16.5(3)二项式系数性质.ppt

二项式系数的性质 二项式系数的性质 a b 1 a b 3 a b 4 a b 5 a b 2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 a b 6 九章算术 杨辉 这样的二项式系数表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 在这本书里 记载着类似下面的表 杨辉三角 详解九章算法 中记载的表 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 性质1 对称性 性质2 增减性与最大值 先增后减 最中间的二项式系数最大 二项式系数的性质 性质3 表中 1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和 二项式系数的性质 1 在 a b 20展开式中 与第五项的系数相同的项是项 2 在 a b 11展开式中 二项式系数最大的项是项 17 变1 在 a b 11展开式中 系数最大的项是项 变2 在 a b 11展开式中 二项式系数最大的项是项 变3 在 a b 11展开式中 系数最大的项是项 6 7 6 7 6 7 7 变4 在 a b 11展开式中 系数最小的项是项 6 二项展开式的系数问题 1 要注意系数与二项式系数的区别 3 最大系数问题先观察能否转化成问题2 若不能则解不等式组 2 二项式系数最大项必在中间项 一项或两项 解 依题意 n为偶数 且 例2已知展开式中只有第10项系数最大 求第五项 例题选讲 性质4 各二项式系数的和 也就是说 a b n的展开式中的各个二项式系数的和为2n 2n 赋值法 令a b 1 赋值法是解决有关二项展开式系数和问题的重要手段 思考 从二项式的角度来看 上式实质上在求什么 二项式系数的性质 二项式系数的性质 例1证明 在 a b n展开式中 奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和 已知 2x 1 10 a0 x10 a1x9 a2x8 a9x a10 1 求a0 a1 a2 a9 a10的值 2 求a0 a2 a4 a10的值 性质4的推论 已知 2x 1 10 a0 x10 a1x9 a2x8 a9x a10 1 求a0 a1 a2 a9 a10的值 2 求a0 a2 a4 a10的值 变式 已知 2x 1 10 a0 3x 10 a1 3x 9 a2 3x 8 a9 3x a10 1 求a0 a1 a2 a9 a10的值 2 求a0 a2 a4 a10的值 求一系列组合数的和 1 组合数的下标不变 上标为连续自然数 或为连续奇数或偶数 系数也相等 二项式系数和法 用组合数性质 1 C31 C42 C53 C64 C4139 2 组合数的下标等差 上标等差或不变 各项系数相等 3 组合数的下标不变 上标等差 系数成等比数列 答案 63 二项式定理的逆用 赋值法 求一系列组合数的和 4 组合数的下标不变 上标等差 系数成等差数列 用倒序相加法 一系列组合数的等式的证明和求值 1 组合数的下标不变 有成等比数列的系数 二项式定理的逆用 赋值法 2 组合数的下标不变 有成等差数列的系数 用倒序相加法 3 组合数的下标等差 上标等差或不变 各项系数为1 例 求值C31 C42 C53 C64 C4139 用组合数性质 二项式系数的性质 1 对称性 2 增减性与最大值 3 各二项式系数和 与首末两端 等距离 的 两个二项式系数相等 a b n的展开式中的各个二项式系数的和为2n 先增后减 最中间的 二项式系数最大 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和 它们都等于2n 1 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数 它有三条性质 要理解和掌握好 同时要注意 系数 与 二项式系数 的