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1 7 5弦截法与抛物线法 当函数比较复杂时 计算往往较困难 2 7 5 1弦截法 5 1 由于 因此有 5 2 3 5 2 可以看作将牛顿公式 中的导数用差商取代的结果 接着讨论几何意义 曲线上横坐标为的点分别记为 则弦线的斜率等于差商值 4 按 5 2 式求得的实际上是弦线与轴交点的横坐标 表7 5 这种算法因此而称为弦截法 其方程为 5 而弦截法 5 2 在求时要用到前面两步的结果 弦截法与切线法 牛顿法 都是线性化方法 但两者有本质的区别 切线法在计算时只用到前一步的值 因此使用这种方法必须先给出两个开始值 例10 解 用弦截法解方程 用弦截法求得的结果见表7 8 6 实际上 弦截法具有超线性的收敛性 比较例7牛顿法的计算结果可以看出 弦截法的收敛速度也是相当快的 定理6 这里是方程的正根 7 7 5 2抛物线法 设已知方程的三个近似根 几何上 这种方法的基本思想是用抛物线与轴的交点作为所求根的近似位置 图7 6 图7 6 这样确定的迭代过程称为抛物线法 也称密勒 M ller 法 8 插值多项式 有两个零点 5 3 式中 问题是该如何确定 假定在三个近似根中 更接近所求的根 9 为了保证精度 选 5 3 中较接近的一个值作为新的近似根 为此 只要取根式前的符号与的符号相同 例11 用抛物线法求解方程 解 设用表7 8的前三个值 作为开始值 计算得 10 故 代入 5 3 式求得 以上计算表明 抛物线法比弦截法收敛得更快 在一定条件下可以证明 对于抛物线法 迭代误差有下列渐近关系式 11 可见抛物线法也是超线性收敛的 其收敛的阶 从 5 3 看到 即使均为实数 也可以是复数
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