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第二章多元函数微分学 1多元函数的基本概念 一 多元函数的概念 二 多元函数的极限 1 邻域 一 多元函数的概念 2 区域 例如 开集 连通的开集称为区域或开区域 例如 例如 有界闭区域 无界开区域 例如 3 聚点 内点一定是聚点 说明 边界点可能是聚点 例 0 0 既是边界点也是聚点 4 二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数 定义域 值域 自变量 因变量 例1已知函数求 解 例2设函数求 解 令 代入得 所以 例3求的定义域 解 例4求的定义域 解 例5求的定义域 解 定义域 5 二元函数的图形 二元函数的图形通常是一张曲面 如 单值分支 如 二 多元函数的极限 说明 1 定义中的方式是任意的 2 二元函数的极限也叫二重极限 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 例6求极限 解 例7求极限 解 令 例8求极限 解 其中 例9求极限 解 夹逼定理 例10求极限 解 夹逼定理 例11求极限 解 例12讨论极限 的存在性 当动点沿着x轴趋向点 0 0 即 解 时 不存在 不存在 例13证明不存在 证 沿三条不同的路径趋向于原点 0 0 轴 轴 不存在 例14证明不存在 证 取 其值随k的不同而变化 故极限不存在 不存在 观察 播放 确定极限不存在的方法 1 令 趋向于 若极限值与 有关 则可断言极限不存在 沿 2 找两种不同趋近方式 使 存在 但二者不相等 此时可断言 处极限不存在 在点 三 多元函数的连续性 定义3 例15讨论函数 在 0 0 的连续性 解 取 其值随k的不同而变化 极限不存在 故函数在 0 0 处不连续 例16 解 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 注意趋近方式的任意性 四 小结 多元函数的定义 思考题 思考题解答 不能 例 取 但是不存在 原因为若取 练习题 练习题答案 不存在 观察 观察 不存在 观察 不存在 观察 不存在 观察 不存在 观察 不存在
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