第5章 一元一次方程章末56道压轴题型专训（8大题型）（学生版）

专题06一元一次方程章末56道压轴题型专训（8大题型）题型一根据等式的性质解方程题型二一元一次方程的含参问题题型三一元一次方程的规律问题题型四一元一次方程的新定义问题题型五一元一次方程解的计算压轴题题型六一元一次方程解的拓展问题题型七一元一次方程的综合应用题型八一元一次方程与数轴有关问题【经典例题一根据等式的性质解方程】1．（24-25七年级·江西南昌·单元测试）利用等式的性质解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）.2．（2025七年级上·浙江·模拟预测）利用等式的性质求下列一元一次方程的解，并写出检验过程．(1)；(2)．3．（2025七年级上·山东·模拟预测）利用等式的性质解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．4．（24-25七年级上·山东泰安·课后作业）能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？5．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）小丽学完分式方程之后解一道分式方程过程如下：第一步：整理第二步：去分母……．(1)请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______；(2)请把以上解分式方程的过程补充完整．6．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤．在后面的括号内填写变形依据．解：原方程可变形为去分母，得（

）去括号，得（

）（

），得（

）合并同类项，得．（

），得，（

）7．（24-25七年级·江西南昌·单元测试）小明学习了“等式的基本性质”后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程，等式的两边同时加上2，得，然后等式的两边再同时除以x，得.”（1）请你想一想，小明的说法对吗？为什么？（2）你能用等式的性质求出方程的解吗？【经典例题二一元一次方程的含参问题】8．（24-25七年级上·重庆忠县·期中）设为有理数，已知关于的一元一次方程．(1)若方程与已知方程的解相同，求的值；(2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解．9．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；(2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值．10．（24-25七年级上·江西南昌·期中）如果，我们把数和称为等式的“共和数对”，记作．(1)，可以称为等式的“共和数对”的是________；(2)若是等式的“共和数对”，求的值；(3)已知为常数，无论取何值，总是等式的“共和数对”，求的值．11．（24-25七年级上·重庆·期中）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“至诚方程”，例如：方程的解为，而，则该方程是“至诚方程”．请根据上述规定解答下列问题：(1)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求m的值；(2)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求代数式的值．12．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）已知关于的方程．(1)若，求该方程的解；(2)若是方程的解，求的值；(3)若该方程的解与方程的解相同，求的值；(4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值；(5)若该方程有正整数解，求整数的最小值．13．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”．例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”．(1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______；(2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解；(3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解．14．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”．(1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______；(2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值：(3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）；(4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______．【经典例题三一元一次方程的规律问题】15．（24-25七年级上·河南焦作·期中）有一列数，按一定的规律排列：，其中某三个相邻的数的和是，这三个数分别是多少？16．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的．(1)根据规律，第4个图中白色小正方形共有_____个，灰色小正方形共有_____个；(2)第个图形中，白色小正方形共有_____个，灰色小正方形共有_____个（用含的式子表示，为正整数）；(3)白色小正方形可能比灰色小正方形正好多64个吗？如果可能，求出的值；如果不可能，请说明理由．17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？（2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）；（3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来．18．（24-25七年级上·广东广州·期中）数学综合与实践课上，王老师和同学们一起利用循环小数的循环规律，根据设计了“”的图案（教材第70页）．我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．我们以无限循环小数为例进行探究：设…，两边同乘以10得：，即，解得，∴．请仿照这一方法解决以下问题：(1)无限循环小数写成分数为．(2)大小比较：1．（选填“＞”“＝”或“＜”）(3)请把无限循环小数写成分数．19．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和．(1)则_______，________；，两点之间的距离为_______；(2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点；(3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数．20．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）探究规律，完成相关题目．定义“△”运算：；；；；；；．(1)归纳△运算的法则：两数进行△运算时，______；（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行△运算，或任何数和0进行△运算，______．(2)计算：_______．(3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．21．（24-25七年级上·江西南昌·期中）数学小组活动中，某同学发现了数正方形的规律，如图，每个小正方形的边长为1，的正方形的正方形的长方形边长为1的正方形数量：4边长为2的正方形数量：1正方形总数：5边长为1的正方形数量：①边长为2的正方形数量：4边长为3的正方形数量：1正方形总数：②边长为1的正方形数量：12边长为2的正方形数量：③边长为3的正方形数量：2正方形总数：④(1)数一数，填写以上空白处的数量：①________，②________，③________，④________；(2)已知长方形网格中的正方形总数为44，写出一组符合条件的，的值________，________（其中，）．【经典例题四一元一次方程的新定义问题】22．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义一种新运算，规定(、是有理数)．例如：(1)计算；(2)若，求的值；(3)比较与的大小．23．（24-25七年级上·广东梅州·期中）对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为如：．(1)计算：①，②；(2)若是关于x的一元一次方程，且方程的解为，求m的值；(3)若，且，求的值．24．（24-25七年级上·吉林长春·期中）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值．(2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的解．25．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）计算题．①②③④对于数定义新运算，，那么．求的值．⑤⑥⑦⑧⑨⑩26．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义一种新运算“★”，其运算方式如下：……观察式子的运算方式，请解决下列问题：(1)这种运算方式是：______（用含m，n的式子表示）；(2)解方程；(3)若关于x的方程的解为整数，求整数a的值．27．（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）解方程（2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论：当时，原方程可化为．解得．符合．当时，原方程可化为．解得．符合．所以原方程的解为或．请你类比此法解方程：．（3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．28．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”．(1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”：①______，②

______；(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值；(3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值．【经典例题五一元一次方程解的计算压轴题】29．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）解方程：(1)；(2)．30．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）计算下面各题．(1)．(2)．(3)．(4)．(5)（解方程）．(6)（解方程）．31．（2025七年级上·江苏南通·模拟预测）对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算：(1)若，求的值；(2)若，，且，求的值；(3)若和均为正整数，且满足，直接写出的值．32．（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”．(1)判断：与__________（填“是”或“不是”）互为“优雅方程”；(2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值．33．（25-26七年级上·江西南昌·课后作业）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”．(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”．(2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值．(3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解．34．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值：(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值；(3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程是“美好方程”，求的值．35．（24-25七年级上·江西南昌·期中）对于方程，小华同学的解法如下：解：将原方程化为．…第一步，得．…第二步去括号，得．…第三步移项、合并同类项，得．…第四步系数化为1，得．…第五步(1)第二步进行的是，这一步的依据是；以上求解步骤中，从第步开始出现错误．(2)请写出正确的解答过程．【经典例题六一元一次方程解的拓展问题】36．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）一杯盐水，盐占盐水的，又加入盐后，盐占盐水的，原来盐水有多少克？（用方程解答）37．（2025七年级上·湖南邵阳·模拟预测）甲、乙两个缸里都放有水，第一次把甲缸里的水往乙缸里倒，使乙缸的水增加一倍．第二次把乙缸里的水往甲缸里倒，使甲缸所剩的水增加一倍．第三次又把甲缸里的水往乙缸里倒，使乙缸所剩的水增加一倍．这样一来，两缸里各有水64升，问两个缸里原有的水各是多少升？38．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）只列式不计算(1)一种优质大米的出米率为78%，要碾出117千克大米，需要谷子多少千克？(2)学校刚竣工的学生宿舍楼投资了70万元，比计划节约了10万元，节约了百分之几？(3)小明3天看了这本书的，照这样计算，还要多少天才能看完？(4)小王在今年（2023年）的二月下旬加工一批零件，前3天共加工零件210个，在剩下的几天里平均每天加工55个，这个下旬平均每天加工零件多少个？39．（24-25七年级上·江西抚州·期中）发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数．如：，160是20的8倍；，640是20的32倍．(1)请你仿照上面的例子，再举出一个例子：（

）（

）．(2)若一个两位数，它的十位数字为1，个位数字为a，这个两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，求这个两位数．(3)设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y（，，且x，y为正整数），请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确．40．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）小明在数学活动课上学习了木杆挂重物问题，觉得意犹未尽，在课余时间制作了如图简易杆秤，其中秤盘质量，秤砣质量，秤纽与秤盘的水平距离为，秤纽与零刻线的水平距离为，零刻线与末刻线水平距离为．当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡．(1)求l，a的值；(2)小明将数学教材放在秤盘上，秤砣位于零刻线右侧处时，杆秤平衡，求数学教材的质量．41．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：（整个接水过程不计热量损失）物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度”．例：的开水与温水混合至50度，热传递关系为：(1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为______；②开水放出的热量为______（结果用含t的代数式表示）(2)小李同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水，求小李同学接温水和开水的时间分别为多少秒？42．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）【观察思考】如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案【发现规律】根据上述图案的摆放规律填空：（1）第5个图案中黄梅花的盆数为________；（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…，第个图案中红梅花的盆数可表示为_________；【解决问题】（3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中，红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍少5盆，求的值．【经典例题七一元一次方程的综合应用】43．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）王强和李刚从点同时出发，朝不同方向沿着长方形花圃边沿散步，结果在距离点的处第一次相遇，已知李刚的速度是王强的，此时李刚走了多少米？这个长方形花圃的周长是多少米？44．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）七（1）班准备开展元旦晚会，生活委员小文负责为班级购买各项物品，小文去“好运来超市”准备购买饮料，根据以下信息，探索完成任务：信息①：购买5瓶A品牌饮料与8瓶品牌饮料共76元；信息②：品牌饮料的单价比A品牌饮料单价的2倍少1元；信息③：购买1瓶A品牌饮料与1瓶品牌饮料需11元．(1)在信息①②③中任选两个作为条件，求A品牌饮料和品牌饮料的单价；(2)小文说：“我买了两种饮料，共50瓶，花了286元．”学习委员说：“你肯定弄错了”．请你用方程的知识计算一下，为什么说小文弄错了？45．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）列方程解应用题某建筑公司有甲.乙两个施工队，甲队的技术人员人数是乙队技术人员人数的2倍.今年公司进行人员调整，从甲施工队调出10名技术人员到乙施工队，结果两队技术人员相等了.（1）原来甲.乙两施工队各有多少技术人员（2）若这个建筑公司的人员人数比例是：领导:技术人员:工人=0.2:1:10，那么这个公司有多少人员？46．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产6个支架或15套脚踏板．(1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？配成多少套？(2)若每套太空漫步器的成本为200元，每套按成本加价销售，售出一部分后，出现滞销，工厂决定打八折出售剩余的太空漫步器，全部售出后共获利9200元，有多少套太空漫步器打八折出售？47．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）中国交通科技领跑世界一流水平，公路网络“四通八达”，公路养护效能高，让人们对“美好出行”的需要得到很好的满足．某一段公路的维修养护工程，有甲、乙两个工程队可供选择，承包单位发现：①若由乙队单独完成全部工程所需天数是甲队单独完成全部工程所需天数的1.5倍；②若由甲队单独施工5天后，再由甲、乙两队共同施工21天可完成剩余工程；③若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000，且每天的工程费用甲队比乙队多2000元．(1)求甲、乙两个工程队单独施工完成全部工程各需要多少天？(2)从节省工程费用的角度考虑，请你从甲，乙单独施工完成与甲、乙同时进场施工完成这三种施工方案中选择一种合适的方案？并说明理由；(3)若要使两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000元，则甲工程队至少要施工多少天？48．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，并且a，b满足．(1)求点A，B之间的距离；(2)点C在点A的右侧，点D在点B的左侧，为15个单位长度，为8个单位长度，求点C，D之间的距离；(3)动点P以3个单位长度秒的速度从点A出发沿数轴正方向运动，同时点Q以2个单位长度秒的速度从点B出发沿数轴负方向运动，求当（表示线段的长度）时点P表示的数是多少？49．（24-25七年级上·江西南昌·期中）某校组织学生参加2024年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况：参赛学生答对题数答错题数得分A200100B18286C15565请结合表中所给数据，回答下列问题：(1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分；(2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分；(3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）；A．75；B．63；C．56；D．44并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题）【经典例题八一元一次方程与数轴有关问题】50．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点A、B分别位于原点的两侧，，且，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动．(1)求数轴上点A，B对应的数；(2)当相遇时，求运动的时间．51．（24-25七年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，A，B为数轴上的两个点，A点表示的数为，B点表示的数为90.(1)请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数；(2)电子蚂蚁P从B点出发，以3个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q从A点出发以2个单位长度/s的速度向右运动，经过多长时间，这两只电子蚂蚁在数轴上到原点的距离相等?52．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）请利用数轴研究下列问题：(1)特例研究：数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______；(2)合理猜想：在数轴上，点、分别表示有理数，，则、间的距离为______；(3)结论应用：①数轴上表示和的两点和之间的距离是______（用含的式子表示）．如果，那么为______；②当代数式，则的值是______．53．（24-25七年级上·江西南昌·期中）数轴上有、、三个点，