2009年高考数学试卷中的问题解决型应用题问题.pdf

2 0 1 0 年第4 9 卷第4 期数学通报 5 3 2 0 0 9 年高考数学试卷中的 问题解决型应用题问题 李光辉 天津师范大学数学科学学院3 0 0 3 8 7 近几年 在新课改理念的指导下 我国数学教 育改革以 数学素质教育 为目标 不断深入 反映 到高考中 就是更加注重数学知识的应用 问题解 决型的数学应用题逐步增多 纵观今年全国各地 的数学试卷 发现其中有许多问题解决型应用题 然而 考生在这一块的得分率却不高 这说明问题 解决型的问题还是值得我们探讨的 下面我想结 合今年各地高考试卷中的问题解决型应用题用数 学建模的方法来探讨 1 问题解决型 应用题的解答思路 解这类应用题 首先要在阅读材料 理解题意 的基础上 应用化归原则 把实际问题抽象成数学 问题 就是从实际出发 经过去粗取精 抽象概括 利用学过的数学知识建立相应的数学模型 一般 地说 数学模型可以描述为 对于现实世界的一个 特定对象 为了一个特定的目的 根据特有的内在 规律 做出一些必要的假设 运用适当的数学工 具 得到的一个数学结果 再利用数学知识对数 学模型进行分析 研究 得到数学结论后返回到实 际问题中去验证 思路如下图 实际问题 转化为数学问题 数学问题 问题解决 数学解答 实际问题的结论 回到实际问题 解答 2 解 问题解决型 应用题的一般步骤 2 1 解 问题解决型 应用题的一般步骤 解答这类问题 我们可以类比波利亚的问题 解决策略3 分为四个步骤 我们把这四个阶段简 单概括为 弄清问题 建立模型 求解模型和还原 结论 1 弄清问题 阅读理解文字表达的题意 分 清条件和结论 理顺数量关系 这一关是基础 2 建立模型 根据建立数学模型的目的和问 题的背景作出必要的简化假设 用字母表示待求 的未知量 将文字语言转化为数学语言 利用数学 知识 建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型 正确进行建 模 是关键的一关 3 求解模型 求解数学模型 得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义 更要 注意巧思妙作 优化过程 4 还原结论 将数学结论还原成实际问题的 结果 并用实际现象来验证结果 2 2 高考中常见应用问题与数学模型 高考中的应用型问题通常有以下几种 1 t 化问题 实际问题中的 优选 控制 等问题 常需通过建立 不等式模型 和 线性规 划 问题解决 如2 0 0 9 年四川卷 理 第1 0 题 某企业生产 甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用A 原 料3 吨 B 原料2 吨 生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨 B 原料3 吨 销售每吨甲产品可获得利润5 万元 每吨乙产品可获得利润3 万元 该企业在一 个生产周期内消耗A 原料不超过1 3 吨 B 原料 不超过1 8 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 1 2 万元B 2 0 万元 C 2 5 万元D 2 7 万元 第一步 弄清问题 阅读题目 理解文字表达 的题意 分清条件和结论 理顺数量关系 万方数据 5 4 数学通报2 0 1 0 年第4 9 卷第4 期 这道题是让我们求企业的最大利润 由已知 条件我们可以列成下表 衰1 原料 利润 万 原料A原料B 产品 元 每吨 3 吨 2 吨 甲5 每吨每吨 1 吨 3 吨 乙 3 每吨每吨 第二步 建立数学模型 将上面的已知条件转 化成数学语言 利用学过的知识 建立数学模型 这道题我们可以用学过的线性规划来解 解析 设甲 乙种两种产品各需生产z Y 吨 可使利润z 最大 利用 一个周期内消耗A 原 料不超过1 3 吨 可以得到约束条件3 z y 1 3 利用已知条件 一个周期内消耗B 原料不超过1 8 吨 可以得到约束条件2 z 3 y 1 8 又因为甲乙 两种都是产品 要么生产 要么不生产 所以它们 都应该是非负数 由此得到约束条件z 0 和y 0 而我们的目标是要利润最大 所以我们的目标 函数应该是z 5 z 3 所建立的规划模型如下 f 3 z j 1 3 2 z 3 y 1 8 弋 I z o y O 目标函数M a x z 5 x 3 y 第三步 求解模型 根据我们学过的线性规划 的知识 画出图像 k Y 心 爪j 0 j 一 w I 第四步 还原结论 将数学结论还原成实际问 题的结果 由前面的解题过程 可得该企业可获得 最大利润是2 7 万元 故选择D 2 最 极 值问题 工农业生产 建设及实际 生活中的极限问题常设计成 函数模型 转化为 求函数的最值 如2 0 0 9 湖南卷 理 第1 9 题 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相 距m 米 余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面 和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为2 5 6 万 元 距离为z 米的相邻两墩之间的桥面工程费用 为 2 z z 万元 假设桥墩等距离分布 所有桥 墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费 用为Y 万元 I 试写出Y 关于z 的函数关系式 当m 6 4 0 米时 需新建多少个桥墩才 能使Y 最小 第一步 我们首先要读懂题目 分清已知条件 和要求的结论 已知 两墩相距m 米 一个桥墩的工程 费用为2 5 6 万元 距离为z 米的相邻两墩之间 的桥面工程费用为 2 石 z 万元 假设 桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为Y 万元 要求的结论 I 工程费用Y 与相邻两墩之 间距离z 的函数关系式 当m 6 4 0 米时 需 新建多少个桥墩才能使工程费用y 最t b 第二步 建立模型 I 根据已知条件 设需要新建竹个桥墩 l 1 z l 即行 丝一1 Z 所以y z 2 5 6 n 押 1 2 v f f x 2 5 6f 翌一11 丝 2 佃z Z Z 一盟堕 z4 互 2 m 2 5 6 第三步 模型求解 要求工程费用的最小值 可以考虑通过 导数来解 由 I 知 厂 z 一一擎 丢糠 虽 z 号一5 1 2 令 m 故 3 4 一 J l z y f lI 为解优 最 匣 出求町 值 大 卯 最 一 得 地 求 51 万方数据 2 0 1 0 年 第4 9 卷第4 期数学通报 5 5 z o 得z 号 5 1 2 所以z 6 4 当o z 6 4 时厂 z d O 厂 z 在区间 o 6 4 内为减函数 当6 4 z 0 z 在区间 6 4 6 4 0 内为增函数 所以厂 z 在x 6 4 处取得最小值 此时 竹 丝一1 6 4 2 1 9 z 一 6 4 第四步 还原结论 根据以上求解过程 得到 需新建9 个桥墩才能使Y 最小 3 测量问题 可设计成 图形模型 利用几 何知识解决 如2 0 0 9 辽宁卷 文 第1 8 题 如图 A B C D 都在同一个与水平面垂直 的平面内 B D 为两岛上的两座灯塔的塔顶 测 量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为 7 5 3 0 于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均 为6 0 A C 0 1 k m 试探究图中B D 间距离与 另外哪两点距离相等 然后求B D 的距离 计算 结果精确到0 0 1 k m 2 1 4 1 4 6 2 4 4 9 曰 圈2 应用我们以上所说的四个步骤 弄清问题 建立模型 求解模型和还原结论 我们也可以很快 的解决这道应用题 第一步 弄清问题 已知 如图 B D 为两 岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面A 处测 得B 点和D 点的仰角分别为7 5 3 0 于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为6 0 A C 一 0 1 k m 求图中B D 间距离与另外哪两点距离相 等 然后求B D 的距离 第二步 建立模型 本题实际上已经转化成了 一个几何图形 要求与B D 间距离相等的线段 可以考虑找全等三角形或者用中垂线定理 要求 B D 距离 可以用解三角形来求 第三步 求解模型 过程如下 在A A C D 中 么D A C 一3 0 么A D C 6 0 一 么D A C 3 0 所以C D A C 0 1 又么B C D 1 8 0 6 0 一6 0 6 0 故C B 是 C A D 底边A D 的中垂线 所以 B D B A 在 A B C 中 A B A C 五逻丽一五乏葡苑 即A B 絮等 萼拦S l n l 0Z U 因此 B D 坞磐 o 3 3 k i n 第四步 还原结论 故B D 的距离约为 0 3 3 k m 3 小结 数学建模问题存在于我们生活中的许多方 面 应用数学方法解决实际中的应用问题是数学 新课标的重要目标之一 数学教师应该在教学中 渗透数学建模思想 不断的引导学生用数学的眼 光去观察 分析和表示各种事物关系和数学信息 从而激发学生学习数学的兴趣和养成学生应用数 学建模的方法去解决问题的习惯 参考文献 1 姜启源 数学模型 北京 高等教育出版社 1 9 9 3 2 波利亚 怎样解题 周育苏译 北京 科学出版社 1 9 8 2 3 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 北京 人民 教育出版社 2 0 0 4 4 郑毓信 数学方法论 南宁 广西教育出版社 2 0 0 3 5 张马彪 对数学实验的探讨 数学通报 2 0 0 2 7 4 6 6 厉小康 解应用问题的障碍分析及对策研究 数学通报 2 0 0 2 7 3 1 3 3 7 方俊 吴方 浅谈中学数学教学中 效学建模 思想的渗透 数 学教学研究 2 0 0 6 8 万方数据 2009年高考数学试卷中的问题解决型应用题问题2009年高考数学试卷中的问题解决型应用题问题 作者 李光辉 作者单位 天津师范大学数学科学学院 300387 刊名 数学通报 英文刊名 BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年 卷 期 2010 49 4 被引用次数 0次 参考文献 7条 参考文献 7条 1 姜启源 数学模型 1993 2 波利亚 周育苏 怎样解题