高等数学学习方法(FIC)系列讲座3导数应用.pdf

哈尔滨工程大学理学院 卜长江 高等数学学习方法高等数学学习方法 FIC 系列讲座系列讲座3 导数应用 导数应用 思想和方法是学习中最有价值的部分思想和方法是学习中最有价值的部分 卜长江卜长江 Email buchangjiang Tel 82519384 O 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 2008 11 18 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 中值定理中值定理 1 罗尔中值定理 若1 罗尔中值定理 若 f x在在 a b上连续 在上连续 在 a b内可导 内可导 且且 f af b 则至少存在一点 则至少存在一点 a b 使得 使得 0 f 2 拉格朗日中值定理 若 2 拉格朗日中值定理 若 f x在在 a b上连续 在上连续 在 a b内可导 则至少存在一点 内可导 则至少存在一点 a b 使得 使得 f bf a f ba 推论 如果在区间 推论 如果在区间I上上 0fx 则在区间 则在区间I上上 f xc 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 3 柯西中值定理 若3 柯西中值定理 若 f xg x在在 a b上连续 在上连续 在 a b内可内可导导 且且 0g x 则 至 少 存 在 一 点 则 至 少 存 在 一 点 a b 使 使 得得 f bf af g bg ag 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 4 泰勒中值定理 若4 泰勒中值定理 若 f x在在 0 x点某邻域内有点某邻域内有1n 阶导数 则阶导数 则对对 此邻域内的此邻域内的x至少存在一点至少存在一点 介于介于x和和 0 x之间 使得 之间 使得 2 00000 11 1 2 f xf xfxxxfxxx 00 1 nn n fxxxRx n 其中 其中 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 称为拉格朗日型余项 称为拉格朗日型余项 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 另外若另外若 f x在在 0 x点某邻域内有点某邻域内有n阶导数 则 阶导数 则 2 00000 11 1 2 f xf xfxxxfxxx 000 1 nnn fxxxo xx n 上式称为皮阿诺型余项的泰勒中值定理 其中 上式称为皮阿诺型余项的泰勒中值定理 其中 0 n o xx 称为 皮阿诺型余项 称为 皮阿诺型余项 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 注 注 1 罗尔中值定理主要说明是导函数方程1 罗尔中值定理主要说明是导函数方程 0fx 有根有根 的问 题 2 四个中值定理的核心是罗尔中值定理 其它中值定理是罗尔中 值定理的推论 即要证 的问 题 2 四个中值定理的核心是罗尔中值定理 其它中值定理是罗尔中 值定理的推论 即要证 0fx 有根有根 只要找到 只要找到 f x f x在在 a b上连续 在 上连续 在 a b内可导 则内可导 则 0fx 在在 a b内有根内有根 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 方程根的问题 方程根的问题 1 2 方法 连续函数零点定理 存在性 方法 罗尔定理 原函数法 个数 图像法 单调性 极值 最值等 方法 连续函数零点定理 存在性 方法 罗尔定理 原函数法 个数 图像法 单调性 极值 最值等 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 设例 设 f x在在 0 1 上 连 续上 连 续 在在 a b内内 可可 导导 0 1 0ff 证明在 证明在 0 1 内至少存在一点内至少存在一点 使使 ff 分析 要证存在一点分析 要证存在一点 使使 ff 即要证方 即要证方程程 fxf x 有 根有 根 要 找 要 找 F x 使 使 得得 0F ff 1 ln 1 fx fxf xf x f x 1 1 ln 0ln Cx f xxf xxCf x ee 证明证明 设设 x F xf x e 0 1 0FF 由罗尔定 由罗尔定理理 0 1 使得 使得 0F 即 即 ff 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例设例设 f x在在 0 1 上连续上连续 在在 a b内可 导 内可 导 0 1 0ff 证明在证明在 0 1 内至少 存在一点 内至少 存在一点 使使 2 ff 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 拉格朗日中值定理 若例 拉格朗日中值定理 若 f x在在 a b上连续 在上连续 在 a b内可导 则至 少 存 在 一 点 内可导 则至 少 存 在 一 点 a b 使 得 使 得 f bf a f ba 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 柯西中值定理 若例 柯西中值定理 若 f xg x在在 a b上上连连 续 在续 在 a b内可导且内可导且 0g x 则至少存在一 点 则至少存在一 点 a b 使得 使得 f bf af g bg ag 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例若例若 f x在在 a b上连续 在上连续 在 a b内可导 则内可导 则 a b 使使 ff b f a 例 设 例 设 f x在在 上有四阶导数 上有四阶导数 0 0f 且 且 4 fxM 证明 证明 0 xx 有 有 2 2 0 12 f xfxM fx x 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例若例若 f x在在 0 1 上连续 在上连续 在 0 1 内可导 内可导 0 0 1 1ff 证明 1 证明 1 0 1 使使 1f 2 2 0 1 使 使 21ff 例方程 例方程 123 123 111 0 aaa xaxaxa 有几个不等实根 看每项极限 导数定义 洛 看每项极限 导数定义 洛比比 达法则 达法则 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例题 1 例题 1 2 2 0 1 lim cot x x x 解 原式 解 原式 22 2222 00 1tan lim lim tantan xx xx xxxx 1 1 4 0 tan tan lim x xxxx x 3 00 tantan limlim xx xxxx xx 22 22 00 sec1tan2 2lim2lim 333 xx xx xx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 2 2 lim 1 0 n nn 解 原式 解 原式 1 lim 1 lim 1 1 xx xxx x 1 0 01 lim1 1 1 x x 因为 因为 11 1 1 x xx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 函数性态的判别函数性态的判别 不等式的证明不等式的证明 1 若在区间1 若在区间I上上 0 0 fx 等号仅在有限个点上成立 则 等号仅在有限个点上成立 则在在 区间区间I上上 f x单调增加 单调减少 2 若 单调增加 单调减少 2 若 f xg x在 区 间在 区 间 a b上 连 续 在上 连 续 在 a b内 可 导内 可 导 且且 fxg x f ag a 则在 则在 a b内内 f xg x 3 设 3 设 f x在在 0 x点连续 且点连续 且 0 0fx 或或 0 fx 不存在 如不存在 如果果 fx 在在 0 x点左右为正负 负正 则点左右为正负 负正 则 0 f x为极大值 极小值 如 果 为极大值 极小值 如 果 fx 在在 0 x点左右不变号 则点左右不变号 则 0 f x不是极值 不是极值 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 4 设 4 设 0 0fx 且且 0 fx 存 在 如 果存 在 如 果 0 0 0 fx 则 则 0 f x为极大值 极小值 5 闭区间连续函数的最大值 最小值 设 为极大值 极小值 5 闭区间连续函数的最大值 最小值 设 f x在在 a b上上连连 续 续 12 n x xx 为为 f x的驻点或不可导点 则 最大值 的驻点或不可导点 则 最大值 12 max n Mf af bf xf xf x 最小值 最小值 12 min n mf af bf xf xf x 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 6 设6 设 f x在区间在区间I上连续 且仅有一个极值上连续 且仅有一个极值 0 f x 如果 如果 0 f x是是 极大 小 值 则极大 小 值 则 0 f x就是最大 小 值 7 若在区间 就是最大 小 值 7 若在区间I上上 0 0 fx 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 所以所以 F x 所以 所以1 1 0 xF xF 故 故 0 fxf x 所以 所以1 1 0 xf xf 即有 即有 1 212 nn nn 为自然数 为自然数 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 例 设例 设0ab 证明不等式 证明不等式 22 2lnln1aba abbaab 因为 因为 111 22 a x xaxxx 2 0 2 xa x ax 时时 x 单调减少 又单调减少 又 0a 所以 当 所以 当xa 时时 0 xa 即 即lnln xa xa ax 时 时 哈尔滨工程大学理学院 卜长江 2008 期中考试 试证当期中考试 试证当0 x 时时 22 1 ln 1 xxx 证明 设证明 设 1 ln1f xxxx 11 ln1ln x fxxx xx 22 111 x fx xxx 当 当 01x 时 时 0 fxfx 时 时 0 fxfx 单调增 根据极值的一阶导数判别法知 单调增 根据极值的一阶导数判别法知 fx 在在1x 处取得极小值 且极小值为处取得极小值 且极小值为 1 1 f 又由于 又由于1x 是是区区 间间 0 内唯一的驻点 所以内唯一的驻点 所以 1 1 f 也是也是 fx 在在 0 内的 最小值 即有 内的 最小值 即有 1 0fxf 于是 于是 f x在在 0 内单调增加 而 内单调增加 而 1 0f 所以当 所以当01x 时 时 0f x 时 时 0f x 故 故0