计算机数学软件在常微分方程中的应用.pdf

中山大学 硕士学位论文 计算机数学软件在常微分方程中的应用 姓名 容志新 申请学位级别 硕士 专业 应用数学 指导教师 朱思铭 李艳会 20090311 中山大学硕士学位论文 论文题目 计算机数学软件在常微分方程中的应用 专业 应用数学 硕士生 容志新 指导教师 朱思铭教授 李艳会副教授 摘要 论文主要探讨应用计算机数学软件对常微分方程进行计算机辅助分析 其 工作不但可促进常微分方程的教学和研究 并为进一步进行常微分方程的课程 和教学改革提供资料 同时还应用计算机数学软件对两类时标动态方程定性和分 支问题进行理论分析 首先结合已普及应用的计算机数学软件M a t h e m a t i c a M A T L A B 和M a p l e 语 言探讨了如何在常微分方程的教学和研究中应用计算机辅助分析 比较了它们在 应用方面的差异 并给出了进行常微分方程的计算机辅助分析的具体处理方法 还进一步讨论了常微分方程的一些特殊应用如解常系数线性微分方程 向量场与 微分方程的综合显示 以及拉普拉斯变换方法的一般化处理 同时还探讨了如何使用科学计算自由软件S C I L A B 对常微分方程进行辅助 分析 针对现有计算机数学软件绘制微分方程轨线图貌时存在的问题以S C I L A B 为例进行程序改进 最后应用计算机数学软件研究并解决了两类时标微分方程的定性和分支分 析问题 包括一类被食 捕食时标动态系统和一维常系数线性周期时标系统 关键词 常微分方程 计算机辅助分析 M a t h e m a t i c a M A T L A B M a p l e S C I L A B 时标微分方程 中山大掌硕士掌位论文 T i t l e A p p l i c a t i o no fC o m p u t e rM a t h e m a t i c a lS o f t w a r e s i nO r d i n a r yD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s M a jo r A p p l i e dM a t h e m a t i c s N a m e R o n gZ h i x i n S u p e r v i s o r Z h uS i m i n g L iY a n h u i A B S T R A C T I nt h i sp a p e rw ef o c u s e do nt h ea p p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c a lc o m p u t e rs o f t w a r e s f o rc o m p u t e r a i d e dt e a c h i n ga n dr e s e a r c hi no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s O D E I t n o to n l yp r o m o t e st e a c h i n ga n dr e s e a r c hi nO D E a n df u r t h e rp r o v i d ei n f o r m a t i o nf o r c o n d u c t i n gc u r r i c u l u ma n dt e a c h i n gr e f o r mo fO D E A tt h es a m et i m ew ea p p l y m a t h e m a t i c a lc o m p u t e rs o f t w a r e sf o rq u a l i t a t i v ea n dt h e o r e t i c a la n a l y s i so ft w ot y p e s o fd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l ea n dt h e i rb r a n c h i n gq u e s t i o n s F i r s to fa l l w ea n a l y z et h ec o m p u t e r a i d e dt e a c h i n ga n dr e s e a r c hi nO D E sb y a p p l y i n g 谢mt h r e ep o p u l a rs c i e n t i f i cs o f t w a r e s M a t h m a t i c a M A T L A Ba n dM a p l e W ed i s c u s st h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h e s es o f t w a r e sa n ds h o wh o wn l e ye x p r e s sO D E s a n df u r t h e rs o m es p e c i a la p p l i c a t i o ni nt h eO D E ss u c ha sc o n s t a n tc o e f f i c i e n tl i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s v e c t o rf i e l d sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n t e g r a t e dd i s p l a y a s w e l la st h eg e n e r a l i z e dt r e a t m e n to fL a p l a c et r a n s f o r mm e t h o d s A tt h es a m et i m e w ee x p l o r eh o wt os o l v eO D E s i t l ls c i e n t i f i cc o m p u t i n g s o f t w a r eS C I L A B R e g a r d i n go ft h ee x i s t i n gp r o b l e mi nd r a w i n gt r a j e c t o r yc h a r to f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 谢t 1 1c u r r e n tm a t h e m a t i c a lc o m p u t e rs o f t w a r e s w ep r e s e n ta n e wi m p r o v e m e n tw i t l la l le x a m p l ep r o g r a mo fS C I L A B F i n a l l y w es t u d i e sh o w t ou s ec o m p u t e rs o f t w a r e st or e s e a r c ha n ds o l v ep r o b l e m s o fq u a l i t a t i v ea n db i f u r c a t i o na n a l y s i si nt w ot y p e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt i m e s c a l e i n c l u d i n gac l a s so fp r a d a t o r p r e dd y n a m i cs y s t e m o nt i m es c a l ea n d o n e d i m e n s i o n a lc o n s t a n tc o e f f i c i e n tl i n e a rc y c l es y s t e mo nt i m es c a l e K E YW O R D S O r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s O D E C o m p u t e r a i d e d t e a c h i n ga n dr e s e a r c h 口 R M a t h e m a t i c a M A T L A B M a p l e S C I L A B D i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt i m es c a l e s I I I 中山大学硕士掌位论文 学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立进行研究工作所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果 对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 剃 日期 2 0 0 9 年3 f l11 日 学位论文使用授权声明 眺黼张谬 虢鸯 月桃1 1E l 中山大掌硕士掌位论文 1 1 常微分方程 第一章综述 常微分方程是数学和数学分析的一个组成部分 从微积分出现后即产生 已 有三百多年的发展历史 它是各种精确自然科学 社会科学中表述基本定律和各 种问题的根本工具之一 换句话说 只要根据实际背景 列出了相应的微分方程 并且能 数值地或定性地 求出这种方程的方法的解 人们就可以预见到 在已 知条件下这种或那种 运动 过程将怎样进行 或者为了实现人们所希望的某种 运动 应该怎样设计必要的装置和条件等等 例如 我们要设计人造卫星轨道 首先 根据力学原理 建立卫星运动的微分方程 列出初始条件 然后求出解 即卫星运行轨道 总之 常微分方程从它诞生起便日益成为人类认识并进而改造 自然 社会的有力工具 成为数学科学联系实际的主要途径之一 时至今日 常 微分方程仍然是最有生命力的数学分支之一 不仅专业研究常微分方程的数学工 作者愈加众多 它在物理 经济 工程等领域也是不可缺少的基础课程之一 比 如它是数学物理方程 动力系统 微分方程数值解 生物数学 数学模型 数理 经济 自动控制 生物学 经济学 海洋学 金融数学 经济数学等许多后续课 程的基础 由于其应用的广泛性 在大学教学及科学研究中占有重要位置 1 2 时标微分方程 时标微分方程是常微分方程在现代数学应用中新发展出来的一个重要方向 1 9 8 8 年 德国S H i l g e r 在他的博士论文 首次阐述了将微分与差分方程理论统 一的演算理论 他把它称为时间标度演算法 测度链微积分 T h ec a l c u l u so f M e a s u r eC h a i n s 而在许多动态研究中 只需考虑测度链 M e a s u r eC h a i n s 的 一种特殊情形一一时标 T i m eS c a l e 1 9 9 0 年 S H i l g e r 和他的博士导师 中山大学硕士学位论文 B A l u b a c h t l 9 1 首次研究了非齐次时标动态方程 B A l u b a c h 指出 这种新的微积分 有三个主要目的 统一 推广和离散化 U n i f i c a t i o n E x t e n s i o n D i s c r e t i x a t i o n 这种算法不仅能够把微积分算法和差分方程结合在一起 而且还解决了把 停止 开始 行为和连续性行为结合在一起的问题 实现了数学演算方面的一大突 破 1 9 9 7 年 德国数学家M B o h n e r 和他的同事全身心地投入了研究 取得了突 飞猛进的进展 短时间内就发表了多篇论文 2 0 卜1 2 2 等 2 0 0 1 年 M B o h n e r 和 A P e t e r s o n 合作写了一本关于时间标度演算法的专著 1 3 将其发展成为一种新理 论 时标动态理论 至今 时标理论已经受到国际上许多专家学者的极大关注 他们包括德国 美国 爱尔兰 新加坡 加拿大 土耳其等国的S H i l g e r B A l u b a c h R A g a r w a l M B o h n e r D O R e g a n A P e I r t e r s o n V L a k s h m i k a n t h a m L y n nE r b e R o n a l dM a t h e n 等等 研究的内容涵盖了相当多的领域 经过十几年的发展 目前这一领域已出 版了若干专著和一系例研究论文 其中著名数学杂志 J C o m p t A p p l M a t h 2 0 0 2 1 4 1 1 2 刊出了二十篇精选的关于时标的研究论文 2 0 0 3 年 B i r k h i u s e rB o s t o n 出版社又出版了一本时标动态方程研究最新进展的文集 1 2 4 广泛的应用背景是促使这一理论得到迅速发展的动力 英国 新科学家 专文介绍时标理论 把它称为征服自然界的数学工具 2 5 1 二十一世纪国内已开展了对时标动态方程的研究f 2 7 3 0 但多集中在时标动 态方程解的稳定性和振动性方面 在时标动态方程的定性和分支分析方面刚开始 涉及 1 3 计算机数学软件和计算机辅助分析 计算机数学软件是专为进行数学公式 函数与数据的计算和处理而设计的 计算机软件 应用计算机数学软件进行数学 物理 生物 社会及工程技术的有 关数据 公式的数学处理 代替原来繁难 复杂的人工 纸笔演算 可大大提高 工作效率和准确性 随着科技的进步 计算机数学软件的进步和发展 科学软件对数学 物理 化学 工程技术等有关数据及对公式的数学处理的作用越来越大 微分方程还有 其特定的内容 方法 计算机数学软件应用时需进行特殊处理 因此 在目前计 2 中山大掌硕士学位论文 算机的普及应用的环境下如何应用计算机数学软件对常微分方程的教学和研究 进行计算机辅助分析是一个值得研究 探讨的问题 目前国内应用最广泛的计算机数学软件主要有M a t h e m a t i e a M A T L A B 和 M a p l e 三种 M a t h e m a t i c a 语言多用于物理学界 M A T L A B 语言主要用于工程及 科学计算领域 M a p l e 语言在数学界较通用 三种语言各有其特色 M a t h e m a t i c a 语言 l o 1 1 填符号运算 数值计算及图形绘制均有特色 特别是输入显示界面可 以直接输入及显示人们习惯的数学符号 非常直观 在其 帮助 菜单中列出的 例题还可以直接运行或修改运行 M A T L A B 语言 1 2 1 3 的矩阵形式变量使数值输 入计算均非常精练 图形显示也很灵活 并有众多程序包供使用 M a p l e 语言 1 4 擅长符号运算 常微分方程的积分曲线或轨线图形直接用函数定义 省去了先求 数值解再显示 且可同时绘多条轨线 非常方便 三种语言也各有不便之处 M a t h e m a t i c a 语言的有些规定如函数参数均需用方括号与众不同 还自定义了各 种各样的规则和符号 初学者不易掌握 M A T L A B 语言其函数定义必须用M 文 件 其符号运算是借助M a p l e 语言 不甚方便 M a p l e 语言使用A S C I I 符号 英 文键盘 进行输入 对数学 希腊符号及上 下标等使用不便 除上述三种计算机数学软件外 科学自由软件S C I L A B t l 6 1 7 也开始进入人 们的视野 S C I L A B 作为可以免费自由获取和使用的科学计算 开放源码 软 件 在价格和使用许可上有其得天独厚的优势 与M A T L A B 类似 S C I L A B 也 是一种科学工程计算软件 其数据类型丰富 可以很方便地实现各种矩阵运算与 图形显示 能很好地满足数学包括常微分方程的教学和研究的需要 数学工作者也都开始对如何应用计算机数学软件辅助常微分方程研究进行 探索 秦大康 1 1 2 0 0 1 年初步提出怎样应用M a t h e m a t i c a 来解微分方程 桂占吉 2 何延生 3 对进一步运用M a t h e m a t i c a 进行微分方程教学进行了深入思考 姜蕊辉 4 李新猷 5 1 何双 6 阳莺 7 1 陆续对可以怎样应用M a t l a b 软件解微分方程进行 思考和研究 曾广钊 8 陈爱永 9 贝0 考虑用M a p l e 来对解决微分问题 上述工作仅个别数学软件和个别问题上进行讨论 如何就已有的四种计算 机数学软件M a t h e m a t i c a M A T L A B M a p l e 和S C I L A B 综合讨论常微分方程的 计算机辅助分析 且对常微分方程教学和研究所涉及的内容进行全面讨论仍是 一个值得研究 探讨的问题 它将为进一步进行常微分方程的课程和教学改革提 3 中山大掌硕士掌位论文 供资料 1 4 本文工作 论文主要探讨应用计算机数学软件对常微分方程进行计算机辅助分析 其工 作不但可促进常微分方程的教学和研究 并为进一步进行常微分方程的课程和 教学改革提供资料 论文同时还应用计算机数学软件对两类时标动态方程定性和 分支问题进行理论分析 包括以下几个方面 1 常微分方程的不同特殊应用 如一阶微分方程的初等解法 常系数线性 微分方程 向量场与微分方程的综合显示和拉普拉斯变换方法有其特定的内容 方法 计算机数学软件应用时需根据不同情况进行特殊处理 本文探讨了进行常 微分方程的计算机辅助分析的具体处理方法 并给出三种软件 M a t h e m a t i c a M a t l a b M a p l e 是如何解决这些问题的实例 2 S C I L A B 作为一个开放源码的自由软件 对于学生和教师 较以上三种 软件更有价格和使用许可上的优势 本文对如何使用S C I L A B 辅助分析常微分方 程进行了研究并给出应用实例 并针对现有计算机数学软件绘制微分方程轨线 图貌时存在的问题提出解决方案 并在S C I L A B 语言中实现其程序修改 3 时标微分方程是常微分方程的新发展方向 其理论与应用在近十多年来 有着极大的突破和发展 在众多领域有着广泛应用 本文应用计算机数学软件研 究并解决了两类时标微分方程的定性和分支分析问题 包括一类被食 捕食时标 动态系统和一维常系数线性周期时标系统 特别是彻底解决了一维常系数线性周 期时标系统的分支问题 且发现了不依赖参数a b P 的单方程解的独立常数c 0 使分支区域变得清晰简明 4 中山大学硕士学位论j r 第二章计算机数学软件在常微分方程中的应用 2 1 常微分方程计算机辅助分析 常微分方程是数学和数学分析的一个组成部分 从微积分出现后即已产生 已有三百多年的发展历史 常微分方程也是应用数学解决实际问题的重要工具 由于其应用的广泛性 在大学教学中占有重要位置 目前 大学生和研究生数学 建模竞赛已越来越普及和深入 常微分方程也是数学模型的基本内容之一 虽然 计算机数学软件可以对一般数学也包括常微分方程进行计算机辅助 分析 但数学或数学分析内容广泛 而常微分方程只是其中的一部分 只要掌握 部分内容和方法 技巧即可 而且常微分方程还有其特定的内容 方法 计算机 数学软件应用时需进行特殊处理 因此 在目前计算机的普及应用的环境下如何 应用计算机数学软件对常微分方程进行计算机辅助分析是一个值得研究 探讨的 问题 下面结合计算机数学软件探讨常微分方程的计算机辅助分析 并讨论三种 常用的计算机数学软件M a t h e m a t i c a M A T L A B 和M a p l e 在应用时的异常点 对 常微分方程的教学和研究的内容而言 有如下四个方面可应用计算机软件进行辅 助分析计算 1 求解线性微分方程需要用到的矩阵特征值 特征向量 行列式及指数函 数的计算和计算 检验微分方程组的平衡点需要用到的代数方程组的 符号 求 解 三种计算机数学软件均有各种函数供使用 M a t h e m a t i c a 中相应的函数为 E x p A 指数函数 E i g e n v a l u e s A 特征值 E i g e n v e c t o r s A 特征向量 E i g e n s y s t e m A 特征值和特征向量 D e t A 行列式值 S o l v e e q n s v a t s 解代数方程或方程组 M A T L A B 中为E x p m A 指数函数 V D e i g A 特征值和特征向量 d e t A 行列式 x A b 解矩阵方程A x b I x y s o l v e e q n l e q n 2 解方程组e q n l e q n 2 变量为x y M a l p e 中为e x p A 指数函数 e i g e n v a l s A 特征值 e i g e n v e c t o t s A 特征向量 d e t A 行 5 中山大学硕士掌位论文 列式 s o l v e e q n s v a r s 解方程组 e q n s 变量为 v a t s 2 常微分方程 组 的解 积分曲线或轨线 或辅助曲线的图形显示 一方面是平面或空间中常微分方程所定义的向量场及其辅助分析曲线函数 如等倾斜线 V 函数曲线及积分曲线或轨线图的绘制 M a t h e m a t i c a 中基本的绘 图函 数有P l o t f x x m i n x m a x 平面曲线图 P l o t 3 D f x x m i n x m a x y y m i n m a x 空间 曲线 图 C o n t o u r P l i t f x x m i n x m a x y y m i n y m a x 等高线图 L i s t P l o t x l y 1 平 面点列图 P a r a m e t r i c P l o t x t y t t t m i n t m a x 平面参数图 P a m m e t r i c P l o t x t y t z t t t m i n t m a x 空 间参数图 P l o t V e c t o r F i e l d f u n s v a r s 平面向量场 P l o t V e c t o r F i e l d 3 D f u n s v a t s 空间向量场 M A T L A B 中为q u i v e r x y u V 向量场 c o n t o u r X Y z m 等 高线图 c o n t o u r 3 Y Z b b 等高线立体图 M a l p e 中为d f i e l d p l o t 向量场 c o n t o u r p l o t 等高线图 c o n t o u r 3 d 等高线立体图 另一方面是绘制曲线或轨线图所需要的数学函数 代数方程 组 及常微 分方程 组 的数值求解 因只有少数特殊方程才能求得准确解 所以 特别是 常微分方程或方程组要绘制积分曲线或轨线图要先求其数值解 用足够精度的近 似数值解进行图形绘制 M a t h e m a t i c a 中其常微分方程 组 的数值解函数为不 含初始条件s o l N D S o l v e e q n l e q n 2 y l x y 2 x x x m i n x m a x 与含初 始条件s o l N D S o l v e e q n l e q n 2 i n i c o n d s y 1 x y 2 x x x m i n x m a x 其积分曲线图用P l o t E v a l u a t e D x s 0 1 x x m i n x m a x P l o t R a n g e A 1 1 轨线图 用P a r a m e t r i c P l o t E v a l u a t e y 1 x y 2 I x s o i l x a u n i n x m a x P l o t R a n g e A l l A s p e t R a t i o A u t o m a t i c M A T L A B 中要先将高阶微分方程化为一阶微分方程组 形式 再编写微分方程组的M 文件E m 然后才调用微分方程数值解函数 T Y o d e 4 5 F a b y 0 再将结果转化为积分曲线图 p l o t T Y 1 r T Y 2 g 或轨线图p l o t Y 1 Y 2 M a p l e 较为特殊 可不必先求其数值解 直接调用常微分方程积分曲线图及轨线图函数D e p l o t 平 面 D E p l o t 3 d 空间 而且可以同时画出不同初始条件的多条轨线 非常方便 3 一阶特殊微分方程的辅助求解 微分方程的辅助判断和常微分方程 组 的特殊求解 包括拉普拉斯变换方法及幂级数解方法以及特殊函数的求解 6 中山大学硕士掌位论文 在M a t h e m a t i c a 中拉普拉斯变换方法用拉普拉斯变换函数 L a p l a c e T r a n s f o r m f t t s 化为代数方程 组 再通过符号求解代数方程 组 函 数S o l v e e q n s v a r s 解出解后再应用反拉普拉斯变换函数 I n v e r s e L a p l a c e T r a n s f o r m F s s t 得到结果 幂级数解方法必须调用有限项级数代 入一项一项对比求解 不能一步到位 M A T L A B 中不能直接应用拉普拉斯变换 和反变换函数解方程 另有信息处理程序包供使用 亦可转为M a p l e 符号处理环 境下应用 M a p l e 中的拉普拉斯变换和反变换函数为l a p l a c e F t z 和 i n v l a p l a c e L z 0 三种数学软件均有众多的特殊函数供使用 4 常微分方程 组 的直接积分 M a t h e m a t i c a 和M a p l e 是符号计算软件 可以应用其符号计算求解常微分方 程或方程组的函数D S o l v e 和d s o l v e 0 根据参数形式的不同可解不带初始条件 的常微分方程 组 如含初始条件则在方程或方程组后附上初始条件 M A T L A B 的符号计算核是借助M a p l e 语言 要先作变量说明才能使用 必须指出的是 正如常微分方程 组 不一定有初等解即能用初等函数或 超越函数积出一样 使用数学软件不一定保证能解出给定的常微分方程 组 甚至能积出的常微分方程 组 也不一定能用数学软件解出 因常微分方程 组 的求解没有统一方法 要用人工智能处理计算机的求解过程 2 2 常微分方程计算机辅助分析的具体处理 常微分方程用数学软件进行辅助分析时往往需要经过几个步骤调用不同函 数才能得到最后结果 下面以常微分方程教材中的常用方法进行讨论 2 2 1 一阶微分方程直接求解 齐次方程罢 g 目 解令 y 化为宰 g u u 解为 x敲x J I g 甜 一甜础 c 即y C X z g 甜 一 协 中山大学硕士学位论文 2 分子分母齐次方程譬 z a i x b l y c I 出 a 2 x Y 乞 解 旦 鲁 皇 七情形有解y k x c 啦 乞 争 争 k 争情形令甜 a l x b l y 嘎 口2 地 畋 a 2 c 2 6 2 q 编巩岛 一一 化为 一d u 矾 反 k u q 生 垒 2 口2 a x t l c U c 有解坛簧专也 x c 去甜 乞一鲁 h 鲁 x c 即去c q x 岛y 乞一旦笔宇宰等 k q x 岛y 兰 宰等 x c 旦a 鲁情形解方程 口 x 玩 c o 得解x 口 y 2 a l x b l y q 0 Y 仉l 口 X 仉 c U 令 S y x 一 o t 微分方程化为齐次方程西d Y 丽a 1 X b r g 妻 由J I g c 甜 一 咖 5 6 u i 一甜 砌 每 云一每 h 尝 有解 x 冀一 卜 眇a l 一垒6 2M 到 帅母以叫 眇珊 口 睁韵h 曙 耕 3 线性微分方程罕 P x y Q x 有解 d X y 少 吖p 咖十 矗出 c 4 伯努利微分方程掣 尸 x y Q x 少伽 o 1 以j c 令z y h 得了d z 1 一 1 尸 x z 卜 z Q x 有解 d X 8 中山大学硕士掌位论文 广 一P 1 帕p 出 1 叫 Q 矿训p 胁出 刁 1 恰当方程M 而y 出 x y d y o 尝 罢 卵戗 有解p y O x 仁号弘 y 叫咖一 有解p x j 1 一昙弘 墨y 缸l 咖 c 2 积分因子 M z y d x x y d y o O u M 亟笔坠 洲OX 有解f u M O x 一号p M 缸 咖三V c 而y c 有解 j 1 一号p M 缸I 咖三V 而J 六 8 M 酬 仅含x 积分因子 攀 y x 积分因子为 e l 吣冲 N 8 M 渊 仅含y 积分因子皇 产 缈 y 积分因子为 P 肛力咖 a M 翻 含x 抄积分因子 等 力 积分因子为 f r j y d 工 2 e O M8 N X x y N N 子 y N L x 塑M g 砂 积分因子为 P g 夥 d 功 3 里卡蒂方程d y 尸 x 少2 Q x y R x 已知一解夕 可经变换 y z l 夕化为瓦d z 2 尸 x 夕 Q x z 一尸 x 有解 J 2 即肌 肛 c 一 P 2 脚m 肛 y 咖z 1 4 验证方程组解分别将解代入方程组左端和右端 看是否相等 5 判断奇点类型方程组x f x y Y g x Y 中山大学硕士掌位论文 求方程组的奇点f x y 0 g x Y 0 薯 只 f l m 对每一f 用x 一 x 薯 y 一 y 只将奇点 五 咒 移为原点 求对应线性近似方程系数 口 掣卜 吲 舻掣L 舻掣L 蹴 I p 而砂 k 而 劣 卜再砂 l J 西 计算p 一 口 d q a d 一6 c A p 2 4 2 吾 一p 抠 判断奇点类型 2 2 3 高阶微分方程x a l t x 吒一l r x 吒 f f 1 高阶齐次方程x q x 州 一l r x 吼O 0 通解结构 z f C l X l t c 2 x 2 t 乞而 r 2 高阶非齐次方程x c f i t x 州 一l O 如 r 0 通解结构 x q X l t 乞恐O q 吒 f 妒 其中而 f x 2 t x n t 为齐次方程的一个基本解组 缈 f 为非齐次方 程的特解 3 高阶非齐次方程x q x 川 一l x 厂 r 常数变易法 当已知齐次方程的一个基本解组而O x 2 t f 时 可用常数变易 法求得非齐次方程的解 x 乃而 而 f n f 出 其中 o i t 为由 次微分通解式 3 得到的n 个方程 而 f a f 砭 f 之 f 砀 r 艺 f o 恐 f c l 吃 r 吃 f 岛 f 0 加2 f a O 毋 2 r 芝 f 拶一2 f 蠢 f o X f n I O 4 0 毋 1 之 f 毋一1 oO 厂 f 求解c i t f 1 n 而得4 f 仍 r f l 刀 而乃为积分 中山大掌硕士掌f i r 论文 t f o i t 的积分常数 可任意或由初始条件确定 4 高阶非齐次方程常数变易公式 特解 加 扣 锪粼扣凼 其中研 J 而 s 吒 J 为而 s 屯 s 矗 s 的朗斯基行列式 而 呒 五 s 恐 s 吒 J 为形 五 J 而 s 矗 s 中第k 列代以 0 0 0 1 r 后的行列式 5 2 阶非齐次方程常数变易公式 特解 胁 驾措m 渺 6 高阶非齐次方程x o l t x 1 q l x f 厂 f 待定系数法 先求齐次方程的一个基本解组鼍 f x 2 t X n t 再视厂 f 的形式及与 特征值的关系求非齐次方程的特解i f 类型 I h o t m b i t 所一1 k l t b m e A 特解 i 产 B o t m B i t 肼一1 一l t B m e 舡 其中k 为特征方程F A O 的根五的重数 当F 允 0 时k 0 骂为待定常数 将特解可代入方 程 5 比较f 的同幂次系数 可得一系列马的线性方程 解之得B 类型I I f t A t c o sf i t B t s i nf l t e 引 4 r B t 是f 的最高 次数为m 次的实系数多项式 设名 a i f l 为特征方程F A 0 的k 重根 则方程 5 有特解i 产 P t c o sp t Q t s i nf l t e 伽 P f Q f 为待定的f 的最高次数为m 次的实系数多项式 将特解i 代入方程 5 比较 的同幂次系数 可得一系列线性方程 解之得特解 7 欧拉方程x n y 一 a l x 肛1 y 肛1 一l x y a n Y O 可通过变换 X e t f l n x 变为常系数线性齐次方程 以f 为自变量 中山大学硕士n J v 位论文 以 b l Y 以一1 一l Y b n y 0 其特征方程为 K k 一1 K 一疗 1 a l K k 一1 K 一疗 2 0 方程的m 重实根K K o 对应微分方程的m 个解 x K X 岛l l x l x I n 2I x l x 岛I n 脚 1I x I 方程的m 重复根K a i p 对应微分方程的m 对实值解 工口c o s Sl nx x 口s i n pl nl x l X 口I nl x lc o s i nl x l x 口I nl x ls i n pl nl x D I n 1H c o s l l l 帅 矿I n 脚 1I x l s i n p i n l x l 2 2 4 常系数线性微分方程组戈 A x f t 1 常系数线性齐次方程组文 A x x O r 指数函数法 求矩阵么的特征值及其重次丑 吃i 1 i n 对每一特征值五求吩个特征向量或特殊向量 五E 一彳 哪辑 0 由初值条件确定独立的特征向量或特殊向量值U t r U I 计算通解 m 纠静叫叶 如要求 f e x p A t 可令r 为单位向量 从而组成标准基解矩阵 注亦可直接应用矩阵指数函数M a t r i E x p Af M a t h e m a t i c a 或 e x p A 奎f M a p l e 2 常系数线性齐次方程童 A x 若尔当标准形法 求彳的若尔当标准形 T A T J 其中 为乃维 3 J j 九j 1 九j 1 1 入i 中山大学硕士学位论文 e x p J t 若尔当标准形函数为 方程戈 出有标准基解矩阵e x p 4 t T e x p J t T 1 其中 e x p J l t e x p j 毒 e x p J l t e x p J l 1f 1 21 吩一1 1 1r 二 吩一2 1 方程膏 血有基解矩阵为 不必求T v t T e x p J t 3 常系数线性齐次方程叠 血微分方程方法 求么的特征值 五 以 不必相异 解微分方程 h 五 i r j 一 乃 歹 2 3 刀 吒 o 1 r j 0 0 2 3 刀 多计算B E 弓 I I 彳一五E 1 2 挖 k l 方程膏 A x 的标准基解矩阵为 4 非齐次方程叠 A x f t 常数变易公式 x o f 一1 f 0 7 7 o 一1 0 o a s 2 2 5 常微分方程 组 的向量场和积分曲线 轨线 图 向量场图必须确定其范围及向量的大小密度 积分曲线 轨线 图要先求 给定初值和时间区间的方程的数值解 一般选自动定步长 再转换成图形 可 将同范围的向量场和多条积分曲线 轨线 合并成一个图形 以方便分析处理 2 2 6 拉普拉斯变换方法 对非齐次常系数线性微分方程 组 可用拉普拉斯变换化为代数方程 组 1 3 弓 O 0 脚 r4 p Xe 中山大掌硕士学位论J r 求解代数方程 组 后再通过反拉普拉斯变换得到微分方程 组 的解 在 M a t h e m a t i c 和M a p l e 中 由于拉普拉斯变换得到的变量符号较长 需重定变量名 较为方便 M A T L A B 则要另调用动态系统建模仿真软件包S i m u l i n k 或优化工具 箱使用专用模块进行处理 2 3 三种数学软件的常微分方程程序选 下面给出三种数学软件的常微分方程习题中的部分程序 仅列出纲目 具体 程序及结果见书 常微分方程学习辅导与习题解答 3 l 第十章 E x 5 3 3 2 表 常 微分方程 第3 版 t 3 0 j 中 5 3 习题3 2 余类推 2 3 1M a t h e m a t i c a 程序 2 311 辅助计算 1 微分 积分D x D x n D t f x N D f x x O I n t e g r a t e f x I n t e g r a t e f x 如b N I n t e g r a t e f x a b 2 求行列式 逆矩阵和转置矩阵D e t A I n v e r s e A T r a n s p o s e A 3 求矩阵特征方程 特征值和特征向量 E x 5 3 3 2 4 求奇点 解方程组 E x 6 1 3 2 5 微分方程数值解E x 3 5 1 计算结果见 常微分方程学习辅导与习题解 答 3 4 6 1 2 312 辅助判断 1 恰当方程E x 2 3 1 1 2 积分因子E x 2 3 2 5 3 里卡蒂方程E x 2 5 5 3 b E x 2 5 5 6 4 验证方程组解E x 5 2 8 1 5 判断奇点类型E x 6 3 1 2 2 3 1 3 绘图 1 平面向量场及轨线图貌 a E x 6 1 1 b E x 6 4 6 1 2 等高线图E x 6 6 2 2 3 空间曲线 曲面 a E x 6 5 4 b E x 6 6 6 1 4 中山大掌硕士学位论J r 2 3 1 4 解二阶及高阶微分方程直接求解 1 一阶微分方程E x 2 1 1 1 2 二阶及高阶微分方程 a E x 4 1 3 3 b E x 4 2 2 7 3 微分方程组 a E x 5 2 8 2 b E x 7 一l 2 4 微分方程近似解和幂级数解 a E x 3 1 1 b E x 4 3 2 2 5 矩阵指数 基解矩阵及微分方程组解 a 5 4 1 6 3 b E x 5 3 4 4 c E x 5 3 5 3 6 用拉普拉斯变换求微分方程组解E x 5 3 9 5 1 2 3 2M A T L A B 程序选 2 3 2 1 计算 1 矩阵计算E x 5 3 3 4 2 求特征值E x 6 1 4 1 3 求奇点 驻定解 解代数方程组E x 6 1 3 1 4 微分方程数值解E x 3 5 1 2 3 2 2 绘图 1 平面向量场及轨线图貌 a E x 6 4 1 7 1 b E x 6 4 6 4 2 等高线图E x 6 6 2 3 3 空间曲线 曲面 a E x 6 6 2 3 b E x 6 5 4 e 1 3 0 c E x 6 6 6 单孤子图 d E x 6 6 6 双孤子图 2 3 3M a p l e 程序选 2 3 3 1 辅助计算 1 微分 积分D e x D e x n D t f x N D f x x O I n t e g r a t e x I n t e g r a t e f x a b N I n t e g r a t e f x 岛b 2 求行列式 逆矩阵和转置矩阵D e t A I n v e r s e A T r a n s p o s e A 3 求矩阵特征方程 特征值和特征向量E x 5 3 3 3 4 求奇点 解方程组 E x 6 1 3 4 5 微分方程数值解E x 3 5 1 2 3 3 2 辅助判断 1 恰当方程E x 2 3 1 2 1 5 中山大掌硕士掌位论文 2 积分因子E x 2 3 2 2 3 里卡蒂方程E x 2 5 5 2 4 验证方程组解E x 5 1 1 1 5 判断奇点类型E x 6 3 1 1 2 3 3 3 绘图 1 平面向量场及轨线图貌E x 6 4 6 2 2 等高线图E x 6 6 2 1 3 空间曲线 曲面 a E x 6 5 4 c 1 2 0 b E x 6 6 6 2 3 3 4 解二阶及高阶微分方程直接求解 1 一阶微分方程E x 2 1 2 7 2 二阶及高阶微分方程 a E x 4 1 3 2 b E x 4 2 2 8 3 微分方程组 a E x 5 2 9 b E x 7 1 3 4 微分方程近似解和幂级数解 a E x 3 1 2 b E x 4 3 2 3 5 矩阵指数 基解矩阵及微分方程组解E x 5 3 5 3 6 用拉普拉斯变换求微分方程组解E x 5 3 9 6 2 7 解偏微分方程 a E x 7 2 3 b E x 7 2 9 1 6 中山大学硕士掌位论文 第三章科学计算自由软件S C l L A B 在常微分方程中的应用 3 1 科学计算自由软件S C I L A B 科学计算自由软件S C I L A B 于1 9 9 4 年由法国国立信息与自动化矿研究院 I N R I A 推出 是一种可以免费自由获取和使用的科学计算 开放源码 软件 S C I L A B 软件主要用于科学计算 有强大的计算 数据可视化功能及专用的工具 箱 还可以自行扩充 S C I L A B 的句法 功能和使用与行业软件M a t l a b 相类似 完全满足数学包括常微分方程的教学和研究的需要 但又可避免支付昂贵的软件 使用费 特别适合同学 老师个人使用 S C I L A B 是由S c i e n t i f i cL a b o r a t o r y 科 学实验室 两字的头三个字母组成 目前 S C I L A B 的最新版本为5 1 版 2 0 0 9 年2 月 可以通过网站如S C I L A B 主页h t t p w w w s c i l a b o r e 或S C I L A B 中国 网站h t t p w w w s c i l a b o r g o n 下载 S C I L A B 语言既免费 且要照顾灵活性 扩 展性 其界面及功能等相对于商业软件自然较为简单 S C I L A B 有直接交互运行的指令行操作和运行程序文件 称为脚本文件 两 种方式 均通过S C I L A B 界面调入内存后解释运行 S C I L A B 界面的主窗口菜单 有F i l e 文件 E d