2010年第四次月考卷数学.pdf

20102010 北京金园丁教育中心北京金园丁教育中心 第四次月考 上旬卷 第四次月考 上旬卷 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 60 分 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个 选项中只有一项是符合题目要求的 1 设 4 2 1 3 Ax xxBxx 或 则 R C AB A 2 4 B 2 2 C 2 4 D 4 4 答案 B 解析 由 1 331324xxx 所以 24Bxx 且 42 R C Axx 故 22 R C ABxx 选 B 2 理 设复数 12 1 2 1zi zi 则复数 1 2 z z z 在复平面内对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案 C 解析 复数 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 1 1 2 ziiii z ziii 故选 C 文 若向量 4 2 6 abm 且ab 则m的值是 A 12B 3C 3 D 12 答案 D 解析 由ab 得0242012a bmm 选 D 3 已知函数 23 loglog2f xaxbx 且 1 4 2009 f 则 2009 f的值为 A 4 B 2 C 0D 2 答案 C 解析 2322 1 loglog2 loglog2 4 4faxbxaxbxf x x 1 2009 40 2009 ff 4 理 若互不相等的实数a b c成等差数列 ca ab bc成等比数列 且15abc 则a A 20 B 5C 5 D 20 答案 D 解析 a b c成等差数列 则2bac 又15abc 所以5b ca ab bc 成等比数列 则 222 ababcabc 即 22 5 10 251000aaaa 解得 20 a 5a 舍 文 曲线 3 2yxx 在点 1 0 A处的切线方程是 A 40 xy B 420 xy C 440 xy D 440 xy 答案 C 解析 由于 2 31yx 得 1 3 14 x y 即直线的斜率为 4 所以切线方程是 04 1 yx 即440 xy 5 设AB是过抛物线焦点的弦 那么以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 A 相离B 相切C 相交D 不确定 答案 B 解析 如图 1111 AAAF BBBFABAFBFAABB 又 111 2AABBCC 所以 1 2ABCC 故以AB为直径的 圆与抛物线的准线相切 6 理 一枚硬币连掷 5 次 则出现正面向上的次数 的数学期望为 A 1 2 B 3 2 C 5 2 D 15 32 答案 C 解析 由题意知 1 5 2 B 所以 15 5 22 E 选 C 文 一枚硬币连掷 5 次 则至少一次正面向上的概率为 A 1 32 B 31 32 C 5 32 D 1 5 答案 D 解析 至少一次正面向上的对立事件为 5 次正面都不向上 都不向上的概率为 5 11 232 故至少一次正面向上的概率为 131 1 3232 选 B 7 中国古代 五行 学说认为 物质分金 木 土 水 火五种属性 金克木 木克土 土克水 水克火 火克金 将这五种不同属性的物质任意排成一列 属性相克的两种物质 不相邻的排列共 A 60 种B 24 种C 50 种D 10 种 答案 D 解析 第一个位置可以随意 有 1 5 C种 假设为金 而和金相克的有木 火 第二个位 置只能排土或水 有两种方法 第二个位置排好后 剩余的三种只能有一种排法 故共有 10 种 8 如右图 在正方休 1111 ABCDABC D 中 P为棱DC的中点 则 1 D P与 1 BC所在直线 所成角的余弦值等于 A 4 5 B 10 5 C 1 2 D 5 10 答案 B 解析 如图 连接 1 AD AP 则 11 ADBC 设正方体的棱长为 2 则 222 11 8 5 5ADAPD P 在 1 AD P中 由余弦定理得 222 11 1 11 855210 cos 252 8510 ADD PAP AD P ADPD 9 理 定义在 R 上的函数 f x的反函数为 1 fx 且对于任意xR 都有 3fxf x 则函数 1 fx 的图像一定过点 P 点 P 的坐标为 A 0 0 B 1 1 C 3 0 2 D 3 0 2 答案 C 解析 因为对于任意xR 都有 3fxf x 所以 3 2 0 3 0 2 ff 则 1 3 0 2 f 函数 1 fx 的图像一定过点 3 0 2 选 C 文 函数 1 23 x f x x 的反函数为 1 fx 则 1 1 f A 0B 1C 2D 3 答案 C 解析 由 1 23 x y x 得 31 21 y x y 所以 1 31 21 x fx x 故 1 1 2f 10 同时具有性质 最小正周期是 图像关于直线 3 x 对称 在 6 3 上是 增函数 的一个函数是 A sin 26 x y B cos 2 3 yx C sin 2 6 yx D cos 2 6 yx 答案 C 解析 函数sin 26 x y 的最小正周期为 2 4 1 2 T 排除 A 3 x 时 cos 2 0 6 x 排除 D 6 x 时 cos 2 cos01 3 x 函数cos 2 3 yx 在 6 3 不可能是增函数 故选 C 11 理 已知函数 3 5 1 2 1 axx f x a x x 是 上的减函数 那么a的取值范围 是 A 0 3 B 0 3 C 0 2 D 0 2 答案 C 解析 由题意知 30 0 235 a a aa 得 3 0 2 a a a 所以02a 文 已知函数 log 4 a f xx 在 0 4 上是增函数 那么a的取值范围可能是 A 1 3 B 1 0 2 C 0 2 D 1 答案 B 解析 分别令 12 1 2xx 得 1 log 4 1 log 3 aa f x 2 log 42 log 2 aa f x 而函数为增函数 所以得log 3log 2 aa 故01a 选 B 12 理 在ABC 中 0BA BC 是ABC 为钝角三角形的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 即不充分也必要条件 答案 C 解析 由0 cos0cos0BA BCBA BCBB 又角 B 是ABC 的内角 所以 角 B 为钝角 ABC 为钝角三角形 反之也成立 故选 C 文 斜率为 2 的直线l过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右焦点 且与双曲线的左右两 支分别相交 则双曲线的离心率e的取值范围是 A 2e B 13e C 15e D 5e 答案 D 解析 如图 当过焦点的直线的斜率小于渐近线的斜率 时 直 线 与 双 曲 线 的 左 右 两支 相 交 故2 b a 得 2222222 2445babacaaca 所 以 2 2 2 55 c ee a 选 D 第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 90 分 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线 上 13 已知 20 220 xy xy 则xy 的最小值是 答案 2 解析 如图所示的阴影区域为不等式组 20 220 xy xy 所表示的区 域 当直线yxz 经过点 P 2 4 3 3 时 z 取得最小值 2 14 理 5 1 axby 展开式中不含x的所有项的系数和为 243 不含y的所有项的系数 和为 32 则ab 的值为 答案 3 解析 令0 1xy 得 5 1 243 b 2b 再令1 0 xy 得 5 1 32 a 1a 3ab 文 15 1 2 x 的展开式中各项系数和是 答案 1 解析 设 15215 01215 1 2 xaa xa xa x 令1x 得 15 01215 1 2 1aaaa 15 理 已知向量 3 1 1 3 7 abck 若 acb 则k 答案 5 解析 3 6 ack 1 3 b 且 acb 所以 36 5 13 k k 文 公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S 若 4 a是 37 aa与的等比中项 8 32S 则 10 S等于 答案 60 解 析 由 2 437 aa a 得 2 111 3 2 6 adad ad 得 1 230ad 再 由 81 56 832 2 Sad 得 1 278ad 则 1 2 3da 所以 101 90 1060 2 Sad 16 设直线系 cos 2 sin1 02 M xy 对于下列四个命题 存在一个圆与所有直线相交 存在一个圆与所有直线不相交 存在一个圆与所有直线相切 M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 把正确的命题序号全部填在横线上 答案 解析 因为cos 2 sin1xy 所以点 0 2 P到M中每条直线的距离 22 1 1 cossin d 即M为圆C 22 2 1xy 的全体切线组成的集合 所以存在圆心在 0 2 半径大于 1 的圆与M中所有直线相交 也存在圆心在 0 2 半径 小于 1 的圆与M中所有直线均不相交 也存在圆心在 0 2 半径等于 1 的圆与M中所有 直线相切 故 正确 又因M中的边能组成两类大小不同的正三角形 故 错误 故命题中正确的序号是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 17 本小题满分 10 分 a b c为ABC 的内角A B C的对边 cos sin cos sin 2222 CCCC mn 且m 与n 的夹角为 3 求角C 已知 7 2 cABC 的面积 3 3 2 S 求ab 解 cos sin cos sin 2222 CCCC mn 22 cossincos 22 CC m nC 2 分 又 1 coscos 332 m nmn 4 分 1 cos 23 CC 6 分 222 71 2cos cos 22 cababC cC 222 49 3 4 abababab 8 分 1133 3 sin 6 2222 SabCabab 2 494912111 318 4442 ababab 10 分 18 本小题满分 1 分 如图 已知在直四棱柱 1111 ABCDABC D 中 ADDC AB DC 1 22DCDDADAB 2 网 I 求证 DB平面 11BCC B II 求二面角 11 ABDC 的余弦值 学科 解法一 I 设E是DC的中点 连结BE 则四边形DABE为正方形 CDBE 故2 BD 2C B 2CD 90DBC 即BDBC 又 1 BDBB 1 B BBCB BD 平面 11 BCC B II 由 I 知 DB平面 11 BCC B 又 1 BC 平面 11 BCC B 1 BDBC 取DB的中点F 连结 1 AF 又 11 ADAB 则 1 AFBD 取 1 DC的中点M 连结FM 则 1 FMBC FMBD 1 AFM 为二面角 11 ABDC 的平面角 连结 1 AM 在 1 AFM 中 1 3 2 2 AF 22 11 116 222 FMBCBCCC 取 11 DC的中点H 连结 1 AH HM 在 1 RtAHM 中 1 2AH 1HM 1 3AM 222 11 1 1 93 3 3 22 cos 233 26 2 22 AFFMAM AFM AF FM 二面角 11 ABDC 的余弦值为 3 3 解法二 I 以D为原点 1 DADCDD 所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所 示的空间直角坐标系 则 0 0 0 D 110 B 0 2 2 C1 1 10 2 A 1 112 B 0 2 0 C 110 DB 0 11 BC 200 BB1 BCBD011BC BD 11 BBBD0BB BD 又因为 1 B BBCB 所以 DB平面 11BCC B II 设 xyz n为平面 1 ABD的一个法向量 由 1 DA n DB n 1 0 2 DA1 110 DB 得 20 0 xz xy 取1z 则 2 2 1 n 又 1 0 2 2 DC 110 DB 设 111 xyz m为平面 1 C BD的一个法向量 由 1 DC m DB m 得 11 11 220 0 yz xy 取 1 1z 则 111 m 设m与n的夹角为 二面角 11 ABDC 为 显然 为锐角 33 cos 393 m n mn cos 19 本小题满分 1 分 理 从某批产品中 有放回地抽取产品 2 次 每次随机抽取 1 件 假设事件A 取 出的 2 件产品中至多有 l 件是二等品 的概率 0 96P A 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率P 若该批产品共 100 件 从中一次性任意抽取 2 件 用 表示取出的 2 件产品中的 二等品的件数 求 的分布列及期望 解 记 0 A表示事件 取出的 2 件产品中没有二等品 1 A表示事件 取出的 2 件产品中恰有 1 件是二等品 则 0 A 1 A互斥 且 01 AAA 2 分 故 212 01012 1 1 1 P AP AAP AP APC pPP 依题意 知 2 10 96 p 又0P 得0 2 p 6 分 可能的取值为 0 1 2 若该批产品共 100 件 由 1 知 其中共有二等品 100 0 2 20 件 故 2112 80802020 222 100100100 31616019 0 1 2 495495495 CC CC PPP CCC 9 分 所以 的分布列为 的期望 316160191982 012 4954954954955 E 12 分 文 从某批产品中 有放回地抽取产品 2 次 每次随机抽取 1 件 假设事件A 取 出的 2 件产品中至多有 l 件是二等品 的概率 0 96P A 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率P 若该批产品共 100 件 从中一次性任意抽取 2 件 求事件B 取出的 2 件产品 中至少有 1 件是二等品 的概率 P B 解 记 0 A表示事件 取出的 2 件产品中没有二等品 1 A表示事件 取出的 2 件产品 中恰有 1 件是二等品 则 0 A 1 A互斥 且 01 AAA 2 分 故 212 01012 1 1 1 P AP AAP AP APC pPP 依题意 知 2 10 96 p 又0P 得0 2 p 6 分 若该批产品有 100 件 由 1 知 其中共有二等品 100 0 2 20 件 8 分 记C表示事件 取出的 2 件产品中没有二等品 则事件B与事件C互斥 依题意 知 2 80 2 100 316 495 C P C C 012 P 316 495 160 495 19 495 故 179 1 495 P BP C 12 分 20 本小题满分 1 分 理 已知三次函数 32 f xxaxbxc 在 1 2 上单调递增 在 1 2 上单调递减 当且仅当4x 时 2 45f xxx 求函数 f x的解析式 若函数 1 ln 3 2 fx h xmxm x 求 h x的单调区间 解 f x在 1 2 上单调递增 1 2 上单调递减 2 320fxxaxb 有两根1 2 2 12 3 1 2 3 a b 3 2 6 a b 32 3 6 2 f xxxxc 4 分 令 232 5 4525 2 H xf xxxxxxc 则 2 352 H xxx 因为 H x 在 4 上恒大于 0 所以 H x在 4 上单调递增 故 4 0 H 11 c 32 3 611 2 f xxxx 6 分 2 336 fxxx 1 1 ln 2 h xxmxm xmx 且 11 1 mx h x xmxm 8 分 当2m 时 2m 定义域为 m 0h x 恒成立 h x在 m 上单调递增 9 分 当21m 时 21m 定义域 2 2 m 0h x 恒成立 h x在 2 2 m 上单调递增 10 分 当1m 时 1m 定义域 2 2 m 由 0h x 得1x 由 0h x 得1x 故在 1 2 2 上单调递增 在 1 m 上单调递减 12 分 文 已知三次函数 32 f xxaxbxc 在 1 2 上单调递增 在 1 2 上单调递减 求a b的值 当且仅当4x 时 2 45f xxx 成立 求函数 f x的解析式 解 f x在 1 2 上单调递增 1 2 上单调递减 2 320fxxaxb 有两根1 2 2 12 3 1 2 3 a b 3 2 6 a b 6 分 令 232 5 4525 2 H xf xxxxxxc 则 2 352 H xxx 因为 H x 在 4 上恒大于 0 8 分 所以 H x在 4 上单调递增 故 4 0 H 11 c 32 3 611 2 f xxxx 12 分 21 本小题满分 1 分 已知点M N分别在直线ymx 和 0 ymx m 上运动 点P是线段MN的中 点 且 2MN 动点P的轨迹是曲线C 求曲线C的方程 并讨论C所表示的曲线类型 当 2 2 m 时 过点 2 6 0 3 A 的直线l与曲线c恰有一个公共点 求直线l的 斜率 解 设 1122 P x y M x mxN xmx 依题意得 12 12 222 1212 2 2 2 xxx mxmxy xxmxmx 2 分 消去 1 x 2 x 整理得 22 2 2 1 1 xy m m 4 分 当1m 时 方程表示焦点在y轴上的椭圆 当01m 时 方程表示焦点在x轴上的椭圆 当1m 时 方程表示圆 6 分 当 2 2 m 时 方程为 22 1 1 2 2 xy 设直线l的方程为 2 6 3 yk x 22 1 1 2 2 2 6 3 xy yk x 8 分 消去y得 2 222 16 632 14 20 33 k kxk x 10 分 根据已知可得0 故有 2 222 16 632 4 14 2 0 33 k kk 2 3 4 k 所以直线l的斜率为 3 2 k 12 分 22 本小题满分 1 分 理 设2a 给定数列 n x 其中 2 11 1 2 2 1 n n n x xa xn x 求证 1 2 1 1 2 n n n x xn x 如果3a 那么 1 1 2 1 2 2 n n xn 证明 即证 1 2 nn xx 222 11111 2121 1111 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 xx xxx xxxxa xxxx 21 2 xx 2 分 假设 1 2 kk xx kN 则 2 111 211 11 2 2 1 2 1 kkk kkk kk xxx xxx xx 4 分 22 11 2 11 2 22 2 1 2 1 kk k kk xx x xx 21 2 kk xx 综上所述 根据数学归纳法 命题成立 6 分 由 得 2 1 2 2 11 02 2 2 2 1 1 22 kk kkk kk xx xxx xx 8 分 1 12 1 121 2221 2 2 2 2222 n nn n nn xxx xxa xxx 10 分 又 1 1 3 2 2 n n ax 即 1 1 2 2 n n xnN 12 分 文 文 已知a b 是相互垂直的单位向量 cab 若 21 1010OAOAb 11 430 nnn OAOAOA 试写出 1nn A A 若 12 3 3 5 OBOBc 11 22 nnn OBOBOBc 试写出 1nn B B 记 11 nnnnn aA AB BnN 求数列 n a的前n项和 依题意 知 1221 109A AOAOAbbb 由 11 430 nnn OAOAOA 得 11 3 nnnn OAOAOAOA 故 11 1 3 nnnn A AAA 得 13 1 11 9 33 nn nn A Abb 4 分 依题意 知 1221 532B BOBOBccc 由 11 22 nnn OBOBOBc 得 11 2 nnnn OBOBOBOBc 即 11 2 nnnn B BBBc 得 1 2 1 22 nn B Bcncnc 8 分 由a b 是相互垂直的单位向量 cab 知 0 11b cbab 得 33 11 22 33 nn n abncn 记数列 n a的前n项和为 n S 则有 3 1 2 94 36 12 3 n n Sn 32 1111 2 34 1 62 1 2 3333 nn n Snn 相减得 32 2111 2 93 1 2 3333 nn n Sn 故 3 8131 223 n n Sn 12 分 附加题 已知函数 2 2 f xxx 则 1 f f 函数 f x在4x 处的导数 4 f 答案 4 9 解析 因为 2 1 11 22f 则 1 2 4f ff 2 2 2