x 在 12 x x上连续 在 12 x x内可导 根据拉格朗日中值定理 可得 212112 f xf xfxxxx 由已知条件知 0f 所以 21 0f xf x 即 21 f xf x 由 12 x x的任 意性知 f x 在区间 a b上是一个常数 2 设 fxa 常数 令 g xf xax 则 0 g x 由 1 知 g xb 其中 b为某个常数 因此 f xaxb 即函数 f x 为线性函数 3 不求出函数 1 2 3 f xx xxx 的导数 说明方程 0fx 有几个实 根 并指出它们所在的区间 解 显然 f x 在 0 3 上连续 在 0 3 内可导 且 0 1 2 3 ffff 由罗 尔定理知 在 0 1 内至少存在一点 1 使得 1 0f 在 1 2 内至少存在一点 2 使得 2 0f 在 2 3 内至少存在一点 3 使得 3 0f 即方程 0fx 至少有 三个实根 又方程 0fx 为三次方程 最多有三个实根 故方程 0fx 有且恰 有三个实根 分别位于区间 0 1 1 2 和 2 3 内 4 设 01 0 1 n aa a nn 证明方程 1 01 0 nn n a xa xa 在 0 1 内至少有 一个实根 2 证 令 101 1 nn n aa f xxxa x nn 显然 f x在 0 1 上连续 在 0 1 内可 导 且 0 0f 依题知 1 0f 由罗尔定理知 在 0 1 内至少存在一点 使得 0f 即方程 1 01 0 nn n fxa xa xa 至少有一个小于 1 的正根 证毕 5 证明方程 3 10 xx 在开区间 0 1 内只有一个实根 证 令 3 1f xxx 显然 f x在 0 1 上连续 且 0 10 1 10 ff 由零点定理知 在 0 1 内至少存在一点 使得 0f 即方程 3 10f xxx 至少有一个小于1的正根 又设 1 2 12 均为方程 3 10f xxx 在开区间 0 1 内的正根 即 12 0 ff 由罗尔定理知 在 12 0 1 内至少存在一实根 使得 0f 即 2 310 而这是不可能的 因此方程 3 10 xx 在开区间 0 1 内有 且只有一个实根 6 若函数 f x在 a b上连续 在 a b内可导 在 a b内至少存在一点 使得 ff a fab b 3 2 2 12 arctanarccos 1 241 x xx x 证 1 令 1 arctanarctan f xx x 易知当0 x 时 22 2 111 0 1 1 1 fx xx x 因此当0 x 时 f x 某常数 又 1 arctan1arctan1 2 f 故 1 arctanarctan 0 2 f xxx x 2 令 2 12 arctanarccos 21 x g xx x 易知当1x 时 2 22 222 2 2 1112 1 2211 0 21 1 112 1 1 xxx g x xxxxx x 因此当1x 时 g x 某常数 又 1 1 arctan1arccos1 24 g 故 2 12 arctanarccos 1 241 x g xxx x 8 若函数 f x在 a b内具有二阶导数 且 123 f xf xf x 其中 123 axxxb 时 ln abaab abb 时 ee x x 3 arctanarctan abab 证 1 令 ln f xx 当0ab 时 对 f x在区间 b a上应用一次拉格朗 4 日中值定理 可得 1 lnlnln a ababb a b 因为 111 ab 时 对 g x在区间 1 x上应用一次拉格朗日中值定理 可得 eee 1 1 x x 故 eee 1 ee 1 e x xxx 3 令 arctan h xx 任意给定两个常数 a b 对 h x在 a b两点构成的区间 上应用一次拉格朗日中值定理 可知存在介于 a b之间的点 使得 2 1 arctanarctan 1 abab 故 2 1 arctanarctan 1 ababab 10 设函数 f x在 0 a b a 上连续 在 a b内可导 n是自然数 那么至少 有一点 a b 使得 1 nnn nf bf abaf 证 令 n F xx 则 f xF x在 a b上 连 续 在 a b内 可 导 且 1 0 n F xnxxa b 由柯西中值定理可知 在 a b内至少存在一点 使得 1 nnn f bf af bf af F bF aban 故命题成立 11 证明广义罗尔定理 设 f x在 a b上连续 在 a b内n阶可导 f x在 a b内有1n 个零点 则 n fx在 a b内至少有一个零点 证 由罗尔定理可知 函数 f x在