2-高等数学第二讲极限.doc

第二讲 极限2.1极限的概念和定义一、知识结构1、极限概念产生的背景为了把有限个数（式）的和转化成无限个数（式）的和、近似值转化为精确值，需要学习极限的有关概念和性质.例如，函数，和直线所围成曲边梯形面积的代数和.，其中划分，.再例如，函数，的图形为顶、为底所围成曲顶柱体体积的代数和.，其中划分，.，, ，,，, .2010年考研题：选择题: A ； B；C ； D.解 选 D. 因为,所以选 D.再例如，对无限个数的和， 可转化为有限个数的极限.2、极限的概念极限的概念 对于一个函数（，等），有两个相互关联的变化过程（当时，有或当时，有）：自变量和因变量的变化过程.当自变量的变化过程是一个趋向于确定点（无穷远点或有限点）时，因变量的无限变化过程是一个趋向于一个确定常数，我们称该常数为函数的极限.极限用于刻画自变量变化时，因变量的变化规律.3、极限的定义给极限下定义经常用以下语言：对，则有两个性质: 是一个要多么小有多么小的正数；是一个要多么大有多么大的正数. 所以，可以用来定义、 和.即， ， ， ， ， ，.因变量趋向于一个确定的常数, 因变量仅趋向于一个常数,而不是两个以上. 总结: 用是一个要多么小有多么小的正数这一性质来定义变量趋向于一个确定的常数, 用是一个要多么大有多么大的正数这一性质来定义变量趋向于无穷.(1) 一元函数极限(一元函数的收敛)的定义数列的极限（当时,有或 ()）, 数列是一个一元函数，.定义1 对，正整数，且,是的反比例函数.当时，有,其中是一个常数, 我们称数列的极限为或数列收敛于.说明: 正整数是的反比例函数,所以.由于表示所有的正数, 所以表示要多么大又多么大正整数. 用数列极限的定义证题时,关键是找到是的函数关系式,一般只要令,便可得到证明结果.定义的否定形式：，对正整数，当时，有,其中是一个常数. 我们称数列的极限不是或数列不收敛于,但不能说数列的极限不存在函数的极限(当, 时)定义2 对，正数，且是的反比例函数。当时，有,其中是一个常数, 我们称函数当时的极限为,记作,或().定义3 对，正数，且是的反比例函数。当时，有,其中是一个常数, 我们称函数当时的极限为,记作,或().定义4 对，正数，且是的反比例函数。当时，有,其中是一个常数, 我们称函数当时的极限为,记作,或().说明：以上称为函数极限的定义.定义5 对，且是的正比例函数。当时，有,其中是一个常数, 我们称函数当(从左边趋向于)时的极限为,记作,或()或.定义6 对，且是的正比例函数。当时，有,其中是一个常数, 我们称函数当(从右边趋向于)时的极限为,记作,或()或.定义7 对，且是的正比例函数。当时，有,其中是一个常数, 我们称函数当(从左、右两边趋向于)时的极限为,记作,或().说明：以上称为函数极限的定义，定义中的条件换为条件时，定义的适应范围变小.例如，将定义中的条件换为条件时，极限不存在.因为函数的分子与分母不能同除以（可能等于0），所以我们说极限不存在.关于左右极限的结论 存在(请同学给出证明).极限不存在的情况， ，.的定义：对，正整数，且,是的函数.当时，有, 我们称数列的极限为或称数列的极限不存在.的定义：对，且是的函数。当时，有,我们称函数的极限（当）为或称函数的极限（当）不存在.(2) 多元函数极限(多元函数的收敛)的定义以二元函数为例来研究多元函数极限的定义.二元函数极限的定义（当，时）定义1 对，且是的正比例函数。当，时，有,其中是一个常数，我们称函数当的极限为，记作或或（）.定义1 对，且是的正比例函数。当（）时，有（）,其中是一个常数. 我们称函数当的极限为，记作记作或或或（）.定义2 对，,，均是的反比例函数,当时，有,其中是一个常数.我们称函数当的极限为，或或（）.定义3 对，当时，有,其中是一个常数.我们称函数当的极限为,记作.定义4 对，且是的反比例函数，是的正比例函数。当时，有,其中是一个常数.我们称函数当的极限为.(3) 数列的上极限和下极限.如果数列当时趋向于多个常数,则称常数中的最大者为数列的上极限,最小者为数列的下极限.定义1 对，正整数，当时，有,其中是一个常数,我们称为数列的上极限,记作.定义2 对，正整数，当时，有,其中是一个常数.我们称为数列的下极限, 记作.例如,(西安交通大学2002年)设有数列:,则,.(4)函数列的极限函数列在上的极限定义1 设函数列，对，固定的，正整数，当时，有,其中是一个确定的函数.我们称函数列的收敛于.记作.函数列在上的极限（函数列的收敛于）定义2设函数列，对，对每一个，均正整数，当时，有,其中是一个确定的常数.我们称函数列的收敛于.记作.(5) 累次极限, ，累次极限定义1 对，每一个，当时，有，我们称函数当时的极限为，.并且对，当时，有,其中是一个常数. 称函数当,时的累次极限为.定义1对, ,当, 时, 有，,.累次极限定义2对， ，当,时，有，,.累次极限与重极限是两个不同的概念,它们的存在性没有必然联系.若和都存在,则.若和都存在但不相等,则重极限必不存在.4、函数列在上一致收敛于定义1 设函数列，对，正整数，当时，有,其中是一个确定的函数.我们称函数列一致收敛于.记作(双箭头), () .定义的否定形式: 设函数列， ，对正整数，的，有,其中是一个确定的函数.我们称函数列不一致收敛于.记作 , () .例如，函数列()在上收敛于，但不一致收敛于.取,则对(对正整数，当时),便可证明在上不一致收敛于.再例如,函数列()在上不但收敛于，还一致收敛于.2.2极限运算法则和性质一、知识结构1、极限运算法则(1)函数(有限个)和的极限等于极限的和(有限个),要求每个函数的极限均存在,且和函数中的函数个数为有限个.,其中均存在., 其中均存在.(2)函数商的极限等于极限的商，要求每个函数的极限存在,且分母的极限不为零., 其中均存在,且., 其中均存在, 且.(3)函数积的极限等于极限的积，要求每个函数的极限存在., 其中其中均存在.,其中均存在.例如,计算有误,虽然极限均存在,但是无限个.2、极限的性质(1)惟一性 若存在，则此极限是惟一的.(2)局部有界性 若存在，则在某空心邻域内有界.(3)局部保号性 若, 则在某空心邻域内大于零.(4)保不等式性 若均存在，且在某空心邻域内有(), 则.(5)迫敛性 设, 且在某空心邻域内有, 则.数列极限也有相应性质, 在此不再赘述.3、函数极限存在的条件(1)归结原则(把函数的极限问题转化为数列极限问题解决,因求数列极限问题简单)对任何，有.(2)柯西收敛准则(主要用于证明函数极限不存在)数列的柯西收敛准则定理1数列（）收敛的对，正整数，且是的反比例函数,当时，有.定理1的否定形式: 数列（）不收敛的 ，对正整数,的，有(用处大).函数的柯西收敛准则定理2 函数（）收敛的对，当且( )时，有.定理2的否定形式: 函数（）不收敛的，对，的，有.定理3 函数（）收敛的对，当且时，有.定理3的否定形式: 函数（）不收敛的，对，的，有.定理4 函数（）收敛的对，当且时，有.定理4 的否定形式: 函数（）不收敛的，对，的，有.定理5 函数（）收敛的对，当且时，有.定理5的否定形式: 函数（）不收敛的，对，的，有.4、两个重要的极限(1), 注意极限和极限的联系与区别.解 因为, 而,所以,进而.(2)，,注意极限和极限的联系与区别.解 .2.3 极限概念定义的应用用极限概念的定义我们可得到一些重要概念的定义，这种极限概念定义的应用如下：一、知识结构1、无穷大量和无穷小量(1)无穷小量定义1 若在内有定义，且，则称为当时的无穷小量；若在内有定义，且，则称为当时的无穷小量；若在内有定义，且，则称为当时的无穷小量；.无穷小量阶的比较定义2 当时,均为无穷小量,则(1) 若,则称当时为的高阶无穷小量.也称当时为的低阶无穷小量.(2) 若,则称当时,为的同阶无穷小量.(3) 若,则称当时,为的等价无穷小量.等价无穷小量一定是同阶无穷小量,但同阶无穷小量不一定是等价无穷小量.(2) 无穷大量定义3 若在内有定义，且，则称为当时的无穷大量;若在内有定义，且，则称为当时的无穷大量; 若在内有定义，且，则称为当时的无穷大量; .定义4 当时,均为无穷大量,则(1) 若,则称当时为的高阶无穷大量.也称当时为的低阶无穷大量.(2) 若,则称当时,为的同阶无穷大量.(3) 若,则称当时,为的等价无穷大量.2、曲线渐近线(1)曲线的斜(水平)渐近线为（当）或或.曲线的斜(水平)渐近线为（当）或或.曲线的斜(水平)渐近线为（当）或或.(2)曲线的有垂直于轴渐近线或或.3、函数的连续与一致连续(见第三讲)4、导数与微分(见第四讲)5、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分(见第五讲).二、解证题方法1、证明为主(1)定义法 用极限定义证明的方法例1 （清华大学2001年）设，用语言证明.分析 把化为含有,的式子.证明 因为，, 所以，对，正整数，当时，有,.,因为，并且可表示要多么小有多么小的正数，所以，对，正整数，当时，有,故.例2 （天津大学2005年）用语言证明.分析 把化为含有的式子.证明 对，当时，有,故.例3(汕头大学2003年)用语言证明，其中.并给出推广结论.分析 要由得到,则分母要出现.因为, 且, 所以要,则证明 因为, 且, 所以. 取，当时，有. 所以.上述结论可推广为,其中,.例4 （山东师范大学2005年）用定义证明.分析 中含有, 式子.（为正数） 证明 对()，,，当，时，有.例5(清华大学2003年)设在上有定义, ,且存在,使得当时, ,证明 .证明 因为，所以，对，当，时，有,其中是一个常数.因是要多么小有多么小的正数，所以可让.进而对，并且,当，时，有故.例6 证明 .分析 要，只需要.证明 对，且.当时，有,进而 .例7(重庆大学2010年) （1）叙述柯西收敛原理.（2）设数列满足：存在常数，使得，证明：数列收敛.解：（1）柯西收敛原理：数列收敛对于，整数，当时，有.（2）证明：设，因为数列单调递增有上界，所以数列收敛，进而级数收敛. 由此得.对于，整数，当,为正整数时，有.所以， 进而数列收敛.练习1(上海理工大学2005年)用极限的定义证明：当时, ,并讨论当时,极限是否存在. 如果存在,极限是多少?(提示 显然,当时, .当时, .当时,有)2 (中南大学2004年)证明数列极限的惟一性.3证明：如果，则存在正整数，当时，有.4 证明：如果，则存在正整数，当时，有.5 (复旦大学2001年)设,若,则(1) ;(2) .(提示: (1)用夹逼法:(2)用对数恒等式).6用的语言证明: .7 用的语言证明:如果，则.8求证: .(2)夹逼法用极限的迫敛性证明的方法例1 (陕西师范大学2002年)求.解 因为, 并且, , 所以.例2 (上海交通大学2002年)是非判断题. 若,并且存在, ,则数列必收敛.解 正确。 因为，并且，所以.又因,所以,即数列收敛.由数列收敛,则数列收敛.例3 (上海交通大学2004年)设,证明证明 因为，所以，对，正整数，当时，有,其中是一个常数.因为，所以.又因，所以.练习1(南京师范大学2005年)求.(提示:.)2(中国地质大学2006年)若,(),证明: .(提示:.)3(南京大学2003年)设,求.(提示: 对分类讨论)4 (山东科技大学2006年)求.(提示: )5 (陕西师范大学2003年,华东师范大学2006年)已知,求.6 (华东师范大学2005年)求.7 (青岛科技大学2005年)求.(提示: 利用不等式,注意到,.)8 (北京工业大学2004年) .9 (上海理工大学2005年) .(3)单调有界原理法在实数系中, 单调有界数列必有极限. 单调递增有界数列的上确界为数列的极限; 单调递减有界数列的下确界为数列的极限. 有界数列的上确界(supremum),有界数列的下确界( infimum).例1 (上海大学2006年)设,证明数列收敛并求极限值.解 显然，即数列有界.因,所以.进而知数列是单调递减有界数列,故数列收敛.设,因为,所以.解得,故.例2(厦门大学2004年) 求.解 令,则,即数列有界.又因为, ,所以.故数列单调递增有上界, 进而数列收敛.设,则,解得,故.例3(南京大学2003年)设,(),求.解 因为, 所以由数学归纳法知,().又因为,所以数列是单调递增有界数列, 进而数列收敛. 设,则,解得.所以.练习 1 (复旦大学2001年)数列可用下列递归方式定义:,(),请计算.2(厦门大学2005年)设,求.3 (华中科技大学2007年)设,(),证明数列收敛.4 (华南理工大学2005年)设,求.5 (华南理工大学2006年)设,证明数列收敛,并求.6 (重庆大学2003年,中南大学2004)证明:(1);(2)设,则的极限存在.7 (中国科技大学2001年)设是两个任意的正数,并且有下列递推公式成立: ,. 证明数列,均收敛,并且有相同的极限.8 (哈尔滨工业大学2005年)设,证明: 存在,并求其值.(4)柯西收敛准则法数列收敛的充要条件是: 对，正整数，当时，有.函数在内有定义,极限存在的充要条件是: 对，对,当时，有（即）.说明:，对正整数，当时，有.我们称数列的极限不存在或数列不收敛.，对正数，当时，有.我们称函数的极限不存在或函数不收敛(当).例1(南京理工大学2004年)叙述当时函数极限的Cauchy收敛准则,并用以说明函数在时的极限不存在.解 设在上有定义, ，当时，有.取,对,当时,其中,有,所以函数在时的极限不存在.例2(深圳大学2006年)证明:当时,函数的极限不存在.证明 取,对,对,当时，有，所以当时,函数的极限不存在.2、计算为主(1)初等变换例1 (重庆大学2003年)计算.解 .例2 (山东科技大学2001年)计算.解 .例3 (复旦大学2000年)计算.解 .(2)罗比达法则计算法（）例1 求解 .例2 求解 . .(3) 等价无穷小替换法当时，有，.例1(陕西师范大学2003年)求.解 .例2(苏州大学2004年)求.解 例3(华东师范大学2000年)求.解 .例4(华东师范大学2005年)求.解 .例5(数学（三）2011年)求极限.解 .(4)积分法求极限例1(兰州大学2006年)求(为正整数).解 .例2(电子科技大学2002年)求.解 因为,并且,所以.例3(上海大学2005年)证明: .证明 因为,所以.(5)两个重要极限法, ,(注意;); .(注意:)例2(2010年考研数学一)求极限.解 .(6)利用对数恒等式法（）例1(同济大学1998年)求.解 因为 ，所以.例2(北京大学2002年)求.解 因为,并且 ,所以.或 .例3(南京大学2002年)求.