2011年高三数学一轮复习精品导学案：第一章集合与常用逻辑用语.pdf

2011 年高三数学一轮复习精品导学案 第一章集合与常用逻辑 用语 2011 年高三数学一轮复习精品导学案 第一章集合与常用逻辑 用语 1 3 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 1 3 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 高考目标定位 高考目标定位 一 考纲点击一 考纲点击 1 了解逻辑联结词 或 且 非 的含义 2 理解全称量词与存在量词的意义 3 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 二 热点 难点提示 二 热点 难点提示 1 本部分高考考查的主要内容是全称量词与存在量词 全称命题与特称命题 特别是 两种命题的否定命题的写法和判断 2 在高考试题中多以选择 填空题为主 一般不会出现解答题 考纲知识梳理 考纲知识梳理 1 命题的真假判断 1 命题的真假判断 非 p 形式复合命题的真假可以用下表表示 p p 真 假 假 真 p 且 q 形式复合命题的真假可以用下表表示 p q p q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 p 且 q 形式复合命题的真假可以用下表表示 p q P q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注 1 像上面表示命题真假的表叫真值表 2 由真值表得 非 p 形式复合命题的真假与 p 的真假相反 p 且 q 形式复合 命题当 p 与 q 同为真时为真 其他情况为假 p 或 q 形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假 其他情况为真 3 真值表是根据简单命题的真假 判断由这些简单命题构成的复合命题的真假 而不涉及简单命题的具体内容 2 全称量词和存在量词 2 全称量词和存在量词 1 全称量词有 所有的 任意一个 任给 用符号 表示 存在量词有 存在一个 至少有一个 有些 用符号 表示 2 含有全称量词的命题 叫做全称命题 对 M 中任意一个 x 有 p x 成立 可用 符号简记为 xM p x 读作 对任意 x 属于 M 有 p x 成立 3 含有存在量词的命题 叫做特称命题 存在 M 中的元素 x0 使 p x0 成立 可 用符号简记为 x0 M p x0 读作 存在 M 中的元素 x0 使 p x0 成立 3 含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 xM p x x0 M p x0 x0 M p x0 xMp x 注 全称命题与特称命题的否定有什么关系 全称命题的否定是特称命题 特称命题 的否定是全称命题 热点难点突破 热点难点突破 一 对 或 且 非 的理解 1 相关链接 一 对 或 且 非 的理解 1 相关链接 1 或 与日常生活中的用语 或 的意义不同 对于逻辑用语 或 的理解我们可 以借助于集合中的并集的概念 在 A B x x A 或 x B 中的 或 是指 x A 与 x B 中至少有一个成立 可以是 x AxB 且 也可以是 x AxB 且 也可以是 x AxxB 且 逻辑用语中的 或 与并集中的 或 的含义是一样的 2 对 且 的理解 可以联想到集合中的交集的概念 在 A B x x A 且 x B 中 的 且 是指 x A x B 都要满足的意思 即 x 既要属于集合 A 又要属于集合 B 3 对 非 的理解 可以联想到集合中的补集的概念 若将命题 p 对应集合 P 则 命题非 p 就对应着集合 P 在全集 U 中的补集 U C P 对于非的理解 还可以从字意上来理解 非 本身就具有否定的意思 一般地 写一个命题的否定 往往需要对正面叙述的词语进 行否定 2 2 P q p q p 形式命题真假的判断步骤形式命题真假的判断步骤 1 确定命题的构成形式 2 判断其中命题 P q 的真假 3 确定 P q p q p 形式命题的真假 3 例题解析 3 例题解析 例 1 写出由下述各命题构成的 P q p q p 形式的复合命题 并指 出所构成的这些复合命题的真假 1 p 9 是 144 的约数 q 9 是 225 的约数 2 p 方程 x2 1 0 的解是 x 1 q 方程 x2 1 0 的解是 x 1 3 p 实数的平方是正数 q 实数的平方是 0 解析 由简单命题构成复合命题 一定要检验是否符合 真值表 如果不符要作语言 上的调整 P q 9 是 144 或 225 的约数 p q 9 是 144 与 225 的公约数 或写成 9 是 144 的约数 且 9 是 225 的约数 p 9 不是 144 的约数 p 真 q 真 P q 为真 p q 为真 而 p 为假 2 P q 方程 x2 1 0 的解是 x 1 或方程 x2 1 0 的解是 x 1 注意 不能写成 方程 x2 1 0 的解是 x 1 这与真值表不符 p q 方程 x2 1 0 的解是 x 1 且方程 x2 1 0 的解是 x 1 p 方程 x2 1 0 的解不都是 x 1 注意 在命题 p 中的 是 应理解为 都是 的意 思 p 假 q 假 P q 与 p q 均为假 而 p 为真 3 P q 实数的平方都是正数或实数的平方都是 0 p q 实数的平方都是正数且实数的平方都是 0 p 实数的平方不都是正数 或 存在实数 其平方不是正数 p 假 q 假 P q 与 p q 均为假 而 p 为真 注 在命题 p 或命题 q 的语句中 由于中文表达的习惯常常会有些省略 这种情况下应 作词语上的调整 二 全 特 称命题及真假判断 1 相关链接 二 全 特 称命题及真假判断 1 相关链接 1 要判断一个全称命题是真命题 必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x 验证 p x 成立 2 要判断一个全称命题是假命题 只要能举出集合 M 中的一个 x x0 使得 p x0 不 成立即可 3 要判断一个特称命题是真命题 只要在限定的集合 M 中 至少能找到一个 x x0 使 p x0 成立即可 否则这一特称命题就是假命题 2 例题解析 例 2 例题解析 例 试判断下列命题的真假 1 2 20 xR x 2 4 1xN x 3 3 00 1xZ x 所以命题 2 20 xR x 是真命题 三 全 特 称命题的否定 1 相关链接 三 全 特 称命题的否定 1 相关链接 1 全称命题 特称命题 的否定与命题的否定有着一定的区别 全称命题 特称命 题 的否定是其全称量词改为存在量词 或存在量词改为全称量词 并把结论否定 而命 题的否定则直接否定结论即可 从命题形式上看 全称命题的否定是特称命题 特称命题的 否定是全称命题 2 常见词语的否定形式有 原语句 是 都是 至 少 有 一 个 至 多 有 一 个 对任意 xA 使 p x 真 否定形式 不是 不都是 一 个 也 没 有 至 少 有 两 个 存在 0 xA 使 0 p x 假 2 例题解析 2 例题解析 例 1 写出下列命题的否定 并判断命题的否定的真假 指出命题的否定属全称命题 还是特称命题 1 所有的有理数是实数 2 有的三角形是直角三角形 3 每个二次函数的图象与 y 轴相交 4 2 20 xR xx 分析 分析 否定量词 否定判断词 写出命题的否定 判断命题真假 解答 解答 1 p 存在一个有理数不是实数 为假命题 属特称命题 2 p 所有的三角形都不是直角三角形 为假命题 属于全称命题 3 p 2 0 20 xR xx 为真命题 属特称命题 例 2 写出下列命题的否定并判断其真假 1 p 存在一些四边形不是平行四边形 2 p 所有的正方形都是矩形 3 p 至少有一个实数x 使 3 10 x 4 p 2 1 0 4 xR xx 解答 四 与逻辑联结词 全 特 称命题有关的参数问题 例 1 四 与逻辑联结词 全 特 称命题有关的参数问题 例 1 12 分 分析 分析 1 已知的两个命题是全称命题和特称命题 2 根据 p 且 q 是真命题来确定 a 的不等式 从而求出 a 的取值范围 解答解答 由 p 且 q 是真命题 则 p 为真命题 q 也为真命题 若 p 为真命题 a x2 恒成立 x 1 2 a 1 若 q 为真命题 即 x2 2ax 2 a 0 有实根 4a2 4 2 a 0 即 a 1 或 a 2 综上所求实数 a 的取值范围为 a 2 或 a 1 注 注 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的 一个或两个 命题的真假 求出此时参 数成立的条件 再求出含逻辑联结词的命题成立的条件 例 2 例 2 已知两个命题 r x sinx cosx m s x x2 mx 1 0 如果对 x R r x 与 s x 有且仅有一个是真命题 求实数 m 的取值范围 分析 分析 由已知先求出对 x R r x s x 都是真命题时 m 的范围 再由要求分情况 讨论出所求 m 的范围 解答 解答 sinx cosx 2sin 2 4 x 当 r x 是真命题时 m0 恒成立 有 m2 4 0 2 m 2 当 r x 为真 s x 为假时 m 2 同时 m 2 或 m 2 即 m 2 当 r x 为假 s x 为真时 m 2 且 2 m 2 即 2 m 2 综上 实数 m 的取值范围是 m 2 或 2 m 2 注 解决这类问题时 应先根据题目条件 推出每一个命题的真假 有时不一定只有一 种 然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围 最后根据每个命题的真假情况 求 出参数的取值范围 感悟高考真题 感悟高考真题 1 2009 江西卷文 下列命题是真命题的为 A 若 11 xy 则 xy B 若 2 1x 则 1x C 若 xy 则 xy D 若 xy 则 22 xy 答案 A 解析 由 11 xy 得 xy 而由 2 1x 得 1x 由 xy xy 不一定有意义 而 xy 得不到 22 xy 故选 A 2 2009 辽宁卷文 下列 4 个命题 1 11 0 23 xx px 1 3x 3 1 p 0 2 x x 1 2x 4 11 0 32 x px 0 B 存在 0 x R 0 2x 0 C 对任意的x R 2 x 0 D 对任意的x R 2x 0 考点定位 本小考查四种命题的改写 基础题 解析 由题否定即 不存在 Rx 0 使 02 0 x 故选择 D 4 5 2010 湖南理数 2010 湖南理数 2 下列命题中的假命题是 A xR 1 20 x 2 x 1 0 B xN 2 1 0 x C xR lg1x 的否定 用 都有 22 2xyxy D 0 0 xy 都有 22 2xyxy 3 判断下列命题的真假 其中为真命题的是 D A 2 10 xR x B 2 10 xR x C sintanxRxx D sintanxRxx 则 p 的否定形式为 C A xxRxpsin B xxRxpsin C xxRxpsin D xxRxpsin 7 22 0ab 的含义为 A A a b 不全为 0 B a b 全不为 0 C a b 至少有一个为 0 D a不为 0 且b为 0 或b不为 0 且a为 0 提示 提示 0 00 22 baba 于是 22 0ab 就是对 0 0 ba 即 ba 都为 0 的 否定 而 都 的否定为 不都是 或 不全是 所以应该是 a b 不全为 0 8 命题 存在一个三角形 内角和不等于 1800 的否定为 B A 存在一个三角形 内角和等于 1800 B 所有三角形 内角和都等于 1800 C 所有三角形 内角和都不等于 1800 D 很多三角形 内角和不等于 1800 提示 提示 该命题是一个 存在性命题 于是 存在 否定为 所有 不等于 否定为 都 等于 9 给出命题 x R 使 x3x2 x R 有 x2 1 0 其中的真命题是 A A B C D 提示 提示 方程 x2 2 的解只有无理数 2 x 所以不存在有理数x使得方程 x2 2 成立 故 为假命题 比如存在 0 x 使得 23 00 故 为假命题 10 命题 p 不等式 0 1 x x 的解集为 10 xxx或 命题 q 不等式 4 2 x 的解 集为 2 xx 则 D A p 真 q 假 B p 假 q 真 C 命题 p 且 q 为真 D 命题 p 或 q 为假 提示 提示 不等式 0 1 x x 的解集为 10 xxx或 故命题 p 为假 不等式 4 2 x 的解集为 22 xxx或 故命题 q 为假 于是命题 p 或 q 为假 11 命题 21 2 3 21 2 3 pq 则在下述判断 p 或 q 为真 p 或 q 为假 p 且 q 为真 p 且 q 为假 非 p 为真 非 q 为假 其中正确的的个数为 C A 2 B 3 C 4 D 5 提示 提示 正确 12 下列说法错误的是 C A 命题 2 430 3xxx 若则 的逆否命题是 2 3 430 xxx 若则 B x 1 是 x0 的充分不必要条件 C 若 p 且q为假命题 则 pq 均为假命题 D 命题 使得 01 2 xxRxp 则 均有 01 2 xxRxp 提示 提示 若 p 且q为假命题 则 p 与q的真假包括两种情况 其中可以有一个是真命题 或 者 p 与q都是假命题 二 填空题 二 填空题 13 命题 0 x 的否定是 0 x 0 成立 0332 xxRyRx 15 对于下列语句 1 2 3xZ x 2 2 2xR x 3 2 302xR xx 4 2 05xR xx 其中正确的命题序号是 2 3 全部填上 16 已知命题 p 2 1 2 0 xxa 命题 q 2 220 xR xaxa 若命题 p 且 q 是真命题 则实数 a