立体几何练习题.doc

立体几何测试题1以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（ ）A球的三视图总为全等的圆B正方体的三个视图总是正三个全等的正方形C水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形D水平放置的圆台的俯视图是一个圆2圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ）ABCD3正方体中，、分别是、的中点那么，正方体的过、的截面图形是（ ）。A三角形 B四边形 C五边形 D六边形4将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A B C D5正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A75B60C45D306正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧面积为（ ）A24 B12 C D7设是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题若，则；若l上两点到的距离相等，则；若若其中正确的命题是（ ） ABCD8在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）。 ABC/平面PDF BDF平面PA E C平面PDF平面ABC D平面PAE平面 ABC9一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A. B. C. D. 10（文科）如图1，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是（ ）。ABCDABCDA1B1C1D1EFG图1（理科）甲烷分子结构是：中心一个碳原子，外围四个氢原子构成四面体，中心碳原子与四个氢原子等距离，且连成四线段，两两所成角为，则cos值为（ ）A B C D11在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为（ ）A B C D12已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离是的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是 （ ）A B C D13正三棱锥PABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则P点到面ABC的距离是 14（文科）三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是6，8，10，则OP的长为 。（理科）已长方体的全面积是8，则其对角线长的最小值是 PABDCM图215如图2，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足 时，平面MBD平面PCD16在空间中：若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线以上两个命题中，逆命题为真命题的是 （把符合要求的命题序号都填上） 17如图3所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？图3 18矩形中，平面，边上存在点，使得，求的取值范围图419如图4，在三棱锥P-ABC中，点，分别是的中点，底面.（1）求证/平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值的大小ABCDD1C1B1A1图520（文科）如图5，已知直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB/CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的余弦值。ABCDFA1B1C1D1图6（理科）如图6，在棱长，的长方体中，点E是平面BCC1B1上的点，点F是CD的中点（1）试求平面AB1F的法向量；（2）试确定E的位置，使 平面。21如图7所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点（1）求二面角-MN-B的正切值；ABCMDNP图7（2）画出一个正方体的表面展开图，使其满足“有4个正方形相连成一个长方形”这一条件，并求展开图中P、B两点间的距离(设正方体的棱长为1).22一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图8），现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处（其中PQ水面），求小船与汽车间的最短距离为.（不考虑汽车与小船本身的大小）图8PQ参考答案：1选A。画几何体的三视图要考虑视角，对于球无论选择怎样的视角，其三个视图均为全等的圆。2选C。圆柱的底面积为S，则底面半径，底面圆的周长是，故侧面积。 3选D。通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形。ABCDS第5题图O 4选C。正方体削成最大的球，即正方体棱长为球的直径，即，故。5如图所示，设侧棱与底面所成的角为，则，所以。6选A。由底面边长为2，可知底面半径为2，由勾股定理可知侧棱长为2，所以。7选D。命题和可能平行；命题中和相交。ABCD第9题图PABCO第8题图H8选C。如图所示：取DF的中点O，易证为二面角的平面角，因为P点在底面上的射影是底面的中心，故不可能为直角，所以平面PDF与平面ABC不垂直。9选B。还原成平面图形为如图所示的直角梯形，且，故。10（文科）如图所示，连结、，则或其补角是异面直线A1E与GF所成的角，由余弦定理：，所以。ABCDA1B1C1D1EFG第10题（文）图PABCHOD第10题（理）图（理科）选A。 即正四面体的各顶点与中心连线所成的角，如图，设棱长为1，则有：，设，在中，由得：，故。ABCA1B1C1第11题图11设点A到平面的距离为，则由可得：。12曲线在过A的三个面上都是以A为圆心，为半径的四分之一圆弧，所以曲线的总长度为。11O第14题图13设P点到面ABC的距离为，由体积公式可得：，故。14如图，构造长方体，其中侧面AO，BO，A1O所在的平面即为已知的三个两两垂直的平面，则长方体的长、宽、高分别为6，8，10，而OP的长即为长方体的体对角线的长，所以OP2=36+64+100=200 故。（理科）设长方体的长、宽、高分别为，则，对角线15答案：BMPC（或DMPC）底面四边形ABCD各边都相等，所以四边形ABCD是菱形，故ACBD，又因为PA平面ABCD，所以PABD，又，所以BD平面PAC，即有PCBD，故要使平面MBD平面PCD，只须BMPC，或DMPC 16答案的逆命题是：“若四点中的任何三点都不共线，则这四点不共面”，为假命题，反例可以找正方形，没有三点共线，但四个顶点共面；的逆命题是：“若两条直线是异面直线，那么这两条直线没有公共点”，由异面直线的定义知这个命题正确 17解：；。因为，故冰淇淋融化了，不会溢出杯子。18如图，连结AQ，PQQD，PAQD，PQPA=P，QD平面PQA，于是QDAQ，在线段BC上存在一点Q，使得QDAQ，等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点，,2.PABCDQ第18题图 PABCDEFO第19题图19（1）、分别为、的中点 ，又平面， 平面.(2) ，又平面，.取中点，连结,则平面.作于F,连结,则平面,是与平面所成的角在中，所以与平面所成的角正弦值为.ABCDD1C1B1A1H第20题文图20（文科）由题意ABCD，C1BA是异面直线BC1与DC所成的角。连结AC1与AC，在RtADC中，可得AC=。 又在RtACC1中，可得AC1=3。在梯形ABCD中，过C作CHAD交AB于H,得CHB=90，CH=2，HB=3, CB=。又在RtCBC1中，可得BC1=，在ABC1中,cosC1BA=，C1BA=arccos所以异面直线BC1与DC所成角的余弦值大小为ABCDFA1B1C1D1第20题理图xyz（理）如图，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B1（2，0，3），F（1，2，0），（1，2，0）。（1）设平面AB1F的一个法向量为，由得即，可取平面AB1F的一个法向量为ABCMDNPEABDCCDBPP第21题（1）第21题（2）（2）D1（0，2，3），设E（2，y，z），则，由（1）知，平面AB1F的一个法向量为，要使D1E平面AB1F，只须使，令，即当E点坐标为（2，1，时，D1E平面AB1F21设棱长为1,取MN的中点E,连结BE, 正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别为棱AB、BC的中点，,是二面角的平面角.且BE=.(2)展开图如右图所示. P、B两点间的距离共计4种情况,PB=； PB=；PB=； PB=.求得其中一个即可.AQPBC22设经过时间t汽车在A点，船在B点，如图所示，则AQ=3020t，BP=4010t，PQ=20,且有AQBP，PQAQ，PQPB，设小船所在平面为,AQ,QP确定平面为,记=l,由AQ，AQ得AQl，又AQPQ，得PQl，又PQPB，及lPB=P得PQ.作ACPQ，则AC.连CB，则ACCB，进而AQBP，CPAQ得CPBP，AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（4010t）2+(3020t)2=1005(t2)2+9，t=2时AB最短，最短距离为30 m.备用题：1正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，则A1C与DE所成的角的余弦值为（ ） A B C D A1ABB1DD1CC1RE图解：选A分别以DA、DC、DD1为轴、轴、轴，设棱长为2，则，故有：，由。所以A1C与DE所成的角的余弦值为。 2如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 .解：这种题型最直接的解决方法就是还原法，根据三视图画出它的立体图形。本题的立体图形如下，所以正确答案应该是5个。3已知A，B，C，D为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD的距离等于_。解：易知四面体ABCD是以棱长为2的正四面体，球心为正面体的中心，可求得正四面体的高为，球的半径为，所球心到底面的距离为。4已知平面a与平面b交于直线l，P是空间一点，PAa，垂足为A，PBb，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在b 内的射影与点B在a内的射影重合，则点P到l的距离为_.解：因为“点A在b 内的射影与点B在a内的射影重合”，记为H，则四边形PAHB为矩形，所以点P到l的距离为矩形的对角线，对角线的长度为，所以P到l的距离。5在中，所在平面外一点到A、B、C的距离都是14，则点P到面ABC的距离为 解：由P到A、B、C的距离知，P点在底面上的射影O为底面的外心，故，即，设P到面ABC的距离为，则。6在梯形中，分别是上