第03章 习题 中值定理与导数的应用.pdf

四川大学大学数学习题册 1 第三第三章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 3 1 微分中值定理微分中值定理 一 证明 1111 11 22 1 ln nnnn aaaa nan 其中1 1 an 二 对 3 xxf 在 2 3 上求出满足拉格朗日中值定理的 三 设 xf在 2 0 上 可 导 试 证 在 2 0 内 至 少 存 在 一 点 使 得 sin22 cos20 ff 提示 令 sin2F xf xx 四 xf可导 且xxfxf2 4 1 证明方程 2 xxf 在 1 2 内有且仅有 一根 五 xf为可导函数 0 1 2 ffxf x 求证 x exf 2 提示 考虑等式 2 fx f x 六 xf为二阶可导函数 0 2 bfxfaxxF求证 存在 ba 使 0F 3 2 洛必达法则洛必达法则 一 求下列各极限 1 0 ln 1 lim 1 1 x x xx ex 2 2 1 2 0 lim x x x e 3 1 11 lim ln1 1 2 x xx 四川大学大学数学习题册 2 4 1 ln limarctan 1 2 x x e x 5 1 0 1 2 1 1 lim x x x x e e 6 1 12 12 0 lim xxx x n n x n aaa n a aa 1 0 niai 二 01 0 1 x x x e xf x 求 0 0 ff 11 0 0 23 ff 三 已知b x axx x cos 1 2ln lim 1 求常数ba 2 2 ab 四 求ba 使0 x时 3 sin2f xxaxbx 为尽可能高阶无穷小 并求它的阶 4 2 5 3 abn 3 3 泰勒公式泰勒公式 一 arctanf xxx 在1 0 x处展开为二阶Taylor公式 23 3 118 arctan 1 1 1 44 xxxxx 二 255 234 xxxxxf展开为1 x的多项式 234 44 1 1 1 f xxxx 三 求0 x时 无穷小量xxxexsin1 的阶 2 阶 四 求 2 4 0 sin2cos2 lim x xx x 1 12 五 2 1 0 x 证明 62 1 32 xx xex 的绝对误差不超过 0 01 并求e的误差不超过 0 01 的近似值 四川大学大学数学习题册 3 3 4 3 7 1 函数的单调性函数的单调性 极值和最值极值和最值 一 求函数的极值点和单调区间 1 23 1 3 f xxx 99 3 3 77 单增区间单减区间 9 3 7 xx 极大值点 极小值点 2 4 1 23 xxxf 22 0 0 55 单增区间单减区间 2 0 5 xx 极大值点 极小值点 二 证明不等式 1 x e x x 2 1 1 10 x 2 2 1cossinxxxx 0 x 3 xf在 0 c有严格单调递减的导函数 0 0fxf 则cbaba 0 有 bfafbaf 三 讨论方程 0 ln aaxx有几个实根 111 0aaxea eee 时 没有实根时 有一个实根时 有两个实根 四 0 x时方程 1 1 2 x ax有且仅有一个根 求a的取值范围 2 0 3 3 aa 或 五 求 4 1 x x y在 4 0 上的最大值 最小值 最大值 3 8 最小值 1 4 六 1 10 px 证明 1 1 21 ppp xx 3 4 3 7 2 曲线的凹凸性曲线的凹凸性 函数图形的描绘函数图形的描绘 曲率曲率 一 确定下列函数曲线的凹凸区间和拐点 四川大学大学数学习题册 4 1 2 1 1 x y 1111 3333 凹区间凸区间 13 43 拐点 2 x xey 2 2 凹区间凸区间 2 2 2 e 拐点 3 2 2 3tty tx t为参数 决定函数 xyy 00tt 时曲线为凹的 时曲线为凸的 曲线无拐点 二 求下列函数曲线的渐近线 1 1 1 x e y x 01 1xxy 铅直渐近线 和水平渐近线 2 2