数学教育评价的马尔科夫链模型应用.pdf

沈阳农业大学学报 社会科学版 2 0 1 0 0 7 1 2 4 4 6 8 4 7 1 J o u r n a lo fS h e n y a n gA g r i c u l t u r a lU n i v e r s i t y S o c i a lS c i e n c e sE d i t i o n 2 0 1 0 0 7 1 2 4 4 6 8 4 7 1 数学教育评价的马尔科夫链模型应用 董建国 惠淑荣 陈忠维 沈阳农业大学理学院 辽宁沈阳1 1 0 8 6 6 摘要 通过分析学生两次高等代数的测试成绩 应用马尔可夫链分析法考虑学生的原始状态 并在同一标准下把学生的原始成绩 分成相同的等级 确定出状态空间 然后得f 转移概率和转移矩阵 根据马尔可夫链模型的平稳性及遍历性求出极限向量 并进 行比较判断结果表明 学生学习状态的转移概率仅与教学质量和教学条件有关 而与学生的基础无关 运用该方法对教学质量的 评价说明 学生的进步情况比学生成绩本身更重要 客观地看出教师在教学方法上的优势和劣势 并使教师获取教学的反馈信 息 以对自己的教学行为进行反思和调整 促进教师教学水平的提高 关键词 马尔可夫链 教学评价 教学方法 转移概率 转移矩 极限向量 教学质量 中图分类号 G 4 2 4 7 4 G 4 0 0 5 8 1 G 6 4 2 4 文献标志码 A文章编号 1 0 0 8 9 7 1 3 2 0 1 0 0 4 0 4 6 8 0 4 马尔可夫链 M a r k o vc h a i n 是一个建立在随机过程的数学模型 1 2 1 由于在教学评价领域中 诸多评价对象 的形成过程可以看成或近似看成随机过程 加之评价者对了解评价对象将来价值状况的需要 使得马尔可夫 链在教学评价中得到广泛的应用 3 1 在建立马尔可夫链模型时 考虑到马尔可夫链在教学评价中的应用是基于 前后两次测试基础上的 即 前测与后测 基础上的 通过仔细地分析学生两次测试在不同成绩等级间的变化 构建转移矩阵 在假定保持教学质量稳定的条件下 得到的马尔可夫链的稳定分布状态 这样可以表明学生最 终达到的程度 从而对教师的教学能力进行较为客观的评价 一 理论与方法 一 马尔可夫链的理论思想 马尔可夫链 M a r k o vc h a i n 具体思想M 如下 首先 将M 个学生按考试成绩分为r 个等级 其次 定义随机 变量x 其值域为 1 2 r 它表示编号为m 的考生在第k 次考试中成绩所处的等级 k l 2 不妨假 定 x 帆 后 1 2 为一时齐马尔可夫链 该马尔可夫链的一步转移概率矩阵为 尸l l 尸1 2 P 2 l 如 P r 心 尸l 忍 只 其中B q x 巧J l 玑它表示考生转移概率 m 步转移概率矩阵为 尸蝗H 尸 产P 1 定理A 有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布 且此平稳分布为 7 r j l i m 俨嘞 V i j d r 2 定理B 若 乃 E 是不可约非周期马尔可夫链的平稳分布 则1 i mp 勺 乃 其中t 捌o P X m j l r 这说明若马尔可夫链 x m 后 1 2 经过足够长的时间后 P X m j 将趋向于稳定 记这个稳定的极限分布 为7 r 竹 仃 仃r 建立线性方程组即可求得7 r 给每个成绩等级 j 赋予一个分数戈f 依据多属性综合评价模式 中的线性加权综合法 令L i 7 r 搿为第i 个被评价班级的综合评价值 通过比较厶的大小 从而可以将各教 收稿日期 2 伽9 0 3 1 0 基金项目 国家科技部创新方法专项1 2 0 0 9 I M 0 1 0 4 0 0 l 作者简介 董建国1 1 9 7 9 男 沈阳农业大学讲师 硕士 从事数学物理方程与数学机械化研究 通讯作者 惠淑荣 1 9 6 3 J 女 沈阳农业大学教授 硕士 从事应用数学 统计预测与控制研究 万方数据 第4 期董建国等 数学教育评价的马尔科夫链模型应用 4 6 9 师的教学质量进行比较 二 改进的马尔可夫链模型 为了更能客观准确的评价两位教师的教学质量 来对前面所建立的马尔可夫链模型进行少许改动1 7 现 在考虑把学生前后两次考试成绩合并成一个样本 划分出在一定区间内的r 个等级 来计算学生状态向量 用 R 盟 坠 m r1 表示 其中 l 为学生总人数 m i 为第i i l 2 r 等级人数 同样把第二次考试成绩也按照r mm n 个等级的区间标准 求出一步转移矩阵P 盟盟 韭 m lm la t 盟堕 盟 r n 2 kr r t 2 盟坠 里L m 其中m i 仍表示最初阶段的第i 等级中学生数 表示阶段教学后属于第i 等级的学生其成绩归属于第J 类的学生数 且满足艺B 1 o P o 1 i j l 2 r 这样既能消除基础差异 又能集中反映其变化效率的优点 j l 为了避免马尔可夫链发生多步转移 以及要求在极限状态下才能求得的稳定概率分布这一苛刻条件 通 过考虑在一步转移矩阵后 利用学生 进步度 把握其整体进步情况 现假设把i 等生培养成 施 等生就是进 步 反之就是退步 把握住这一点就可消除基础差异 同时又能体现出教学效果的好坏 建立如下模型 1 z y L i j 3 p o 业芒堕 i j l 2 厂 其中L F 称为P i 的转移进步度 G j 3 称为P F 的权重 i j 值的 I i 大小和正负表示进步或退步的程度 指数 3 是用来调节正负和权重大小 2 定义二 o 产I 挚I 称为转移矩阵p 的进步矩阵 r 7 3 定义三Q L G 切 j 罢址称为转移矩阵p i 的效率度 1 j l i 1 i 1i 1j l i 二 概率模型应用实例 在教学实践中 利用马尔可夫链法对数学教学进行评价 先刻画转移概率矩阵 由此对当前状态进行评价 先求出一步转移概率矩阵 采用或 蚴 i j E l 作为B 的估计量 其中慨表示考试成绩等级这次为i 而 下一次为 7 的人数 一步转移频数 尬表示这次考试成绩等级为i 的人数 现有教师矾和形 分别负责某年级 A B 两个班的高等代数的教学 以全体学生的高等代数成绩为研究对象 4 B 两个班的高等代数成绩数据来自 于沈阳农业大学理学院2 0 0 7 2 0 0 8 级学生的两学期高等代数的考试成绩 第一学期结束时进行测试 作为初 始状态 第二学期 教师对教学方法做了适当的改变 学期末进行第二次测试 作为转移后的状态 学生的两学 期期末考试成绩 分为9 0 分以上优 8 0 9 0 分为良 7 0 一7 9 分为中等 6 0 6 9 分为及格 5 9 分以下为不及格等 五个等级 通过统计可以看到A 日两个班学生成绩的转移情况 表1 然后按照上面的方法统计各状态之间的一步 转移频数和各状态的频数 表2 通过计算得到A 班学生第1 次 第2 次的平均成绩为7 4 0 0 6 8 1 5 B 班学生 第1 次 第2 次的平均成绩为7 4 8 8 7 9 3 8 因为平均成绩不能反映总体的前进程度 所以不能说B 班教学效果 好 必须和自己的过去比较 因此可用马尔可夫模型来分析 设第一次测验后各等级水平的学生人数分别为m m a m m 4 m 第二次测验后 原来9 0 分以上学生成绩的m 名学生中 仍保持者有m 人 下降为8 0 8 9 分者有 m 人 可得出第一次考试成绩在9 0 分以上的学生的成绩转移隋况 虹 三地 坠 盟 旦虹 同理 可求其他各 万方数据 4 7 0 沈阳农业大学学报 社会科学版 第1 2 卷 等级学生的成绩转移情况 率 转移矩阵数为只 岛 0 0000 O2 74 7l 70 只 f 01 1 25 1 2 5 1 21 1 2 0 O 2 4 1 4l 4 O 0 0 l0 根据表2 计算出各转移概 表IA B 班测试成绩转移的情况 毕 1 21 2 000 1 96 92 90 0 O2 64 600 o 15 n 1Q 0 0010 设在平稳状态下 马尔可夫链的状态概率分布 状态向 量 为 7 r z r I 7 r 2 仃5 7 r 7 r P f 啊r T r P 把只 R 分别代人线性方程组 亡 i 乞乃 1 乃 o I 卢1 分别求解线性方程组 解得 T T A 0 0 0 4 6 8 0 4 0 1 3 0 4 1 4 7 0 1 3 7 1 仃庐 0 1 1 7 6 0 5 2 9 4 0 3 5 2 9 0 0 在前面所分的学生成绩五个等级中选取五个值来 进行计算 经过计算L 6 5 5 7 庐7 8 7 8 8 即厶吐即通 过建立马尔可夫链模型计算看出 两个班开始的综合 水平差不多 在经过一段时间之后 两个班的综合水平 为厶吐 即形 的教学质量优于矾 学号第1 次成绩第2 次成绩学号第1 次成绩第2 次成绩 百 矿 r 丁 百 矿 r 可 17 08 46 58 91 47 86 68 06 8 27 3 8 47 0 8 8 1 58 47 38 38 7 37 5 7 06 5 7 5 1 67 l5 75 36 l 48 49 56 59 2 1 77 48 46 88 5 57 0 8 8 6 4 9 01 87 67 57 97 7 67 l 6 37 6 7 7 1 96 86 57 47 1 77 38 46 38 5 2 06 58 95 47 7 88 37 27 77 62 16 96 37 l 7 1 98 56 37 37 42 28 16 38 2 8 0 1 07 5 8 57 58 82 38 78 07 87 7 1 17 16 8 7 4 7 4 2 47 4 9 3 7 58 7 1 25 85 1 6 0 6 5 2 56 97 26 88 5 1 38 88 57 88 92 65 27 56 2 7 6 表2A B 班各成绩等级之间的一步转移频数 转移频数 状态 上上堕型竺 A BABAB ABABAB 优01010 00 00 0 0 2 良0126 4 2l00 07 9 中00125 45 0 101 26 及格00 012 51110 4 7 不及格00 0 00 03 20 03 2 在例子中 第一学年末两个班的等级状态向量 尺似 鲁 击 罟 砉 砉 尺 毋 吉 蚤 鲁 击 砉 经过一段时间教学后 两个班学生的成绩都有所变化 通过第二次考试 得到了两个班成绩的转移矩阵只 岛 根据定义二 来求出两个班的进步矩阵 OO00 00 4 7 8 7 L A 1 01 1 20 5 1 2 0O2 40 000l O 0 8 1 2 一l 4 0 L n 0 1 200 O 1 9 0 2 900 0 2 6O O 0 b8 ns nQ Q 00010 由定义三可得效率值Q J 一2 4 6 4 3 Q L B 3 2 6 5 1 从模型直观上看 假如教学效率高 把i 等生培养成砸巧 等生就多 i j 的值为正 Q l o 睾为正 i 1 j r o i 值的可能就大 由此说明B 班的教学效果明显比A 班好 且分析结论与前面方法得到的结论一致 三 结论与启示 在数学教学评价中 只是通过总分和平均值是难以评价教师的教学水平 因为学生原始的成绩影响以后 的成绩 所以相对于学生自己成绩的提高才是有效反映教师水平的指标 而以前文献中马尔可夫链建立的模 型 因前后价值状态不一致而构建的可疑转移矩阵 以及使用极限状态向量来解决当前实际问题的弊端 本研 究通过对马尔可夫链的改进 给出一种关于教学质量评价比较的合理方法 并充分利用了马尔可夫链中一步 转移矩阵的基本特征 能够准确合理地对教师的数学教育进行评价 万方数据 第4 期 董建国等 数学教育评价的马尔科夫链模型应用 4 7 1 参考文献 l 张广全 孟宪礼 经济管理中的数学模型与方法 M 北京 中国经济出版社 1 9 9 0 2 何江宏 基于M a r k o v 链的最优化预测模型及其应用研究f J l 合肥学院学报 2 0 0 6 1 6 1 1 2 2 1 2 6 3 3 朱瑜馨 张锦宗 朱瑜莉 马尔可夫模型的教学效果演变研究 J 山东理工大学学报 自然科学版 2 0 0 4 1 8 5 7 8 8 0 4 N O R R I SJR M a r k o vC h a i n s M C a m b r i d g e C a m b r i d g eU n i v e r s i t yP r e s s 1 9 9 7 1 6 9 1 8 2 5 D I A C O N I SSH O L M E S N E A LRM A n a l y s i so fAN o n r e v e r s i b hM a r k o vC h a i nS a m p l e r R A n n a l s o fA p p l i e dP r o b a b i l i t y 2 0 0 0 7 2 6 7 5 2 6 马振华 现代应用数学手册t M 北京 清华大学出版社 2 0 0 2 5 2 1 5 2 7 7 A L D O U SD S o m eI n e q u a l i t i e s f o rR e v e r s i b l eM a r k o vC h a i n s R 1 L o n d o nM a t hS o c i e t y 19 8 2 5 6 4 5 7 6 8 B A L A S U B R A M A N I A NV E q u i v a l e n c ea n dR e d u c t i o no fH i d d e nM a r k o vM o d e l s R 1 T e c h R e p A I T e c h n i c a lR e p o r tN o 1 3 7 0 M I TA r t i e i a lI n t e l l i g e n c e1 a h o r a t o r y 1 9 9 3 1 9 6 2 1 4 9 K E I L S O N nJ M a r k o vC h a i nM o d e l s R a r i t ya n dE x p o n e n f i a l i t r M N e wY o r k S p f i n g e r V e r l a g 1 9 7 9 3 4 2 3 7 6 1 0 胡腾波 马尔科夫链模型在G I S 数据预测中的应用 J 计算机系统应用 2 0 0 8 8 9 0 一9 3 l l 李东 苏小红 马双玉 基于新维灰色马尔科夫模型的股价预测算法 J 哈尔滨工业大学学报 2 0 0 3 3 5 2 2 4 4 2 4 8 A p p l i c a t i o no fM a r k o vC h a i nM o d e lt oM a t h e m a t i c sE d u c a t i o nE v a l u a t i o n D O N GJ i a n g u o H U IS h u r o n g C H E NZ h o n g w e i C o l l e g eo fS c i e n c e S h e n y a n gA 咖u l t u r a lU n i v e r s i t y S h e n y a n g11 0 8 6 6 L i a o n i n gP r o v i n c e C h i n a A b s t r a c t S t u d e n ts c o r e si nt w oh i g h e r a l g e b r a t e s t sa r e a n a l y z e d a n yg i v e n s t u d e n t s o r i g i n a ls t a t e i s c o n s i d e r e db a s e do nt h eM a r k o vc h a i na n a l y s i sw h i l et h es t u d e n t s o r i g i n a lr e s u l t sa r ed i v i d e di n t ot h es a m e c l a s su n d e rt h es a m es t a n d a r d s n a m e l y t h es t a t es p a c ei sd e t e r m i n e d t h e ns t e pt r a n s f e rp r o b a b i l i t ya n ds t e p t r a n s f e rm a t r i xa r eo b t a i n e d a n dt h el i m i tv e c t o ri sa c h i e v e d a tl a s t a c c o r d i n gt ot h eM a r k o vc h a i n 7 S s t a t i o n a r y a n dp e r i o d i c i t y A sar e s u l to ft h ep r o c e s sa b o v ei t i ss e e nt h a tt h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yo ft h e s t u d e n tl e a r n i n gs t a t ei sr e l a t e do n l yt ot h eq u a l i t yo ft e a c h i n ga n dt e a c h i n gc o n d i t i o n sa n dh a sn o t h i n gt od o w i t hs t u d e n tf o u n d a t i o n