2015年高考数学模拟试卷(三).pdf

扑 a 意 瞬 倨 讲 l n 键 2 0 1 5年高考数学模拟试卷 三 数学 工 时间 1 2 0 分钟 满分 1 6 0分 一 填空题 本大题共 1 4小题 每 小题 5分 共计 7 0分 1 设全集 U R 集合 A一 l z 1 xER 则 C U A 一 1 上o 2 复数 z 一 的虚部为 3 抛掷两颗质地均匀的正方体骰子 向上的点数之和为 4 的倍数的概率是 2 2 4 双曲线x 一 一1的一个焦点到一条渐近线的距离为 5 曲线 y s i n x p 过原点是 T t 的 条件 从 充分不必要 必要不 充分 充分必要 既不充分也不必要 中选择一个作为答案 6 执行如图所示的伪代码 则输出的结果为 一l W l 1 i l e l 0 A t l S 一2 I 4 l 一 2 E n d W h i l e I P ri m S 1 第 6题 Dl G 第 7题 C 第 1 O题 7 如图 在正方 体 A B C D A B 1 C D 1中 给 出以下 四个结论 D C 平面 A1 ABB AD上 平 面 D DB A1 D 与平 面 B C D1相 交 平 面 B C D1 上 平 面 A A B B 其中正确结论是 写出所有正确结论的序号 8 已知 函数 厂 z 是定义域为 R的偶函数 当 z 0时 一 z 4 x 那么 不等式 f x 2 6 o 的 左 右焦 点 过F 1 的 直 线z 与 椭圆 c C交于A B两点 若 AB B F AF 2 3 4 5 则椭圆的离心率为 1 4 设 函数 z 一 J z 2 z 一1 J xE 一 一1 动直线 一 与该 函数的图象交于 两点A 口 B b 其中常数 t E 0 2 则 n 6 口 6的取值范围是 二 解答题 本大题共 6小题 共计 9 0分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1 5 本小题满分 1 4分 在 AB C中 内角 A B C对边分别为 b C 已知 口 一6 2 c 4 s i n A 一2 s i n B 1 求AAB C的面积 2 求 s i n 2 A B 的值 1 6 本 小题满分 1 4分 如 图 已知ABC D 中 BC D 9 0 BC C D 1 AB g AB上平面 B C D E F分别是 AC AD的中点 1 求证 平面 BE F 上平面 AB C 2 设平面 B E Ff 平面B C D l 求证 C D 3 求四棱锥 B C DF E的体积 V 本卷共 6 页 第 2 页 第 1 6题 D c l 7 本小题满分 1 4分 如图 圆柱体木材的横截面半径为 1 d m 从该木材 中截取一 段圆柱体 再加工制作成直四棱柱 A B C D A B C D 该四棱柱的上 下底面均为等腰梯 形 分别内接于圆柱的上 下底面 下底面圆的圆心 0在梯形 A B C D 内部 A B C D LDAB 6 0 AA1 AD 设 DA0一 1 求梯形 AB C D 的面积 D C 2 当 s i n 0 取何值时 四棱柱 AB C D A B C D 的体积最大 求出这个最大值 已知木材的长度足够长 第 1 7题 1 8 本小题满分 1 6分 圆 M z 一1 y 一1 一4 Z 1 z 一 y 一4 一O 1 过圆心 M 作 z 上z 垂足为 A 求 与圆 M 外切且与直线 z 相切 于 A 点 的圆的 方程 2 过z 上 动 点B 作 直 线 z 交 圆 M t P Q 两 点 且 M B Q 一 詈 求P Q 最 大 时 直 线 l 的斜率 本卷共 6页 第 3页 第 1 8题 1 9 本小题满分 1 6 分 已知函数 z 4 l z 一口 l xER 1 存在实数 z z 一1 1 使得 f x 一 z z 成立 求实数a的取值范围 2 对任意的z z 一1 1 都有I f x f x z 成立 求实数 k 的最小值 2 0 本小题 满分 1 6分 正数无 穷数列 a 的前 2 项 和 S 满足 r S 一a n a 一1 h EN 常数 r N a 1 等于常数 a 1 求证 2 一a 是一个定值 2 若数列 口 是周期数列 即存在 k N 对任意 n EN 有 口 一口 称 口 为周 期数列 丁为它的一个周期 求该数列的最小正周期 3 若数列 a 是各项均为有理数且不是常数的等差数列 求证 数列 一 中必包 含一个各项不是常数的无穷等比数列 本卷共 6页 第 4页 数学 时间 3 0分钟 满分 4 0分 2 1 选做题 在 A B C D四小题 中只能选做 2小题 每 小题 1 0分 共计 2 0分 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB是半 圆的直径 点 C在半 圆上 C D上AB 垂足为 D 且 AD一5 DB 设 C O D O 求 t a n 的值 B 选修 4 2 矩阵与变换 第2 1 A1 已 知 矩 阵 A E 矩 阵 B 一 直 线 ll x 4 一 经 矩 阵 A 所 对 应 的 变 换得到直线 直线 易又经矩阵 B所对应 的变换得到直线 z x y 4 一O 求直线 的 方程 c 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系下 设 p O O O z 记 A 一 2 一z 2 其 J 中n 6N 1 求证 A 2 一A卅1 A 2 求证 A 1 A 一A2 1 2 A 1 A A 2 1 A2 2 本卷共 6页 第 6页 命题人 刘新春杨恒清 舴 骘i 茜邮 鹳窜 圜 j隋吾 酣 o 1 5 酣 酉 己 野 1 2 3 1 一 1 1 a2 a l a l a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 一 一 一 一 一 一 一 a i a2 a 3 a l n2 n 2 a 3 a 1 a 2 口 2a 3 d a 3 一a 1 a la2a 3 2 d 2 口 la2a 3 一 一 一 一量 一 一 一 一 一 一旦一旦一 n l a2 以3 口4 1 a 2 岔 3 a4 n 1 口 2 口3 口 2 口 3 n 4 口 1 n 2口3 口 2 n 3 口 4 2 d a 4 一 n 一 6 d 一 n 1 n 2 口 3口4 口 1 盘 2n3n4 2 结 论 C n 1 一 1 证明 当 一2 3 4时 等式成立 假设 当 n k 忌 4时 Q 1 一 一 一 口 1 a2 a 3 ak 一 丝 二 2 1 二 口 1 n 2 n 成立 ala 2 a k 那么 当 n k 1 时 因为 C l 一C 2 C l i 所 以 一c 4 c l 一 二 一 一 一 二 三 a 1 n 2 a 3 口 1 al a2 a3 1 k 2 C l Z 一 f 一 1 一f 一 a k l al a2 a8 ak a2 a3 a4 ak l 愚 一1 一 惫 一 1 愚 一 1 一 a l 以 2 ak a2 a 3 n l n l 2 a l 所 以 当 n k 1时 结论也成立 缤 合 知 Cln l I 一 综 合 知 一 一 1 a 1 一a 1a2 ak a k 1 1 1 C 一 二 二对 2 都成立 nn o 1 a 2 n n 2 0 1 5年 局考 数 字 模 拟 试 卷 二 J 1 zI z 41 zER 2 3 3 1 4 3 5 必要 不充分 6 1 9 7 8 一7 3 9 告 亿1 0 1 1 1 6 1 2 1 2 9 1 3 1 4 一 1 1 1 5 1 因为 s i n A一2 s i n B 所以 所以a 4 b 2 1 n n y 所 以 c s A 一 一 N N A E O 所 以 s in A 一 所 以 s B c 一 专 6 f s in A 一 1 2 X 4 X 一 2 因为 s i n A一 c s A 1 所 以 s i n 2 A 2 s in A c s A 一 c s 2 A 2 c O S 2A 一 1 一 舌 s i nB 1 s i nA 一 华 因 为 贝 IJ B 一 2 A c s B c 0 s 一 2 A c s 2A 一 专 所 n 2 A B s i n 2 Ac O s B c 础 n B一 1 6 1 证明 因为 AB 上平 面 BC D C DC平面 B C D 所 以 AB上C D 又B C 上 C D ABNB C B 所 以 C DJ 平 面 AB C 又 E F分 别是 AC AD 的 中点 所 以 E F C D 所以 E F J 平面AB C 又EF C平面 B E F 所以平面 B E F 上平面 AB C 2 因为 C D E F C D 平面 B E F E FC平面 BE F 所以C D I 平面 BE F 第 1 6 题图 1 q 7 D 又 C D c平面 B C D 且平面 B E F N平面 B C D l 所以 C D 1 3 解 法 1 由 1 知 E F C D Jf F I k A E F c o A A C D 所 以 一 所 以 1 所 以 一 一一 号 唧 S 肋 A B 1 1 1 1 一 解法2 取 B D中点G 连结 F C和F G 则 F G A B 因为A B 上平面 B C D 所 以F G 平面B C D 由 1 知E F 上平面A B C 所以V V r c 一寺 脚 E F S zx肋 1 1 十 1 专 1 1 1 7 1 如图为圆柱和内接四棱柱的下底面 从圆心 0分别作腰 AD和下 底 AB 的垂线 垂 足分别为 H K 由 O A 1 易得 AD 2 AH 2 c o s AB 2 AK 2 c o s 6 0 一 又由 D AB 6 0 可得梯形AB C D的高为ADs i n 6 0 一 3 C O S 上底 DC AB 2 ADc o s 6 0 一 2 c o s 6 0 0 2 c o s 所以梯形 AB C D 的面积为 S一百 i 4 c o s 6 0 一 一2 c o s 0 3 3 c 0 s 一 z 扣 叶 s in 一s s s 0 d rn z 2 四棱柱 AB C D A1 B 1 C 1 D1的体积为 V S AA1 3 s i n 0 c o s 0 2 c o s 0 6 s i n 0 c o s 一6 s i n 1 一s i n 2 第 l 7题 R 设 sin 1 V 6 1 一 z 一 6 z 一 因 为 o 0 6 0 所 以 o z 譬 令 v 一 6 1 3 1 2 一 得 一 当 当 每 时 V 所 以 当 一 譬 即 i 一 譬 时 四 棱 柱 的 体 积 取 得 最 关 值 为 6 譬 1 一 吉 一 d m 3 说明 理科生也可以用平均不等式求 的最大值 1 8 1 直 线 z 的 方 程 为 x y 2 O 与 圆 M 的 方 程 联 立 得 x 一y 1 2 0 一 1 一 4 解 之 得J 直 线 zz 的 方 程 联 立 得 三 二 二 4 0 解 之 得 1 即 A s 一 I V 一 一 I V 一 一 圆 f 2 2 k 4 一 2 澈 所 求 圆 的 方 程 为 z 一 一 1 2 过M 作M C 垂 直 于P Q 于 点c 设M C d Z M B P 一 詈 则M B 一 2 d 当P Q 最 大 时 P Q 一 2 4 d 2 d最 小 即 2 d最小 x 一 y 2 0 bA 3 1 l a y l k x 3 得 k x y 3 k l O 一 得 志 一2 是 2 J 3 1 9 1 厂 x z 一 4 z 4 z二 二 由 题 意 知 厂 z 在 一 1 1 上 不 单 调 当n 1时 厂 z 一 4 x 4 a 在 一1 1 上是减函数 不合题意 舍去 当a I 时 厂 一 4 x 4 a在 一1 1 3 上是增函数 不合题意 舍去 当一1 a 1 时 厂 z 在 一1 a 上是减函数 在 1 上是增函数 综上 一1 口 1 2 设 在 一1 1 上最大值为 M a 最小值为 re a 当n 1 时 z 一4 z 4 n在 一1 1 上是减函数 M a 厂 一1 4 a 5 m n 一 1 4 a 当 口 一1 时 厂 一 4 一4 口在 一1 1 上是增函数 M n 一 1 一5 4 口 re a 一 一1 一 当一1 口 1时 在 一1 a 3 k是减函数 在E a 1 上是增函数 M 口 ma x f 一1 厂 1 一 ma x 4 a 5 一4 n 5 re a 一 n 一n 当 O 口 1时 M 口 一 4 a 5 当 一 1 口 0 时 M 口 一 一 4 a 5 M 口 一 m a r 8 口 1 或 n 一1 一 4 a 5 a O n 1 L 4 a 5 一n 一1 0 所以 n z a 一r 是一个定值 2 当 一1时 n 口 2 1 所以 n 2 一l r a r 上 根 据 1 知 数 列 2n 隔 项 成 等 差 且 公 差 为 r 写 出 a n 的 前 几 项 a r n r 2 r 丢 n 2 r 3 r 当 r O时 n 的奇数项和偶数项都是单调递增的 所以不可能是周期数列 所 以 r o 再 写 出 a n 的 前 几 项 n 丢 n a n n 口 口 口 所以当n O且 口 1时 该数列的最小正周期是 2 当 n 一1 时 该数列的最小正周期是 1 3 因 为 数 列 a n 是 有 理 等 差 数 列 根 据 的 前 三 项 所 以 n n r 一 2 r 丢 得 2 a 2 m 一 2 一 o 得 舍负根 是有理数 则 卫 1 6 是一个完全平方数 设为 k 其中 r k均是非负整数 当 r 0时 n 一1 n 1 为常数数列 舍去 当 r O时 有 愚 r 志 r 一1 6 又 r 最 N 只有 r 3 惫 一5符合要求 此时口 2 口 一 口 2 一 1 设 一 一 l 3 n 一1 则 为等差数列且公差为d一3 取 C 1 6 1 一口 1 2 C 2 一c 1 d c 1 一 1 d c 1 C 3 c 1 d c 1 c 2 1 C 1 一c 1 d c 1 C 2 C 一 1 一f m 一 d 一 1 1 d 一 c 一 则 是一个首项为 2 公比为 1 d 4的无穷等比数列 令 一2 X4 m 一 1 一口 2 1 3 n 1 EN 且 m 2 所以 1 坐 1 2 1 4 4 4 一 N 所以 是数列 一 中的项 2 1 A 设圆的半径为 R 则A D D B 一2 R 因为 A D 5 D B 所以 A D 昔R D B R O D R r 1 n U U U 由 相 交 弦 勰 可 得 C IY A D B D 扣 所 以 一 C D 一 R 一 2 1 3 E 讹 一 设 P x 是 l l 上的任意一点 其在 B A作用下对应的点为 在 l 上 得 变 换 到 z 的 变 换 公 式 一 z 则 Y O y 2 a x b y 4 O即为直线 1 4 O 则得 口 一 1 6一 一 1 此 时 B l 一 1 o J 同 理 可 得 2 的 方 程 为 x 4 一 o 即 一 2 y 一 4 o C 1D 一 3 得z 一 9 ID s in 0 3 得 一 3 交 点 为 o 3 极 坐 标 为 3 专 o 由 柯 西 不 12 1 2 测 丐丐 专 即 譬 2 2 取AC中点0 O P为 轴 O C为 y轴 O B为z轴建系如图 1 因为平面 ABC i S t I NAP C AP PC 0 为 AC 中点 P 0 0 1 A O 一 1 O 一 P A一 O 一1 一 1 B 1 0 O C O 1