论文定稿(最后).doc

论文定稿(最后) 本科毕业论文学院数学与计算机科学专业数学与应用数学届别xx届题目函数一致连续性的判定与应用学生姓名朱晓龙学号xx0740420指导教师杜晓朴教务处制云南民族大学毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明所呈交的毕业论文（设计），是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。 除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。 本声明的法律结果由本人承担。 毕业论文（设计）作者签名日期年月日关于毕业论文（设计）使用授权的说明本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，即学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文（设计）。 关键字函数，连续，一致连续函数Decisions of uniformly continuous function andapplication ZHUXiao Long（School ofMathematics,Yunnan Universityof Nationalities,Kunming650500Yunnan）Abstract:From theconcept andthe relationof continuityand uniformly continuity ofthe function,we researchthe methodsof decisionsofuniformlycontinuousfunctionin differentkinds ofintervals.Moreover,we extendsome ofthe resultsto functionwith manyvariables indifferent region.Key words:function;continuity;uniformlycontinuity1引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。 函数()f x在某区间内连续，是指函数()f x在该区间内每一点都连续，它反映函数()f x在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()f x的变化趋势及性质。 因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。 2函数的连续与一致连续的关系2.1函数连续、一致连续及非一致连续的概念2.1.1定义定义1函数()f x在某?0x?内有定义，则函数()f x在点0x连续是指，0?，0?，使得当0x x?时，有0()()f x f x?。 定义2设函数()f x在区间I上有定义，若对0?，()0?，,x x I?，只要x x?，就有()()f x f x?，则称函数()f x在区间I上一致连续。 定义3设函数()f x在区间I上有定义，若00?，使0?，总,x xI?，虽然有x x?，但是0()()f x f x?，则称函数()f x在区间I上非一致连续。 2.2函数连续性与一致连续性的关系函数()f x在区间I上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系。 函数()f x在区间I上一致连续性一定连续，反之，函数()f x在区间I上连续则不一定一致连续性，具体有如下结论 （1）函数()f x在区间I上一致连续，则()f x在I上连续。 例1证明函数1yx?在(0,1)内每一点都连续，但在(0,1)内不一致连续。 证明:先证连续?0x?(0,1)，有0()limxf xx?=01x=0f()x得征函数1yx?在(0,1)内每一点都连续；再征函数1yx?在(0,1)内不一致连续取01?，对0?（?充分小且不妨设12?），取,2x x?，则虽然有2x x?，但1111x x?。 所以函数1yx?在(0,1)内不一致连续。 （2）在闭区间?,a b上连续的函数()f x在?,a b上一致连续。 总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性。 函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质3.函数一致连续性的判定与性质3.1函数一致连续性的充分条件（判定）定理1（Contor定理）若函数()f x在?,a b上连续，则()f x在?,a b上一致连续4。 分析用闭区间套定理来证明。 由函数一致连续的实质知，要证()f x在?,a b上一致连续，即是要证对0?，可以分区间?,a b成有限多个小区间，使得()f x在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于?。 证明若上述事实不成立，则至少存在一个00?，使得区间?,a b不能按上述要求分成有限多个小区间。 将?,a b二等分为?0,a c、?0,c b则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为?11,a b；再将?11,a b二等分为?11,a c、?11,c b依同样的方法取定其一，记为?22,a b；.如此继续下去，就得到一个闭区间套?,n na b，n=1，2，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足lim limn nx xc a b?且属于所有这些闭区间，所以?,ca b?，从而()f x在点x c?连续，于是0?，当x c?(,)x a b?时,就有0()()2f x f c?。 于是我们可取充分大的k，使,k kac bc?,从而对于?,k ka b上任意点x，都有x c?。 因此，对于?,k ka b上的任意两点,x x?，000()()()()()()22f x f x f x f cf cf x?。 这表明?,k ka b能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间?,k ka b的取法矛盾，从而得证。 注定理1对开区间不成立。 例如函数1()f xx?在?0,1内每一个点都连续，但在该区间并不一致连续。 定理2()f x在?,?内一致连续的充分条件是()f x在?,?内连续，且lim()lim()x xf x f x?和都存在。 证明 （1）先证()f x在?,a?上一致连续。 令lim()xf xA?，由柯西收敛准则有对0,0M?使对,x x M?，有()()f x f x?。 现将?,a?分为两个重叠区间?,1a M?和?,M?，因为()f x在?,1a M?上一致连续，从而对上述10,0?，使?,1x xa M?，且1x x?时，有()()f x f x?。 对上述0?，取?1min,1?，则?,x xa?，且x x?，都有()()f x f x?。 所以函数()f x在?,a?内一致连续。 （2）同理可证函数()f x在?,a?内一致连续。 由 （1）、 （2）可得()f x在?,?内一致连续。 注若将?,a?分为?,a M和?,M?，则当x?与x?分别在两个区间时，即使有x x?，却不能马上得出()()f xf x?的结论。 由定理2还容易得出以下推论推论1函数()f x在?,a?内一致连续的充分条件是()f x在?,a?内连续，且lim()xf x?存在。 推论2函数()f x在?,a?内一致连续的充分条件是()f x在?,a?内连续，且lim()x af x?与lim()xf x?都存在。 推论3函数()f x在?,b?内一致连续的充分条件是()f x在?,b?内连续，且lim()xf x?存在。 推论4函数()f x在?,b?内一致连续的充分条件是()f x在?,b?内连续，且lim()x bf x?与lim()xf x?都存在。 例1判定下列函数在指定区间上是否一致连续。 （1）?2(),0,1f x x x?； （2）?21(),0,1f x xx x?； （3）sin(),0,2xf x xx?。 解 （1）易见2()f x x?在?0,1内连续，且2201lim0,lim1x xx x?，即0lim()xf x?与1lim()xf x?都存在，从而()f x在?0,1内一致连续。 （2）易见21()1f xx x?在?0,?内连续，且xxlim()lim11x xf xx x?，21lim()lim01x xf xx x?，因此()f x在?0,?内一致连续。 （3）易证sin()xf xx?在0,2?内连续，且00sinlim()lim1x xxf xx?，22sin2lim()limx xxf xx?，所以()f x在0,2?内一致连续。 定理3连续函数()f x在区间?,a b内非一致连续的充分条件是 (0)f a?和 (0)f b?至少有一个不存在。 定理4连续函数()f x在区间I非一致连续的充分条件是在区间上存在两个数列?nx，?ny，使得?lim0n nnx y?，但?lim()()0n nnf xf y?。 例证明函数()xf xe?在R上非一致连续。 证明法一012?，对?10ln1,ln1n x n x ne?，取，虽然有?1ln1ln ln1ln x xn n en?，但是?01()()112f xf xn n?。 所以()xf xe?在R上非一致连续。 现在利用判别法4证明该例题。 法二取?ln1,lnn nxn y n?，则?1lim limln1ln limln10n nn n nx yn nn?，但是?ln1lnlim()()lim lim110n nn nnn nf xfye enn?。 所以由判别法4知()xf xe?在R上非一致连续。 注利用这两个判别法证明函数()f x在区间上非一致连续的优点是易见的它不用直接确定00?找,x xI?满足0()()f xf x?，而只须观察 (0)f a?和 (0)f b?的存在性或找出两个数列?nx和?ny满足判别条件即可。 定理5若函数()f x在区间I上满足利普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数0L?，使得对,x xI?都有()()f xf xL x x?成立，则()f x在区间I上一致连续。 证明因为函数()f x在区间I上满足Lipschitz条件，即,x xI?，有()()f xf xL x x?，于是对0?，取0L?，,x xI?，只要x x?，就有()()f xf xL x x?。 故函数()f x在区间I上一致连续。 例1证明函数()cos f x x?在?0,?上一致连续。 证明由于对0,2L?，使得?,0,x x?，都有cos cos2x x x x x x?，（3-16）即()cos f x x?在?0,?上满足Lipschitz条件。 所以函数()cos f x x?在?0,?上一致连续。 定理5仅仅是函数()f x在区间I上一致连续的充分非必要条件，如下例例2证明3()f x x?在?0,1上一致连续但不满足Lipschitz条件。 证明3()f x x?在?0,1上连续，由Contor定理()f x在?0,1上一致连续。 取?3311,1,2,8n nx x nnn?显然?,0,1n nx x?，且有378n nx xn?，1()()2n nf xf xn?，?2()()47nnn nf xf xn nx x?，。 从而，对任意充分大的正整数0M?，总存在0n N?使得0000()()nnn nf xf xMx x?，即0000()()nnnnf xf xMx x?。 故3()f xx?在?0,1上一致连续，但()f x在?0,1上不满足Lipschitz条件。 由著名的利普希茨（Lipschitz）条件得到启发，还可得推论设存在0L?，使对任意,xxI?，都有()()()()f xf xL g x g x?成立，且()g x在区间I上一致连续，则()f x在区间I上一致连续。 证明由()gx在区间I上一致连续，则0,0,xxI xx?只要，就有()()gx g xL?，于是，对上述0?，0?，,xxI?，只要xx?，就有()()()()f xf xL gxgx LL?。 故()f x在区间I上一致连续。 3.2函数一致连续性的必要条件（性质）定理1函数()f x在区间I上一致连续，则()f x在I上连续。 定理2若函数()f x在有限区间I上一致连续，则()f x在I上有界。 定理3（牛顿-莱布尼茨公式）若函数()f x在,a b上连续，且存在原函数()F x，即()=f()F xx、，x?,a b，则()f x在,a b上可积，且()()()baf xdx Fb Fa?。 定理3若函数()f x在,a b上可积，()F x在,a b上连续，且出有限个点外有()=f()F xx、，则有()()()baf xdx Fb Fa?。 3.3函数一致连续性的充要条件定理1函数()f x在?,a b内一致连续?()f x在?,a b连续，且lim()x af x?与lim()x bf x?都存在。 证明?若()f x在?,a b内一致连续，则对?120,0,xxa b?，当12xx?时，有12()()f xf x?，于是当12,(,)xxa a?时，有12()()f xf x?。 根据柯西收敛准则，极限lim()x af x?存在，同理可证极限lim()x bf x?也存在，从而()f x在?,a b连续，lim()x af x?与lim()x bf x?都存在。 ?若()f x在?,a b连续，且lim()x af x?和lim()x bf x?都存在，则令? (0),()(), (0),f ax aF xf xxa bfb xb?于是有()F x在闭区间?,a b上连续，由Contor定理，()Fx在?,a b上一致连续，从而()f x在?,ab内一致连续。 根据定理2容易得以下推论推论1函数()f x在?,ab内一致连续?()f x在?,ab连续且lim()x af x?存在。 推论2函数()f x在?,ab内一致连续?()f x在?,ab连续且lim()x bf x?存在。 注当?,ab是无限区间时，条件是充分不必要的。 例如()fxx?，()sin gxx?在?,?上一致连续，但是lim()xf x?，lim()xg x?不存在。 定理2设()fx是定义在?,?上的以?20T T?为周期的周期函数，则()fx在?,?上一致连续的充要条件是()fx在?,?上连续6。 证明?必要性易证，下证充分性。 ?因为()fx在?,?上连续，所以()fx在?0,2T上也连续，从而一致连续。 因此，对?0,0T?，使得对?,0,2xxT?，且xx?，有()()fxfx?。 ?12,xx?，且12xx?，不妨假设12xx?且?1,1x nTn T?，即1,0x nT T?。 （1）若?2,1x nTn T?，则2,0x nT T?，此时12xx?，故12()()()fxfxf f?（。 （2）若?2,2x nTn T?，则?21,0xnTT?，此时?12xxT?且?,0,2TT?，故12()()()fxfxf fT?（。 综上所述，函数()fx在?,?上一致连续。 注运用定理2，易得三角函数sin x等周期函数在?,?上一致连续，较之用函数一致连续的定义来证明简单。 定理3函数()fx在区间I上一致连续?,(1,2,.)n nxy In?，只?lim0n nnxy?，就有?lim()()0n nnfxfy?。 证明?由()fx在I上一致连续知，0?，0?，使得,xxI?，只要xx?，就有()()fxfx?。 又,n nxy I?，?lim0n nnxy?知，对上述0?存在*N N?，,n N?有n nxy?，从而对n N?有()()nnfxfy?，即?lim()()0n nnfxfy?。 ?若不然，则必存在00,n nxxI?，虽然1nnxxn?，但是0()()nnfxfx?。 显然?lim0n nnxx?，但是?lim()()0n nnfxfx?。 推出矛盾，故()fx在I一致连续。 注此定理主要用来判定函数非一致连续。 4函数一致连续性的应用若函数()fx在区间I上可导，其导函数在区间I上的性质与函数f(x)在I上的一致连续性有密切的关系。 4.1若()fx在?,a?上可导，lim()Axf x?，则当且仅当A 注意 （1）该命题结论仅适用于无穷区间的无穷远处的情形，而对于有限区间的有限点处不一定成立； （2）若A=?，则在?,ab上非一致连续。 这为证明无穷远处的非一致连续性提供了一个有用的思想； （3）若A不是有限值，也不是无穷大量，即A不存在，则不能说明()fx在?,a?上的一致连续性。 4.2若函数()fx在区间A上的导函数有界，则()fx在I上一致连续，反之则不成立。 4.3若函数()fx在区间I上满足莱普栖茨条件，即对?,xy?I，有()(y)K fxfxy?，（K0）则()fx在区间I上一致连续。 4.4幂函数y=ax，在定义域的有限区间（开或闭）上一致连续，在无限区间上（以（0，?）为例）有如下结论4.4.1y=ax在（0，?）上非一致连续（破坏点为0），a1。 若()fx在区间I上满足莱普栖茨条件，则复合函数()af x,a?R的一致连续性与ax在相应区间上的一致连续性保持一致。 注意这里所说的