2.6 置 换 群.doc

2.6 置 换 群上一节：任何阶群都与的一个子群同构。1.置换群：的每一个子群都叫一个次置换群。中的每个元素都叫一个置换。2.循环与对换：一个置换如果把变成，变成，变成，变成，其余元素保持不变，则称是一个循环，记成。 注意：也可以写成。 例如。当时叫做1-循环，也就是恒等置换，记作。当时叫做对换。一般形式。无公共元素的循环称为不相交循环。例如与不相交。的6个置换可以写成：， ， ，于是，注意这样写的好处是避免了对置换编号。的24个置换可以写成： 1-循环，1个；2-循环，共6个；3-循环，共8个；4-循环，共6个；2-循环乘2-循环，共3个。 合起来正好24个。 定理1. （1）不相交循环与不相交循环可以交换相乘； 例如，。（2）每个置换都可以表示为不相交循环之积；例如，。（3）每个循环都可以表示为对换之积。 例如，一般。由定理1得重要结论：每个置换都可以表示为一系列对换之积。但是要注意，把一个置换表示成对换之积时，表示方法不是唯一的。例如 ， 。但是，以下定理表明，将一个置换表示成不同的对换之积时，各分解式中对换个数的奇偶性不变。定理2 每个置换表示成对换之积时，对换个数的奇偶性不变。证明： 记置换,这相当于将自然排列变成排列。设表示成个对换之积：，这相当于将自然排列通过次对换变成排列。根据高等代数中的结论，与有相同的奇偶性。由于对一个给定的置换，排列的奇偶性是确定和不变的，因而的奇偶性也是不变的。3.奇置换与偶置换定义: 若表示成奇数个对换之积，则叫奇置换；若表示成偶数个对换之积，则叫偶置换。例如，中，是奇置换，是偶置换。中，是奇置换，共12 个；，是偶置换，也是12 个。一般地，有定理3.（1）中奇偶置换各占一半，各为个； (2) 中全体偶置换的集合（记为）是的子群。证明 （1）记=中全体奇置换的集合，=中全体偶置换的集合，以下证明与所含元素的个数相同，即奇、偶置换的个数相同，各占一半。事实上，取，则中的元素都是偶置换，从而。同理，中的元素都是奇置换，从而。因此。（2）根据有限群的子群判断定理：有限群的子集构成子群当且仅当该子集满足封闭性。因此是否是的子群，只需检验是否封闭，这相当于判断偶置换乘以偶置换是否还是偶置换，根据偶置换的定义，这显然是对的。因此是否是的子群。例如，注意：奇置换的全体不构成的子群，因为奇置换乘以奇置换是偶置换，不是奇置换，不封闭。例1 证明：一个次置换群中的置换或者全是偶置换，或者奇、偶置换各占一半。证明 设是一个次置换群，即是的子群，则必含有的幺元即恒等置换，而恒等置换是偶置换，即至少含有一个偶置换。如果中的置换全是偶置换，则结论成立。如果含有奇置换，任取其一，设为。记=中全体奇置换的集合，=中全体偶置换的集合，只需证明与所含元素的个数相同即可。证法类似于定理3（1）。中的元素都是偶置换，从而；中的元素都是奇置换，从而，因此。例2 证明：。证明 首先封闭，因此是的子群。列出的运算表：.(1)(12)(34)(13)(24)(14)(23)(1)(1)(12)(34)(13)(24)(14)(23)(12)(34)(12)(34)(1)(14)(23)(13)(24)(13)(24)(13)(24)(14)(23)(1)(12)(34)(14)(23)(14)(23)(13)(24)(12)(34)(1)把它与Klein四元群的运算表：.eabceeabcaaecbbbceaccbae相比较，令，则显然是双射，且是同态映射，因此。作业：证明：，其中是4次单位根群。 定理4 循环的阶等于；不相交循环乘积的阶等于各因子阶的最小公倍数。 例如，的阶为2，的阶为3，的阶为6， 的阶为4. 注意：不相交条件不能少。定理5 设，则，有 ；特别，若，则。 证明 设，则 。 另一方面， ，所以 ，即。 例如，设，求。 解 。 4.关于的中心： 由于都是交换群，它们的中心就是它们自己。当时有 定理6 当时，